两条直线平行和垂直的判定

2.1.2两条直线平行和垂直的判定

故材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学

习两条直线平行和垂直的判定。

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在

坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。

两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因

此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条

不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.

权学目标与核心索琳

课程目标学科素养

A.理解两条直线平行与垂直的条件.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件

B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直

C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题

题.

4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几

何直观

敬学■窿京

1.教学重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件

2.教学难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直

课前发备

多媒体

敢学过程

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包通过生活中的

含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它现实情境，提出问

题，明确研究问题运

用代数方法探究两

：：：：X直线平行与垂直问

题，引导学生回顾初

—八X

备安全'柱子中两直线平行与垂

直的几何知识，为探

究运用斜率判断直

连接，这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直，你能感受到过山车中的线平行和垂直作知

平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？识上的准备。

二、探究新知

（一）、两条直线平行与斜率之间的关系

设两条不重合的直线/同，倾斜角分别为斜率存在时斜率分别为

依•则对应关系如下：

o

前提条件Iai=a2^90ai=a2=90°

ll〃12=两直线斜率

对应关系h〃120kl=k2

都不存在

图示

HX

r/-\

由坐标系中的直

线，让学生理解直线

点睛：若没有指明几/2不重合，那么由=左2=2%0用斜率证明

倾斜角和斜率的概

I或k与12重合，

念。发展学生逻辑推

三点共线时，常用到这一结论.

理，直观想象、数学

1.对于两条不重合的直线I,1，“/〃/”是“两条直线斜率相等”的什么

1212抽象和数学运算的

条件？核心素养。

答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等，则两直线一定平

行;反过来，两直线平行，

有可能两直线斜率均不存在.

2.已知直线4经过两点(-1,-2),(-1,4),直线经过两点(2,1),(无,6).且乙〃

(厕x=.

解析:由题意知(Lx轴.又/]〃/,,所以/,_Lx轴，故x=2.

答案：2

3.思考辨析

(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.()

⑵若/1〃/2，则所=/()

(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在,

则这两条直线垂直.()

(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平

行.()

答案：(l)x也可能重合.(2)xh//l2,其斜率不一定存在.

(3)x不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直.(4)4

(二)、两条直线垂直与斜率之间的关系

11与12中的一条斜率丕

11与12的斜率都存

对应

存在，另一条斜率为零,

在,分别为ki,k2,则

关系则h与L的位置关系是

hJ_12=k「k2=-l

li±b.

图示Jr[f"

点睛：”两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直'’的充分不必

要条件.因为两条直线垂直时，除了斜率之积等于-1,还有可能一条直

线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.

2

4.若直线/,1的斜率是方程尤-3尤-1=0的两根，则/与I的位置关系

1212

解析:由根与系数的关系，知卒,=-1,所以

答案：(口2

三、典例解析

例1判断下列各小题中的直线/与/是否平行：

12

(1)/经过点4(-1,-2),8(2,1),/经过点M(3,4),N(-1,-1);

12

(2)1的斜率为1,/经过点A(1,1),8(2,2);

12

(3)1经过点A(O,1),8(1,0),/经过点M(-l,3),N(2,0);

12

(4)/经过点4(-3,2),3(-3,10)」经过点M(5,-2),N(5,5).

12

思路分析：斜率存在的直线求出斜率，利用/]〃/,=/=与进行判断，若

两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论.

解：(1)左1=詈弓=1,%2=；^=J火1#211与11不平行.

z-(-l)-1-34

Q)ki=1，攵2=言=1,ki=k?,

故/[〃办或/1与，2重合.

(3)所=/=-1饱=2石=-1,则有h=心.

3-1

又kAM=—=-2^-1,

-1-0

则4,2,M不共线.故///I.

12

通过典型例题

(4)由已知点的坐标，得/与/均与无轴垂直且不重合，故有/〃/.

1212的分析和解决，让学

延伸探究已知4(-2,脸2(孙4),"0+2,3),可(1』),若AB//MNMm的生加深对利用直线

值为__________-斜率判断两直线平

行和垂直的方法，提

解析:当m=-2时，直线A8的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，跖V

升运用能力。发展学

与A8不平行，不合题意；

生数学抽象、直观想

当m=-l时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在,MN与AB象、逻辑推理的核心

不平行，不合题意；素养。

当*2且g时尼l号=怨

,_3-12

kMN=----=----.

m+2-1?n+l

因为AB//MN,所以kAB=kMN,

即解得=Q或m-\.

m+2m+1"m

当m=0或1时，由图形知，两直线不重合.

综上，加的值为0或1.

答案：0或1

判断两直线是否平行的步骤

/二〉、•不.等I_-7-1

rHT-一回

X:'.一■[W]

利等〉

I.

例2(1)直线I经过点A(3,2),8(3,-1),直线I经过点M(1,1),N(2,1),判断

12

I与I是否垂直；

12

(2)已知直线/经过点43,a),2小2,3),直线/经过点C(2,3)Q(-l,a-2),

12

若/_L/,求a的值.

