湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2024-2025学年高一上学期入学检测数学试题（解析版）

2024年秋高一入学检测卷·数学说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．2．请把答案写在答题卡上，否则不给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项，请将正确答案的代号填入题后括号内）1.下列四个数中，最小的一个数是（）A.-2 B.C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较即可.【详解】因为,所以最小的为-2故选：A.2.如图所示的几何体的左视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据从左边看到的图形是左视图即可判断出答案．【详解】根据从左边看到的图形是左视图，A符合题意，故选：A．3.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项和幂的运算法则以及平方差公式，对各选项进行判断即可．【详解】A选项，和不是同类项，不能合并，错误；B选项，根据幂的运算法则，错误；C选项，根据平方差公式，错误D选项，根据合并同类项法则，正确；故选：D.4.如图，这是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是（）A.5~10元 B.10~15元C.15~20元 D.20~25元【答案】C【解析】【分析】根据图形所给出的数据直接找出捐款人数最多的一组即可.【详解】根据图形所给出的数据可得：捐款额为15~20元的有20人，人数最多，则捐款人数最多的一组是15~20元.故选：C5.已知一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案.【详解】由题意可知，故二次函数的图象开口向下，，与y轴交点在x轴上方，故可能的图象为A，故选：A6.人们常用“一刹那”这个词来形容时间极为短暂，按古印度《僧只律》(又有资料为《倡只律》)解释：一刹那即为一念，二十念为一瞬；二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预；二十罗预为一须叟，一日一昼为三十须叟．照此计算，一须叟为48分钟，一罗预为144秒，一弹指为7.2秒，一瞬为0.36秒，一刹那为0.018秒．则一天24小时有（）A.8×104刹那B.4.8×106刹那C.4.8×105刹那D.4.8×107刹那【答案】B【解析】【分析】根据题意利用除法即可得解.【详解】由题意可知，，即一天24小时有刹那.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.小明制作了如图所示的四张卡片(四张卡片除正面的文字不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，则这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率是____．【答案】【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果数，再利用概率公式可得出答案.【详解】画树状图如下:共有12种等可能的结果，其中这两张卡片恰好组成“劳动”一词的结果有2种，所以这两张卡片恰好组成“劳动”一词的概率为.故答案为:8.分解因式：___________________．【答案】【解析】分析】提取公因式后再利用平方差公式分解即可.【详解】故答案为：9.已知方程2x2-x-1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为____．【答案】##0.5【解析】【分析】根据一元二次方程的韦达定理，可得答案.【详解】由方程的解为，可得，故答案为：10.中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”由此求得圆周率π的近似值．设圆的半径为r，圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d．如图1，当n=6时，π≈===3;如图2，当n=12时，π≈=____．(结果精确到0.01;参考数据：sin15°≈0.259，sin75°≈0.966)

【答案】3.11【解析】【分析】根据圆内接十二边形的性质结合锐角三角函数可求边长，进而可根据π的近似值求解公式求解.【详解】当n=12时,,所以,所以正十二边形的周长为，故，故答案为：3.1111.如图，在中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，连接AD，且AD=2，则BC的长为____．【答案】【解析】【分析】延长至，使，连接，利用平行四边形的判定性质，结合勾股定理及逆定理计算即得.【详解】延长至，使，连接，又D是BC的中点，则四边形是平行四边形，于是，又，则，因此，在中，，所以.故答案为：12.如图，在正方形中，对角线，交于点，折叠正方形，使边落在上，点落在点处，折痕交于点，交于点，连接，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是____．【答案】①③④【解析】【分析】①可有折叠对称得到，进而可得；②通过几何性质可得，即可判断；③设，可得，进而可得；④因，故即得.【详解】因为折叠正方形，使边落在上，点落在点处，所以，，，故．因为，所以，所以，故①正确．因为，所以，故，故，所以，.因为，所以四边形是平行四边形所以，所以平行四边形是菱形，所以．因为，故不是等边三角形，所以②不正确．设，则，所以，所以，故③正确．因为，所以，故④正确．故答案为：①③④三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）化简：．（2）解不等式组：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据多项式的乘法进行化简；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1）解：.