67-2024年甘肃省兰州市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2024的绝对值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．若∠A＝80°，则∠A的补角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×10114．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a5．一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（）A．18m B．24m C．36m D．54m8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．9．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．110．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）A． B． C． D．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°12．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（）A． B． C．4cm D．8cm二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2﹣2a+1＝．14．如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝．15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝．16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是.（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：﹣×．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝4．20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．（1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式；（2）当OC＝4时，求△ABD的面积．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．22．（6分）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：水平距离x（m）0341015202227竖直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．23．（6分）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC与△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依据1：：依据2：；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）24．（6分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝；（2）下列结论正确的是；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．25．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若BO＝4，，求ED的长．27．（8分）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．28．（9分）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”．例如：如图1，A（2，4），B（2，2），是线段AB外一点，Q（2，3）在PO的延长线上，且，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中，是图形W1的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B（2，2），C（5，2），若直线MN：y＝﹣x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值；（3）如图3，已知图形W3：以T（t，1）为圆心，半径为1的⊙T，若以D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F（2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．

2024年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2024的绝对值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．2．若∠A＝80°，则∠A的补角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°．故选：A．【点评】此题主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键．3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：数据87790000000用科学记数法表示为8.779×1010．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．4．计算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a B．﹣a C．2a D．﹣2a【分析】根据单项式乘多项式去括号，再用整式的加减法则计算即可．【解答】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．一次函数y＝2x﹣3的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b的符号判定该一次函数所经过的象限即可．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函数y＝2x﹣3经过第一、三、四象限，即一次函数y＝2x﹣3不经过第二象限．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．6．如图，小明在地图上量得∠1＝∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等【分析】根据∠1和∠2在图中的位置判断这两个角是什么角，即可从选项中找出小明判断的依据．【解答】解：∵∠1和∠2是内错角，∠1＝∠2，∴判断幸福大街与平安大街互相平行的依据是：内错角相等，两直线平行．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的几个判定方法是解决问题的关键．7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（）A．18m B．24m C．36m D．54m【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝36m．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用三角形中位线定理是关键．8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据概率公式计算即可．【解答】解：从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率．故选：D．【点评】本题考查概率公式以及七巧板，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．9．关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1【分析】因为关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9×c＝0，解得：c＝1，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据“999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果”列方程组求解．【解答】解：由题意得：，故选：A．【点评】本题考差了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B＝∠C＝＝25°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．12．如图1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为x（s），△BMN的面积为y（cm2）．y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD的边长为（）A． B． C．4cm D．8cm【分析】根据题意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，结合菱形的性质得∠DBC＝30°，过点M作MH⊥BC于点H，则HM＝xcm，那么y＝x2；设菱形的边长为acm，则BD＝acm，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4，利用最大值即可求得x，即可知菱形的边长a．【解答】解：根据题意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，过点M作MH⊥BC于点H，连接AC交BD于O，如图，则MH＝BM×sin∠MBH＝x（cm），∴y＝S△BMN＝BN•MH＝x2（cm2），设菱形的边长为acm，∴BD＝2BO＝2BCcos∠OBC＝2×a×＝a（cm），∴点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值4，∴x2＝4，解得x＝4（负值舍去），∴BC＝4，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质和二次函数的性质，关键是根据图象得出△BMN的面积达到最大值4时，M，N的位置．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．【分析】本题直接利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故答案为：（a﹣1）2．【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．14．如图，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝2．【分析】由等边三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、含有30°的直角三角形等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝108．【分析】利用弧长公式根据点P移动的弧长＝3个⊙M周长，列出关于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵⊙M的周长为2πcm，∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6πcm，∴6π＝，解得n＝108，故答案为：108．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次．两人的成绩（单位：环）如图所示．现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是①②.（填序号）【分析】①根据方差的意义判断即可；②根据算术平均数的定义判断即可；③根据随机事件的意义判断即可．【解答】解：由折线统计图可知，甲的成绩在3和5之间波动，乙的成绩在3和9之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确；乙的平均成绩比5大，甲的平均成绩比5小，所以乙的平均成绩更高，故②结论正确；每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误．故答案为：①②．【点评】本题考查了方差和折线统计图，掌握方差的意义是解答本题的关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：﹣×．【分析】先化简二次根式，再按照实数的运算法则进行计算．【解答】解：﹣×＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．18．（4分）解不等式组：．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣6，由②得：x＜1，∴﹣6＜x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分是解题的关键．