12

思路分析：(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断;若一条直线

的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.

(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于-1求解;若一条直线的

斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.

解:⑴直线/的斜率不存在，直线/的斜率为0,所以/±z.

1212

(2)由题意，知直线/的斜率左一定存在,直线/的斜率可能不存在.

221

当直线1的斜率不存在时,3=上2,即a=5,此时k=0,

12

则/±Z，满足题意.

12

当直线Z1的斜率俗存在时，点5,由斜率公式，得历=①=—,fo=—=

a-2-3a-5-1-2

a-5

-3•

由J_，2,知左法2=-1,即^=-1,解得6Z=0.

a-5-3

综上所述,〃的值为0或5.

两直线垂直的判定方法

两条直线垂直需判定kk=1,使用它的前提条件是两条直线斜

12

率都存在,若其中一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零,此时两

直线也垂直.

跟踪训练1已知定点4-1,3),3(4,2),以为直径作圆，与x轴有交点

P,则交点P的坐标是__________.

解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).

:%丰0,k刈,女'k=-1,

PBPAPAPB

即21.丝=/

x+1x-49

2

・：(冗+1)(*4)=-6,即x-3x+2=0,

解得x=l或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).

答案:(1,0)或(2,0)

例3如图所示，在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按

逆时针顺序依次为0(0,0),P(1J),0(12,2+f),R(2,2),其中,0.试判断

四边形OPQR的形状.

思路分析:利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两

直线的位置关系.

d

通过典例解析，进一

步让理解运用直线

斜率判断直线平行U

解:由斜率公式得%=言力，

垂直的方法，提升推

,2-(2+t)-t72-01理论证能力，进一步

-(i-2)-koR

2tt-r^--2t-0-e

体会坐标法解决问

kpQ--一■•所以kop-kRQ,koR-kpQ,题的基本思想。

l-ZC-l-ZCL

从而。尸〃〃尸Q.

所以四边形OPQR为平行四边形.

又出山=-1,所以OP_LOR,

OPOR

故四边形0PQR为矩形.

延伸探究1将本例中的四个点，改为“4(-4,3)乃(2,5),。(6,3),。(-3,0),顺

次连接A,反CQ四点，试判断四边形ABC。的形状

由斜率公式可付kAB--,kcD--,kAD---3,/：BC----

3-3-63-3-(-4)o-zz

所以左=k，由图可知AB与C£)不重合，

ABCD

所以A3〃C£),由左邦，所以AD与BC不平行.

ADBC

又因为AAB也。=[x(-3)=-l,

所以A2_L4。,故四边形ABC。为直角梯形.

解:由题意AB,C,Z)四点在平面直角坐标系内的位置如图,

延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序

依次为。(0,0),尸(1,。,。(12,2+。,试求顶点R的坐标

解:因为OPQR为矩形，所以。。的中点也是PR的中点.

0+121+x

22

设R(x,y),则由中点坐标公式知0+2+t_t+y

2~2

解得二所以火点的坐标是(-2/,2).

利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤

描点一在坐标系中描出给定的点

猜测一根据描出的点，猜测图形的形状

求斜率-根据给定点的坐标求直线的斜率

结论|1|由斜率之间的关系判断形状

点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参

数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着

问题无解.

金题典例已知点4(0,3)#(-1,0),小3,0),且四边形42。。为直角梯形,

求点D的坐标.

思路分析:分析题意可知,42、都不可作为直角梯形的直角边，所以

要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情

况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边，则BC±

C2AO_LC£),根据已知可得上=O,CD的斜率不存在，从而有x=3;接下

BC

来再根据左=k即可得到关于x、y的方程，结合x的值即可求出二

ADBC

那么点D的坐标便不难确定了，同理再分析AD是直角梯形的直角边

的情况.

解:设所求点D的坐标为(无,y),如图所示,由于勺B=3,)=0,

则4-k=0力-1,即A8与BC不垂直，故48、8C都不可作为直角梯形

ABBC

的直角边.

①若CD是直角梯形的直角边，则BCLCD,ADA.CD,

:k=0,.：CD的斜率不存在，从而有x=3.

BC

三、达标检测

1.下列说法正确的是()通过练习巩固本

节所学知识，通过学

A.若直线/1与/2倾斜角相等，贝心1〃，2

生解决问题，发展学

B.若直线/」勿则厄%2=—1生的数学运算、逻辑

推理、直观想象、数

C.若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴

学建模的核心素养。

D.若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行

解析：A中，与/2可能重合；B中，/1,/2可能存在其一没斜率；C

中，直线也可能与y轴重合；D正确，选D.

答案D

2.若直线1的斜率为a,l,则直线1的斜率为()

1122

A.-B.aC.--D」或不存在

aaa

解析:若存0,则1的斜率为二若4=0,则h的斜率不存在.

2a

答案:D

3.已知直线1的倾斜角为45。,直线/〃/，且/过点A(-2,-1)和BM,

1122

则