（2）解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为.14.阏伯台又叫火星台、火神台，位于商丘古城西南1.5公里处，是距今4000多年的观星台遗址，火神台为圆形夯土筑成．某数学小组想要测量火神台的高度，如图，数学小组用测角仪在点处测得火神台顶端的仰角为，用无人机在点处测得火神台顶端的仰角为，，求火神台的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：，，)【答案】【解析】【分析】设，由题意得，运用锐角三角函数求出的值即可求解.【详解】设，在中，，，，，，，，，在中，，解得，经检验，是原方程的根，，答：火神台的高度约为.15.如图，现有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．将标有1，2的小球放入不透明的甲袋中，标有3，4的小球放入不透明的乙袋中．从甲袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作指数，再从乙袋中随机摸出一个球，将球上的数字当作底数，从而得到一个乘方，并计算其值，记作m．（1）用列表或画树状图的方法，表示m的所有可能结果．（2）老师说：“如果我再放进一个标有数字0的小球，那么放到甲袋中得到的m是奇数的概率和放到乙袋中得到的m是偶数的概率是一样的．”请判断老师的结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）树状图见详解，3、4、9、16；（2）正确，理由见解析.【解析】【分析】（1）直接画树状图（或列表）可得；（2）分别求出放入甲袋和乙袋中m的所有情况，然后可得.【小问1详解】（1）根据题意画树状图如下：则m共有4种等可能的结果，分别为3、4、9、16.【小问2详解】老师的结论正确.当放到甲袋中时，m分别是3、4、9、16、1、1，奇数的概率是=;当放到乙袋中时，m分别是0、0、3、4、9、16，偶数的概率是=故放到甲袋中得到的m是奇数的概率与放到乙袋中得到的m是偶数的概率是相同的，老师的结论正确.16.如图，四边形ABCD为菱形，延长AB至点E，使得BE=AB，过点E作EF∥AD，交DB的延长线于点F，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)．（1）在图1中，过BD的中点作直线l∥AE．（2）在图2中，作出一个矩形．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】（1）利用菱形、平行四边形对角线、中位线的性质找到并画出直线l；（2）利用菱形性质找到中点、，利用全等三角形得且，结合矩形的判定即可得.【小问1详解】连接，与BD的交点，即为BD的中点，连接，与的交点，即为的中点，所以BD的中点与的中点的连线即为所求直线l，如下图示：【小问2详解】由为菱形对角线交点，则，即，而，过分别作交于一点，将其与连接，交于，易知为中点，故，即，易证，则且，综上，四边形OBGC即为所求矩形，如下图示：17.如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m为常数，且）的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴上，点D在反比例函数的图象上，若四边形ABCD为矩形．（1）直接写出点A，B，D的坐标(用含m的式子表示)．（2）求矩形ABCD的面积．【答案】（1）A(2m，0)，B(0，m)，D(，-m)（2）40【解析】【分析】（1）把，代入，可得点B坐标，把代入，可得点A坐标，再过点D作轴于E，证，即可得，把代入，求得，即得D点坐标．（2）证明，则，代入可得，解得，再由，即可求解．【小问1详解】解：对于一次函数，令，则，∴，令，则，解得：，∴，过点D作轴于E，∵四边形为矩形．∴，，∴，∵∴，∴，∴点D纵坐标为，把代入，得，解得：，∴；【小问2详解】解：∵四边形为矩形．∴，∵，∴∵∴，∴∴，由（1）知：，，，∴，∴，∴，∴，∴．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.珍爱生命，远离溺水．某校开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛，并为获奖的同学颁发奖品．李老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本10本，乙种笔记本20本，共用110元，且买5本甲种笔记本比买10本乙种笔记本少花5元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价．（2）李老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因李老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？【答案】（1）甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；（2）购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元.【解析】【分析】（1）设出未知数，列出二元一次方程组并求解即得.（2）设购买m本甲种笔记本，求出所需费用为元关于的函数关系，再利用一次函数的性质求出最小值.【小问1详解】设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意得，解得，所以甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元.【小问2详解】设购买m本甲种笔记本，则购买()本乙种笔记本，由甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，得，解得，设所需费用为元，则，显然随m的增大而增大，因此当时，最小，最小值为(元)，此时，所以购买75本甲种笔记本，25本乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元.19.每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级开展“国家安全法”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制，80分及以上为优秀)进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A.