1.3.2等比数列与指数函数课件高二上学期数学选择性

等比数列与指数函数第1章数列湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.理解等比数列与指数函数的关系;2.理解等比数列的单调性,并能够用来解决有关问题;3.能够运用等比数列的性质解决有关问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点1等比数列与指数函数的关系标为正整数n的孤立点(n,an)组成等比数列的图象.当q=1时,等比数列的各项都为常数a1;当q<0时,等比数列不能通过指数函数来研究.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)数列{an}的通项公式为an=kqn,则数列{an}是等比数列.(

)(2)数列{an}是等比数列,则数列的通项公式一定可以写成an=kqn的形式.(

)2.若等比数列的通项公式可以表示为一个非零常数与指数函数的乘积,则公比q应满足什么条件?××提示q>0,且q≠1.知识点2等比数列的单调性首项a1公比qq>10<q<1q=1q<0a1>0

数列

数列

常数列摆动数列a1<0递减数列递增数列名师点睛等比数列的单调性与等差数列的单调性是有很大差别的,因为等差数列的单调性只有递增数列、递减数列、常数列(公差d=0)三种情况,但是等比数列还存在摆动数列的情况.递增

递减过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若{an}为等比数列,公比为q,则当q>1时,{an}为递增数列.(

)(2)若等比数列是摆动数列,则公比q<0.(

)2.若一个等比数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点,则该等比数列有什么特征?×√提示该等比数列是公比为q=1的常数列.3.判断等差数列的递增或递减时,只需要研究一个量(即公差d)的符号即可.若是研究等比数列的递增或递减时,只判断公比的符号可以吗?提示不可以,研究等比数列的递增或递减时要研究首项与公比的符号.知识点3等比数列的性质1.若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{anbn}也是等比数列.特别地,若{an}是等比数列,c是非零常数,则{can}也是等比数列.2.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则aman=apaq.3.数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积.4.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为qk+1.5.当m,n,p(m,n,p∈N+)成等差数列时,am,an,ap成等比数列.名师点睛性质2中,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则aman=.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1){an}是等比数列,若m+n=p,则aman=ap.(

)(2)两个等比数列的积构成的数列仍然是等比数列.(

)2.若{an}为等比数列,则“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”的充要条件吗?假如不是,是什么条件?××提示不是,在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列,则不一定成立.故m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)是aman=apaq的充分而不必要条件.重难探究·能力素养速提升探究点一等比数列的单调性【例1】

在等比数列{an}中,a1<0,则“a2<a3”是“a5<a6”的(

)A.充要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件C解析

设等比数列{an}的公比为q,∵a2<a3,∴a1q<a1q2.又a1<0,∴q2-q<0,∴0<q<1.∵a5<a6,∴a1q4<a1q5,又a1<0,∴q4(q-1)<0,∴0<q<1或q<0.∵{q|0<q<1}⫋{q|0<q<1或q<0},∴“a2<a3”是“a5<a6”的充分而不必要条件.故选C.规律方法

等比数列的单调性的判断方法(1)研究等比数列的单调性问题,既要考虑首项的符号,也要考虑公比的取值范围,要两方面结合在一起综合考虑.(2)涉及与等比数列单调性有关的充要条件问题,既要考虑条件能否推出结论,也要从结论入手,判断能否推出条件.变式训练1设{an}是等比数列,则“a1<a2<a4”是“数列{an}是递增数列”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件B解析

若数列{an}是递增数列,则a1<a2<a4,因此必要性成立.a1<a2<a4,即a1<a1q<a1q3,若a1<0,则有q3<q<1,解得q<-1或0<q<1.当公比为负数时,数列{an}是摆动数列,因此充分性不成立.故选B.探究点二等比数列性质的应用【例2】

(1)在等比数列{an}中,若a3=,a9=3,则a15=

.

分析根据题目的特征,选择利用等比数列的性质求解.18(2)已知公比为q的等比数列{an},a5+a9=q,则a6(a2+2a6+a10)的值为

.

