66-2024年湖北省武汉市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件3．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．4．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×1065．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+16．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）A．B．C．D．7．小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°第7题第9题第10题8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A． B． C． D．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作℃．12．某反比例函数y＝具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是．13．分式方程＝的解是．14．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据：tan63°≈2）15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是．16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．其中正确的是（填写序号）．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）求不等式组的整数解．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m，n的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．24．（12分）抛物线y＝x2+2x﹣交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式．

2024年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．【解答】解：A、B、D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（）A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定性事件【分析】根据必然事件、随机事件的定义进行判断即可．【解答】解：小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件．故选：A．【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．3．如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：该几何体的主视图为：．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近300000亿元，同比增长5.3%，国家高质量发展取得新成效．将数据300000用科学记数法表示是（）A．0.3×105 B．0.3×106 C．3×105 D．3×106【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：300000＝3×105，故选：C．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．5．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a12 C．（3a）2＝6a2 D．（a+1）2＝a2+1【分析】利用同底数幂乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．【解答】解：a2•a3＝a5，则A不符合题意；（a3）4＝a12，则B符合题意；（3a）2＝9a2，则C不符合题意；（a+1）2＝a2+2a+1，则D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】分成3段分析可得答案．【解答】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象，利用分类讨论思想，根据不同时间段能装水部分的宽度的变化情况分析水的深度变化情况是解题关键．7．小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（）A．64° B．66° C．68° D．70°【分析】由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质和三角形内角和定理求出答案即可．【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，BC∥AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∵∠A＝44°，∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角和菱形的判定与性质，解题关键是根据已知条件中的作图判定四边形ABCD的形状．8．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据题意列表，由表格可得出所有等可能的结果数以及至少有一辆车向左转的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：直行左转右转直行（直行，直行）（直行，左转）（直行，右转）左转（左转，直行）（左转，左转）（左转，右转）右转（右转，直行）（右转，左转）（右转，右转）由表格可知，共有9种等可能的结果，由表格可知，至少有一辆车向右转的结果有共5种，∴至少有一辆车向右转的概率为．故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（）A． B． C． D．【分析】过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，由角平分线的性质推出MC＝CN，判定四边形AMCN是正方形，得到AM＝AN，由圆周角定理得到＝，推出CD＝BC，即可证明Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），得到ND＝MB，推出AB+AD＝2AM＝2，求出AM＝1，判定△ACM是等腰直角三角形，求出AC＝AM＝，由圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝120°，由等腰三角形的性质推出AH＝AC＝，∠AOH＝∠AOC＝60°，由sin∠AOH＝＝，求出OA＝，得到⊙O的半径是．【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴AC平分∠BAN，∴MC＝CN，∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，∴四边形AMCN是正方形，∴AM＝AN，∵∠BAC＝∠CAD，∴＝，∴CD＝BC，∵CN＝CM，∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），∴ND＝MB，∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，∴AM＝1，∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴AC＝AM＝，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝AC＝，∠AOH＝∠AOC＝60°，∵sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OA＝，∴⊙O的半径是．故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），推出ND＝MB，得到AB+AD＝2AM．10．如图，小好同学用计算机软件绘制函数y＝x3﹣3x2+3x﹣1的图象，发现它关于点（1，0）中心对称．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（）A．﹣1 B．﹣0.729 C．0 D．