《第11章简单几何体》自主测试（1）（60分钟）

【解析版】《第11章简单几何体》自主测试（1）一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是【答案】2π；【解析】所得几何体为圆柱，底面半径和高都是1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π；2、若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为【答案】1∶eq\r(5)【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝eq\r(5)r.∴S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶eq\r(5).]3、一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为cm.【答案】12；【解析】由棱柱有10个顶点知此棱柱有5条侧棱，又棱柱侧棱长相等，故每条侧棱长为12cm；4、所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为________个．【答案】7；【解析】如图（1）（2）)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥；图（3）是它们拼接而成的一个几何体．故暴露的面数为7个；(1)(2)(3)5、在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是_____________________________【答案】一个六棱柱中挖去一个圆柱；【解析】一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱；6、将一铜球放入底面半径为16cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了9cm，则这个铜球的半径为_____cm.【答案】12；【解析】设铜球的半径为Rcm，则有eq\f(4,3)πR3＝π×162×9，解得R＝12；7、若正三棱锥的底面边长为eq\r(2)，侧棱长为1，则此正三棱锥的体积为__________．【答案】eq\f(1,6)；【解析】设此正三棱锥的高为h，则h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×\r(2)))eq\s\up12(2)＝1，所以h2＝eq\f(1,3)，h＝eq\f(\r(3),3)，故此三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,6)；8、现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．【答案】eq\r(7)；【解析】设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7)；9、在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．【答案】12；【解析】由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝eq\f(AB,2)＝5，所以d＝eq\r(R2－r2)＝12；10、在正方体上任意选择4个顶点，它们可以确定的几何图形或几何体为______________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【答案】①③④⑤；【解析】在正方体ABCD­A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可以确定：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A­A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A­CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A­A1DC，所以填①③④⑤；二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等【答案】B；【解析】棱柱的侧面必须是平行四边形，侧棱长相等，但底面只需为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故A、D不正确；球的表面不能为平面图形，故C不正确；12、在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π【答案】C；【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故选C.13、正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．eq\f(81π,4)B．16πC．9πD．eq\f(27π,4)【答案】A；【解析】设球的半径为r，球心O在高SO1上，如图所示．OB2＝OOeq\o\al(2,1)＋BOeq\o\al(2,1)，BO1＝eq\r(2).∴r2＝(4－r)2＋2，∴r＝eq\f(9,4).∴S球＝4πr2＝4π×eq\f(81,16)＝eq\f(81π,4)，故选A．答案：A14、如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为（）A．2B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3)D．eq\f(8,3)【答案】D；【解析】多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，选D．答案：D三、解答题（共4小题，满分44分）15、（本题8分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比；【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h，由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h，V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，∴V圆锥∶V球∶V圆柱＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶(πr2h)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)πr3))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))∶(2πr3)＝1∶2∶3.16、（本题10分）如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.【解析】如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)；所以AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×\f(1,2)×\f(\r(2),4)))×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3)；17、（本题满分12分）如图，在四棱锥A－CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，CE＝eq\f(1,2)DF，AF⊥平面CDFE，P为AD的中点．（1）证明：CP∥平面AEF；（2）设EF＝2，AF＝3，FD＝4，求点F到平面ACD的距离．【解析】（1）证明：∵CE∥DF，CE＝eq\f(1,2)DF，取AF的中点M，连接MP，ME，又P为AD的中点，∴MPeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)FD，∴MPeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))EC，∴四边形ECPM是平行四边形，∴EM∥CP，CP⊄平面AEF，EM⊂平面AEF.∴CP∥平面AEF.（2）由题可得EC＝eq\f(1,2)FD＝2，∴FC＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AF2＋FC2)＝eq\r(9＋8)＝eq\r(17)，CD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∴FC2＋CD2＝FD2，∴FC⊥CD，又CD⊥AF，∴CD⊥平面AFC，∴平面ACD⊥平面AFC，过F作FH⊥AC，又FH⊥CD，∴FH⊥平面ACD，∴FH即为F到平面ACD的距离．∴eq\f(1,2)AF·FC＝eq\f(1,2)AC·FH，∴FH＝eq\f(AF·FC,AC)＝eq\f(3×2\r(2),\r(17))＝eq\f(6\r(34),17).18、（本题满分14分）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面EDC⊥底面ABCD，ED＝EC＝BC＝4，CF⊥平面BDE，且点F在EB上．（1）求证：DE⊥平面BCE；（2）求三棱锥A－BDE的体积；（3）设点M在线段DC上，且满足DM＝2CM，试在线段EB上确定一点N，使得MN∥平面ADE.【解析】（1）证明：∵ABCD是矩形，∴BC⊥DC，∵平面EDC⊥平面ABCD，∴BC⊥平面EDC.∴DE⊥BC.∵CF⊥平面BDE，∴DE⊥CF，∵BC∩CF＝C，BC⊂平面BCE，CF⊂平面BCE.∴DE⊥平面BCE.（2）过点E作EH⊥DC，H为垂足．∵平面EDC⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，∵ED＝EC＝4，DE⊥CE，∴DC＝4eq\r(2)，EH＝2eq\