2024年中考数学二轮复习重难点04 全等三角形与相似三角形（原卷版）

重难点突破04全等三角形与相似三角形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01旋转中的全等模型类型一对角互补模型类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型类型三手拉手旋转模型类型四中点旋转模型类型五通过旋转构造三角形全等题型02构造相似三角形解题类型一做平行线构造“A”型相似类型二做平行线构造“X”型相似类型三作垂线构造直角三角形相似类型四作垂线构造“三垂直”型相似题型03与相似三角形有关的压轴题类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）类型四相似中的“一线三等角”模型类型五相似三角形与多边形综合题型01旋转中的全等模型类型一对角互补模型1．（20-21八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的长．2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF=_________°，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则CQBM剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM3．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．类型二对角互补且有一组邻边相等的半角模型4．（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．5．（20-21九年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）问题背景．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．

（2）猜想论证．如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．

（3）拓展应用．如图3，在四边形ABDC中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB:AC:BC=3:4:5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为．

6．（2020·河南南阳·模拟预测）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F．（1）当∠MBN绕点B旋转到AE=CF时（如图1），①求证：△ABE≌△CBF；②求证：AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．类型三手拉手旋转模型7．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．8．（2020·辽宁丹东·中考真题）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D'，∠BAD=∠B'A'D'，起始位置点A在边A'B'上，点B在A'B'所在直线上，点B（1）如图1，若点A与A'重合，且∠BAD=∠B'（2）若点A与A'不重合，M是A'C'上一点，当MA'=MA时，连接BM和A①如图2，当∠BAD=∠B'A'D'=90°②如图3，当∠BAD=∠B'A'D'=60°③在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4，AB=29．（2022·河南驻马店·三模）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=9cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．(1)如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；(2)如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；(3)如图3，将△ABC改为等腰直角三角形，其中斜边AB=6，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．类型四中点旋转模型10．（2023·河北唐山·二模）已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．

【猜想论证】(1)猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．【拓展探究】(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG.你在(1)中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．11．（2023·山东淄博·中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．(1)操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为________．

(2)深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．

12．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积．类型五通过旋转构造三角形全等13．（2022·内蒙古呼和浩特·二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为23、2、4，则正方形ABCD的面积为（

A．28+83 B．14+43 C．1214．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为由②可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为

(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】：如图1，点D是等边△ABC内一点，连接AD,BD，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，连接DE，观察发现：BD与CE的数量关系为________，直线BD与CE所夹的锐角为________度；【尝试应用】：如图2，在等腰直角△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是等腰直角△ABC内一点，连接AD，BD，CD，若AD=22,BD=5,CD=3，求

【拓展创新】：如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D为平面内一点，且∠ADB=60°,ADBD=3

题型02构造相似三角形解题类型一做平行线构造“A”型相似16．（2023·内蒙古·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是AE的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=10，求17．（2018·湖北黄石·中考真题）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：S（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB=3类型二做平行线构造“X”型相似18．（2023九年级·全国·专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．(1)如图1，当EF∥BC时，求证：BEAE(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．19．（2023·湖北孝感·三模）【问题情境】小睿遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=4,BD=2DC，求AC的长．

【问题探究】小睿发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点(1)①∠ACE的度数为________；②求AC的长；【问题拓展】(2)如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2m,BE=2ED，求BC的长．20．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌②若S矩形ABCD=20

（2）如图，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S

（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG

类型三作垂线构造直角三角形相似21．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．22．（2020·江苏南通·中考真题）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEBE＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t类型四作垂线构造“三垂直”型相似23．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=55，则BD的长为

24．（2022上·江苏扬州·九年级统考期中）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A=90°，AB=9，BC=7，25．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，A．23 B．11 C．3214题型03与相似三角形有关的压轴题类型一运用相似三角形的性质与判定求点的坐标26．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=35，点C为平面内一动点，BC=32，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．当线段OM

A．35,65 B．35527．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点AA．(−12,0) B．(−13,0) C．(±12,0) D．(±13,0)28．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，正比例函数y=−3x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，B1,m两点，点C在

(1)m=______，k=______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标．类型二运用相似三角形的性质与判定求线段的最值29．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB∼△DCA，若AD=3AP，点Q是线段AB上的动点，则A．72 B．62 C．5230．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为．31．（2023·四川泸州·中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是

32．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．类型三利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”型的最值（阿氏圆）33．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是34．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x

(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+135．（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A和C1,0，交y轴于点B0,3，抛物线的对称轴交x（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α0°<α<90°，连接AE'，BE'，求BE'+（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；类型四相似中的“一线三等角”模型36．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图1，∠ABC=90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的长度为．（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，当BE+BF=9时，求四边形MEBF的面积．（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF=α且tanα=34，若BF=837．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD，点E在射线AB上，现将矩形折叠，折痕为DE，点A的对应点记为点F．

(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与△BEF相似的三角形；(2)深入探究：如图2，若点F落在矩形ABCD的边BC的下方时，EF、DF分别交BC于点M、N，过点F作