(3)在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,则

等于

.

变式训练2(1)在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为(

)A.10 B.16C.±4 D.4C解析

依题意,得a1a99=16,而a1a99=,所以a50=±4.(2)在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,则a3a4=(

)A解析

在等比数列{an}中,a1a2=1,a5a6=9,所以a1a2a5a6=9.又a3a4=a1a6=a2a5,所以(a3a4)2=9.又a3a4与a1a2的符号相同,故a3a4=3.探究点三等比数列的设项技巧【例3】

有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数.分析由于前三个数成等比数列,因此可以根据等比数列的特征,设出前三个数后,建立方程求解.变式探究

解

设这四个数为a,aq,aq2,aq3(其中aq≠0),则这四个数组成的等比数列的公比为q,规律方法

几个数成等比数列的设法

aq≠0.(3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号是否相同时,数可设为:a,aq,aq2,aq3,其中aq≠0.本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列与指数函数的关系;(2)等比数列的单调性;(3)等比数列的性质;(4)等比数列的项的设法.2.方法归纳:推理论证法研究等比数列的单调性,性质转化法求解等比数列的基本量,对称法设等比数列的项.3.注意事项:等比数列的公比与指数函数的底数的区别,偶数个数成等比数列时数的设法要注意数的符号.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练1234567891011121314151.已知等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(

)B解析

因为a2a9=8,所以a5a6=a2a9=8.又因为a5=2,所以a6=4,所以公比q=2,故选B.1234567891011121314152.在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(

)A.12 B.-12 C.±12 D.15C解析

根据题意,可知

=a4a6=24×6=144,解得a5=±12,故选C.1234567891011121314153.在等比数列{an}中,若a2a4a6a8=16,则a5=(

)A.-2 B.3

C.-2或2 D.4C解析

由等比数列的性质,知a2a4a6a8==16,可得a5=±2.1234567891011121314154.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D解析

设等比数列{an}的公比为q,则a3=a1q2,a6=a1q5,a9=a1q8,满足(a1q5)2=a1q2·a1q8,即(a6)2=a3a9.故D正确.1234567891011121314155.(多选题)已知在等比数列{an}中,a1=1,q=2,则(

)A.数列{a2n}是等比数列B.数列{}是递增数列C.数列{log2an}是等差数列D.数列{an}是递增数列ACD解析

在等比数列{an}中,a1=1,q=2,所以an=2n-1.a2n=22n-1,数列{a2n}依旧是等比数列,选项A正确;log2an=log22n-1=n-1,显然数列{log2an}是等差数列,选项C正确;由于a1>0,q>1,因此选项D正确.1234567891011121314156.已知{an}是等比数列,a1=,a2=4,则a3=

,a1a2a3a4a5a6=

.

32239123456789101112131415B级关键能力提升练7.设无穷等比数列{an},则“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的(

)A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件A1234567891011121314158.在正项等比数列{an}中,若a3a7a8=8,a2+a10=5,则公比q=(

)D1234567891011121314159.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若

A.512 B.32

C.8

D.2A12345678910111213141510.(多选题)设{an}是公比为2的等比数列,则下列四个选项正确的有(

)B.{a2n}是公比为4的等比数列C.{2an}是公比为4的等比数列D.{anan+1}是公比为2的等比数列AB123456789101112131415解析

由于数列{an}是公比为2的等比数列,则对任意的n∈N+,an≠0,且公比12345678910111213141511.记Sn为数列{an}的前n项和,且满足a1<0,Sn=λan-1,若数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为(

)A.(1,+∞) B.(-∞,0)C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)B解析

由Sn=λan-1,及Sn-1=λan-1-1(n≥2),作差可得an=λan-λan-1(n≥2),即(λ-1)an=λan-1(n≥2).12345678910111213141512.已知在各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2>的最大正整数n的值为

.

412345678910111213141513.[