19．（4分）先化简，再求值：，其中a＝4．【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将a＝4代入运算即可．【解答】解：原式＝÷＝÷＝＝，当a＝4时，原式＝＝．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．20．（6分）如图，反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．（1）求反比例函数与一次函数y＝mx+1的表达式；（2）当OC＝4时，求△ABD的面积．【分析】（1）分别将点A坐标代入两个函数解析式求出m、k值即可得到两个函数解析式；（2）将x＝4分别代入两个函数解析式得到点B、D的坐标求出BD长，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数y＝mx+1的图象交于点A（2，3），∴k＝2×3＝6，3＝2m+1，解得：k＝6，m＝1，∴一次函数解析式为：y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；（2）将x＝4代入一次函数得y＝5，∴D（4，5），将x＝4代入反比例函数得y＝，∴B（4，），∴BD＝5﹣＝，∴S△ABD＝＝．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长．【分析】（1）根据等腰三角形性质得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，则∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出结论；（2）根据等腰三角形性质得BD＝CD＝BC＝2，根据四边形ADCE是矩形，则AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，进而可在Rt△AEC中求出AC＝，然后根据三角形的面积公式可求出EF的长．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，∴BD＝CD＝BC＝2，由（1）可知：四边形ADCE是矩形，∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，由勾股定理得：AC＝＝，∴EF⊥AC，由三角形的面积公式得：S△AEC＝AC•EF＝AE•CE，∴EF＝＝．【点评】此题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．22．（6分）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下：水平距离x（m）0341015202227竖直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根据如表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．【分析】（1）依据题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，故抛物线的顶点为（15，9），从而可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9，又抛物线过（10，8），求出a即可得解；（2）依据题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5，计算即可得解．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝15，∴抛物线的顶点为（15，9）．∴可设抛物线为y＝a（x﹣15）2+9．又抛物线过（10，8），∴25a＝﹣1．∴a＝﹣．∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣15）2+9．（2）由题意，结合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，∴令x＝5，则y＝﹣（5﹣15）2+9＝5．∴水火箭距离地面的竖直高度为5m．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．23．（6分）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”．如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：①木条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接AB；②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线上的落点记为点D；④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法．如图2，BA＝BC．请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC与△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依据1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依据2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）：依据2：三角形内角和定理；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据“观察发现”延长CB至点D，且DB＝CB，连接CA，AD即可知以点A为顶点的∠DAC为直角；（2）根据作图可知利用了等边对等角，以及三角形内角和定理；（3）根据过定点作已知直线的垂线的方法作图即可．【解答】解：（1）；（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；（3）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及尺规作图的作垂线操作体验．24．（6分）为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平．现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如图．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m＝4；（2）下列结论正确的是①③；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．【分析】（1）用样本总体减去良好、合格、待提高成绩的人数即可得出答案；（2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）m＝20﹣7﹣2﹣7＝4，故答案为：4，（2）①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的（8÷20）×100%＝40%，故①正确；②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于80≤x＜90之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确；故答案为：①③；（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有180×＝18（人）．【点评】本题主要考查了频数分布图和分布表，个体占比，中位数的意义，用样本估计总体等知识，能从图表中获取有用信息进行分析是解题的关键．25．（6分）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．【分析】在Rt△BOD中，根据BD的长，由tan∠BOA，求出OD的长，由sin∠BOA，求出OB的长，在Rt△COE中，根据OB＝OC，利用cos∠COE，求出OE的长，由OE﹣OD求出ED的长即可．【解答】解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝，∵2.05≈，0.90≈，∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°，∴cos∠COA＝，即cos37°≈，整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），则ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若BO＝4，，求ED的长．【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，进而得∠DBA＝∠BDO证明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根据∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根据∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，据此可得出结论；（2）根据BO＝4得AB＝2OB＝8，则EB＝AE+8，根据∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA＝，则tan∠DBA＝AD/BD＝，设AD＝a，BD＝2a，证明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，则2ED＝ED+8，据此可得ED的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCD＝∠BDA＝90°，OB＝OD，∴∠DBA＝∠BDO，在Rt△BCA和Rt△BDA中，，∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），∴∠CBA＝∠DBA，∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，∴∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；（2）解：∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8，∴EB＝AE+AB＝AE+8，∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝，在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，∴设AD＝a，BD＝2a，∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB，∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得：AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，∴2ED＝ED+8，∵ED＝．【点评】此题主要切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质，锐角三角形函数进行计算是解决问题的关键．27．（8分）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN＝BM．【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思考并证明；【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．【分析】（1）证明△ANM≌△MBD（SAS），得到MN＝DB；（2）证明AD∥BF，DB∥AF，得出四边形AFBD为平行四边形；（3）过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O，当点G、M、C三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG的值，在Rt△GOC中，，得出BN+CM的最小值为．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，∴DM＝AM，∠AMD＝120°，∴∠DMB＝60°，∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴MN＝DB；（2）解：四边形AFBD为平行四边形，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°，∴∠MAD＝∠ABF＝45°，则AD∥BF，在△ANM和△MBD中，，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴∠AMN＝∠MDB，∵AE⊥MN，∴∠AMN+∠MAE＝90°，∵∠MDB+∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF，∴DB∥AF，∴四边形AFBD为平行四边形；（3）解：如图，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM、GC，BG，延长CB，过点G作GO⊥CB于点O，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠GAM＝∠BCN＝45°，∵