7.1随机现象与随机事件课件高一上学期数学北师大版

1随机现象与随机事件第七章概率北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.基础落实·必备知识一遍过知识点1

现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点睛随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)确定性现象是必然发生的现象.(

)(2)随机现象是在试验之前能预测出会出现哪一个结果的现象.(

)√×2.以下现象是随机现象的是(

)A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得30枚金牌D解析

A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.知识点2

样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.思考辨析对于同一试验E的样本点与样本空间是什么关系?提示

样本空间是集合,样本点是样本空间里的元素.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果试验E的样本空间中只含有一个样本点,则它是有限样本空间.(

)(2)样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω是一个事件.(

)(3)空集不含任何样本点,因此空集不是一个事件.(

)√√×2.[人教A版教材例题]抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间.解

因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上,反面朝上}.如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间Ω={h,t}.3.[人教A版教材例题]抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.解

掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是,试验的样本空间Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}.知识点3

随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.名师点睛应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.自主诊断1.判断下列事件是否为随机事件,是的画√,不是的画×.(1)“瑞雪兆丰年”.(

)(2)长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形.(

)(3)方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根.(

)(4)函数y=logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数.(

)√××√2.[人教A版教材例题]如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.解

(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.知识点4

随机事件的运算1.交事件与并事件名称定义表示法图示交事件(或积事件)一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)

并事件(或和事件)一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)

2.互斥事件与对立事件

互斥事件定义一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B=⌀)称为互斥事件符号A∩B=⌀(或AB=⌀)图示

注意事项例如,在掷骰子试验中,记C1={出现1点},C2={出现2点},则C1与C2互斥对立事件定义若A∩B=⌀,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件图示

注意事项A的对立事件一般记作名师点睛事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.思考辨析“事件A与B至少有一个发生”的含义是什么?提示

①事件A发生事件B不发生;②事件A不发生事件B发生;③事件A和事件B同时发生.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)事件A∩B是由事件A与事件B所有的样本点构成的集合.(

)(2)若事件A与B是互斥事件,则事件A与B同时发生这一事件是不可能事件.(

)(3)对立事件一定是互斥事件.(

)(4)互斥事件一定是对立事件.(

)×√√×2.同时抛掷两枚硬币,向上都是正面为事件M,向上至少有一枚是正面为事件N,则有(

)

A.M⊆N

B.M⊇NC.M=N

D.M∩N=⌀A解析

事件N包含两种结果,向上面都是正面或向上面是一正一反,则当M发生时,事件N一定发生,则有M⊆N,故选A.3.[人教A版教材例题]一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系?(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系?解

(1)所有的试验结果如图所示.用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.事件R1=“第一次摸到红球”,即x1=1或2,于是R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)};事件R2=“第二次摸到红球”,即x2=1或2,于是R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}.同理,有R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}.(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R;因为R∩G=⌀,所以事件R与事件G互斥;因为M∪N=Ω,M∩N=⌀,所以事件M与事件N互为对立事件.(3)因为R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件;因为R1∩R2=R,所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.重难探究·能力素养速提升探究点一样本点与样本空间【例1】

同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?解

(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).变式探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.解

“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).规律方法

确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件;(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.探究点二随机事件的概念及分类【例2】

以下的随机事件中不是必然事件的是(

)A.标准大气压下,水加热到100℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°C解析

在A中,标准大气压下,水加热到100

℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.规律方法

1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是(

)A.3个都是篮球

B.至少有1个是排球C.3个都是排球

D.至少有1个是篮球C解析

根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.探究点三互斥事件与对立事件的判定【例3】

某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.解

从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.规律方法

互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.变式训练2(1)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(

)A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对解析

“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.C★(2)从一批产品中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论正确的是

(填序号).

①事件A与事件B互斥;②事件B与事件C互斥;③事件A与事件C互斥;④事件A与事件B对立;⑤事件B与事件C对立.①②⑤解析

A={3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个样本点,由此知,事件A与事件B是互斥事件,但不是对立事件;事件A与事件C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;事件B与事件C是互斥事件,也是对立事件.所以正确结论的序号为①②⑤.探究点四事件的运算角度1事件间的运算【例4】

[2024重庆渝中月考]对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},下列关系不正确的是(

)A.A⊆D

B.B∩D=⌀C.A∪C=D D.A∪B=B∪DD解析

“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故A⊆D,B∩D=⌀,A∪C=D,A∪B≠B∪D.规律方法

事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.变式训练3盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?解

(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.角度2事件运算的综合问题【例5】

抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:(1)事件A与事件AB;(2)事件B与事件A.解

由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠⌀,所以事件A与事件AB不是互斥事件.(2)事件

={(1,1),(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,4),(6,5),(6,6)},所以事件A={(2,1),(2,2),(2,4),(2,5),(2,6)},所以B∩A=⌀,所以事件B与事件A是互斥事件.规律方法

事件运算应注意的两个问题(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.变式训练4设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是(

)A本节要点归纳1.知识清单:(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;(4)交事件与并事件;(5)互斥事件与对立事件.2.方法归纳:列举法、Venn图法.3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.学以致用·随堂检测促达标123451.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是(

)A.①②③ B.①③④