1【分析】根据所给函数图象，发现点An纵坐标的变化规律，再根据中心对称图形的性质即可解决问题．【解答】解：由题知，点A10的坐标为（1，0），则y10＝0．因为函数图象关于点（1，0）中心对称，所以y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0，将x＝2代入函数解析式得，y＝23﹣3×22+3×2﹣1＝1，即y20＝1，所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1．故选：D．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算得出点A10的坐标，进而发现y9+y11＝y8+y12＝…＝y1+y19＝0是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下2℃记作﹣2℃．故答案为：﹣2【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．12．某反比例函数y＝具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是1（答案不唯一）．【分析】根据反比例函数的性质以及题意可知k＞0，再进行取值即可．【解答】解：由题可知，当反比例函数y＝具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小，即k＞0时满足条件，则k的值取1．故答案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例的性质是解题的关键．13．分式方程＝的解是x＝﹣3．【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x﹣1）（x﹣3）≠0，故原方程的解为x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．14．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是51m．（参考数据：tan63°≈2）【分析】过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H，在Rt△BCH中和Rt△ACH中，解直角三角形求出CH，AH，即可求出答案．【解答】解：过点C作CH∥BD，延长BA交CH于H，由题意得∠ABD＝∠CDB＝90°，∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，∴四边形BDCH是矩形，∴BH＝CD＝102m，在Rt△BCH中，∠BCH＝63°，tan∠BCH＝，∴CH＝≈＝51（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴∠CAH＝45°＝∠ACH，∴AH＝CH＝51m，∴AB＝BH﹣AH＝51m．答：黄鹤楼的高度约为51m．故答案为：51．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，把实际问题转换为直角三角形问题解决是解决问题的关键．15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是．【分析】方法一：由BE＝kAE可想到构造8字型相似，再利用比例线段求解即可；方法二：见到45°可构造等腰直角三角形，再利用手拉手全等和一个角平分线比例定理即可求解．【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G，∵AG∥BP，∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，∴△AGE∽△PBE，∴＝，设AG＝1，则BP＝k，∵∠NMP＝45°，∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，∵AN＝BP＝k，∴MN＝k﹣1，∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，∴＝；方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，易证△GBA≌△PBC，∴∠BGP＝∠AGP＝45°，根据角平分线比例定理得：，设AG＝1，则BG＝k，∴AM＝1，MD＝k＝AN，∴MN＝k﹣1，∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，∴＝；故答案为：．【点评】本题主要考查勾股定理得证明及正方形得性质、相似的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识和添加合适辅助线是解题关键．16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：①b＞0；②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．其中正确的是②③④（填写序号）．【分析】通过对称轴可判断①；（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，判断②正确；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，∴对称轴为直线，∴，∴，∵a＜0，∴b＜0，故①错误；∵0＜m＜1，∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，又∵a＜0，∴x＝m﹣1时，y＞1，∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；由①可得，∴，即﹣1＜b＜0，当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，设顶点线坐标为，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），∴﹣1﹣b+c＝1，∴c＝b+2，∴，∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，又，∴点A（x1，y1）离较远，∴对称轴，解得：，故④正确；故答案为：②③④．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）求不等式组的整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣2；由②得，x≤1，故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，故不等式组的整数解为﹣1、0、1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．再证明DF＝BE，然后由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证明AF＝BE，再由平行四边形的性质得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．∵AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣CE，∴DF＝BE，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：如图，添加BE＝CE，理由如下：∵AF＝CE，BE＝CE，∴AF＝BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．19．（8分）为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．随机抽取m名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表．测试成绩频数分布表成绩/分频数4123a2151b06根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出m，n的值和样本的众数；（2）若该校九年级有900名学生参加测试，估计得分超过2分的学生人数．【分析】（1）用频数分布表中2分的频数除以扇形统计图中2分的百分比可得m的值，用总人数乘以3分百分比求出a的值，即可求出b的值，用b的值除以总人数即可求出n的值，根据众数的定义即可求出众数；（2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中超过2分的学生人数所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，m＝15÷25%＝60，∴a＝60×30%＝18，∴b＝60﹣12﹣18﹣15﹣6＝9，∴n%＝×100%＝15%，∴n＝15，样本的众数为3；（2）900×＝450（名），答：估计得分超过2分的学生人数有450名．