，B.，C.，D．)．下面给出了部分信息：七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98．八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98．七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表年级平均数众数中位数满分率七年级82100a25%八年级82b8835%七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a，b的值．（2）该校七、八年级共有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数．【答案】（1）（2）520人【解析】【分析】（1）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数；（2）分别求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀人数即可求解．【小问1详解】七年级抽取的学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分），因此中位数是82分，即．八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数是88，因此在及以上的应有10人，可得100分的有(人)，因此竞赛成绩的众数为100，即．【小问2详解】七年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是，八年级抽取的学生竞赛成绩为优秀的人数是，则优秀人数为人.所以参加此次竞赛活动成绩优秀的学生约有520人.20.如图1，某商业中心从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是该场景的侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶，AB的长度是12米，MN∥PQ，点C在MN上，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为45°．（1）求自动扶梯顶端B到地面PQ的距离．（2）若在自动扶梯顶端B的正上方的楼顶C处悬挂一个高为2米(CG=2米)的广告牌，请问一个身高为1.9米的人能否正常通过此处?(≈1.73)【答案】（1）6米；（2）能.【解析】【分析】（1）延长CB交PQ于D，求出自动扶梯AB的坡度tan∠BAD=值，确定∠BAD的大小，进而可得B到地面PQ的距离；（2）由（1）求出BD、CD，即可求结果.【小问1详解】如图，延长CB，交PQ于D．∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BD⊥PQ，∵自动扶梯AB的坡度为1∶，∴tan∠BAD===，∴∠BAD=30°，故BD=AB=6米．答：自动扶梯顶端B到地面PQ的距离为6米.【小问2详解】由（1）得：AD=BD=6，Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=45°，∴CD=AD=6≈10.38，∴BG=CDBDCG=2.38>1.9，答：一个身高为1.9米的人能正常通过此处.五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.如图1，AB是☉O的直径，C是☉O上异于点A，B的一点，连接AC，BC，并延长BA至点E，使得∠ECA=∠B．（1）求证：CE是☉O的切线．（2）如图2，若∠B=30°，请直接写出三个你认为正确的结论(注：不另外添加辅助线)．【答案】（1）证明见解析（2）AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可)【解析】【分析】（1）将问题转化为证明，然后利用圆的性质证明可得；（2）结合（1）中证明过程，写出三个正确结论即可.【小问1详解】如图，连接OC．∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠B+∠ACO=90°∵∠B=∠ECA，∴∠ECA+∠ACO=90°，∴∠ECO=90°，∴EC⊥OC∵OC为☉O的半径，∴CE是☉O的切线【小问2详解】AB=2AC，∠E=30°，EA=AC(符合题意即可)由（1）知，直角三角形，因为，所以AB=2AC.因为，所以由外角定理知，又，所以由上知，，所以EA=AC.22.在平面直角坐标系中，顶点为C的抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）若点B的坐标为(3，0)，求b的值．（2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点．已知抛物线的对称轴为y轴．①求抛物线与x轴所围成封闭图形G内部(不包括边界)整点的个数;②若双曲线y=与抛物线在第四象限内围成的封闭图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，求实数m的取值范围．（3）若点C在第三象限，且点C到x轴的距离为，直线y=与抛物线在x轴下方的部分有两个交点，直接写出t的取值范围．【答案】（1）；（2）①7；②；（3）<t<．【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程即可,（2）根据对称轴可得抛物线方程，根据列举法即可求将所有的整数点，结合抛物线和双曲线的图象特征即可确定两个整数点为，即可求解，（3）根据C到x轴的距离为可得抛物线方程，根据直线与抛物线的相切只有一个公共点时可得t=，进而结合图形特征即可求解.【小问1详解】把B(3，0)代入，得，解得【小问2详解】抛物线的对称轴为y轴，∴b=0，∴．令，解得，∴点A的坐标为，点B的坐标为,①∵当x=1时，，∴点,在区域G的内部;∵当时，，∴点在区域G的内部;∵当时，，∴点在区域G的内部;∴在区域G的内部(不包括边界)的整点的个数为7②抛物线过点，∴抛物线在第四象限内的部分是0<x<2之间的图象．∵由题