【点评】本题考查扇形统计图、频数（率）分布表、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、众数的定义是解答本题的关键．20．（8分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．（1）求证：AB与半圆O相切；（2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．【分析】（1）连接OD，连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AC，然后利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得到cosC＝，在Rt△OCA中，由cosC＝＝，即可求出sin∠OAC．【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，而OH⊥AB，∴OH＝OD，∴AB是⊙O的切线；（2）由（1）知OD⊥AC，在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2，∴OD2+42＝（OD+2）2，∴OD＝3，∴OC＝5，∴cosC＝＝，在Rt△OCA中，cosC＝＝，∴sin∠OAC＝＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键．21．（8分）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．（1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；（2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；（3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；（4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形；（2）作点A故BC的对称点A′，连接CA′交射线ADF于点E，点E即为所求；（3）构造等腰直角三角形AFC即可；（4）取格点P，Q，E，W，K，L，连接PQ，EW，KL，PQ交射线AF于点M，EW交KL于点J，连接MJ，延长MJ交BC一点N，线段MN即为所求（证明△ABG≌△MNG，可得结论）．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求；（2）如图1中，点E即为所求；（2）如图2中，点C，射线AF，点G即为所求；（3）如图2中，线段MN即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（10分）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线y＝﹣x+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级．（1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km，①直接写出a，b的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离．（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值；②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离；（2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围．【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6），∴81a+9＝3.6．解得：a＝﹣．∵y＝﹣x+b经过点（9，3.6），∴3.6＝﹣×9+b．解得：b＝8.1；②由①得：y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣15x+）+＝﹣（x﹣）2+（0≤x≤9）．∴火箭运行的最高点是km．∴﹣1.35＝2.4（km）．∴2.4＝﹣x2+x．整理得：x2﹣15x+36＝0．解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3．由①得：y＝﹣x+8.1．∴2.4＝﹣x+8.1．解得：x＝11.4．∴11.4﹣3＝8.4（km）．答：这两个位置之间的距离为8.4km；（2）当x＝9时，y＝81a+9．∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）．设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．∴y＝﹣x+b经过点（9，81a+9），（15，0）∴．解得：．∴﹣＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km．【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值．23．（10分）问题背景如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE．问题探究如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG．问题拓展如图（3），在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值．【分析】（1）根据中点可得出两边对应成比例且夹角相等得两个三角形相似；（2）由中点和平行线可以联想作倍长中线全等，即延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，证△AME≌△BFE（AAS），再证△MFH≌△BDC（SAS）即可得证；（3）这一问是建立在第二问的基础上，所以很容易想到构造相似通过线段关系转化求解，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，AF＝a，证FE垂直平分AB得到AF＝BF＝a，再证△EGH∽△FGB即可求解．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB和BC中点，∴，，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∴，∵∠EBF＝∠C＝90°，∴△BCD∽△FBE；（2）方法一：如图延长FE交DA延长线于点M，作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF是矩形．∵E是AB中点，∴AE＝BE，∵AM∥BC，∴∠AME＝∠BFE，∠MAE＝∠FBE，∴△AME≌△BFE（AAS），∴AM＝BF，∵AD＝2CF，CF＝DH，∴AH＝DH＝CF，∴AM+AH＝BF+CF，即MH＝BC，∵FH＝CD，∠MHF＝∠BCD＝90°，∴△MFH≌△BDC（SAS），∴∠AMF＝∠CBD，又∵∠AMF＝∠BFG，∴∠CBD＝∠BFG，∴BG＝FG；方法二：如图，取BD中点H，连接EH、CH，∵E是AB中点，H是BD中点，∴EH＝AD，EH∥AD，∵AD＝2CF，∴EH＝CF，∵AD∥BC，∴EH∥CF，∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥CH，∴∠HCB＝∠GFB，∵∠BCD＝90°，H是BD中点，∴CH＝BD＝BH，∴∠HCB＝∠HBC，∴∠GFB＝∠HBC，∴BG＝FG；（3）如图，过F作FM⊥AD于点M，取BD中点H，连接AF，则四边形CDMF是矩形，∴CF＝DM，∵AD＝2CF，∴AM＝DM＝CF，设CF＝a，则AM＝DM＝CF＝a，AD＝CD＝2a＝MF，∴AF＝＝a，∵AG＝FG，BG＝FG，∴AG＝BG，∵E是AB中点，∴FE垂直平分AB，∴BF＝AF＝a，∵H是BD中点，∴EH是△ABD中位线，∴EH＝AD＝a，EH∥AD∥BC，∴△EGH∽△FGB，∴＝＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键．24．（12分）抛物线y＝x2+2x﹣交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）如图（1），连接AC，BC，过第三