2023年中考人教版数学一轮复习 第4章 三角形

第四章三角形

第一节几何初步、相交线与平行线

考点

易错自纠

易错点1因不理解点到直线的距离的定义而致错

1.点P为直线】外一点，点ABC为直线I上三点,PA=4cm/PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线1的距离是（D）

A.2cmB.4cmC.5cmD.不超过2cm

易错点2未给出图形求线段长或角度大小时忽略分类讨论致错

2.已知线段AB=8cm.在直线AB上画线段AC=5cm,则BC的长是.”“或句门n.

3.已知NAOB=35°,以0为顶点作射线0C若/A0C=2NAOB,则40035：或105”.

易错点3误认为同位角（或内错角）一定相等

4.如图，与/2一定相等的角是（C）

A.21

B.Z3

C.Z4

D.Z5

真题

考法速览

考法1角的度量（10年1考）

考法2垂线（10年1考）

考法3角及角平分线（10年2考）

考法4平行线的判定与性质（10年4考；

考法1角的度量

1.［河北用用量角器测量NM0N♦的度数下列操作正确的是（C）

AB

CD

考法2垂线

2.［2020河北川如图,在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（D）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

考法3角及角平分线

3」河北,2］如图,/1十/2等于(B)

A.60°B.90°

C.110°D.180°

考法4平行线的判定与性质

4.［河北,8］如图,AB〃EF£D1EF,NBAC=5O°，则/ACD二

A.120°B.130°

C.140°D.150°

5」河北,7］下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.

已知:如图，Z_BEC=Z.B+Z.C.

求证:AB//CD.

证明:筵长BE交涤于点F,

则乙即6=9+乙C（三角形的外角等于与它柳邻两个内角之和〉

又乙BEC=LB+CC,

：•4B=A,故4B〃CD（旦相等,两直线平行）,

则回答正确的是(C)

A.。代表/FECB.酰表同位角

C.▲代表/EFCD.※代表AB

第二节三角形及其性质

考点

易错自纠

易错点1误认为三角形的高一定在三角形内部

1.已知AD是AABC中BC边上的高,41）=5,0）=4出1）=2,则△?《长的面积等于，或行.

易错点2忽略三角形的三边关系致错

2.［2020贵州黔南州］已知等腰三角形的一边长等于1,一边长等于9,则它的周长为

A.9B.17或22C.17D.22

3.在AABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把ZXABC的周长分成60和40两部分，则AC48.

方法

命题角度I三角形的三边关系

口提分特训

1.［石家庄12中一模］如图,长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条，若得到的三根木条能组成三

角形，则x可以取的值为（C）

10m

A.2mB.m

C.3mD.6m

2.［2020浙江绍兴］长度分别为2,334的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），

得到的三角形的最长边长为（B）

A.4B.5C.6D.7

命题角度2三角形的内角和外角

D提分特训

3.［2020辽宁锦州］如图，在aABC中,,/B=50°,CD平分/ACB厕/ADC的度数是（C）

A.80°B.90°C.100°D.110°

4.［内蒙古赤峰］如图在AABC中点D在的延长线上，过点D作DE1AB于点E,交AC于点F.若

4=35°/D=15°,则/ACB的度数为（B）

A.65°B.70°

C.75°D.85°

命题角度3三角形中的重要线段

。提分特训

5.［2020四川宜宾］如图点那分别是的边AB,AC的中点，若/A=65。，/ANM=45。厕/B=（D）

A,20°B.45°C,65°D,70°

6.［2020陕西］如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点W'都在格点上.若BD是aABC的高，则

BD的长为（D）

A.^/13C.4713

13131313.

真题

考法速览

考法1三角形的稳定性（10年1考）

考法2三角形的三边关系（10年2考）

考法3三角形的内角与外角（10年2考）

考法4三角形的中位线（10年3考）

考法1三角形的稳定性

1.［河北川下列图形具有稳定性的是（A）

C£7+C

ABCD

考法2三角形的三边关系

2.［河北⑹如图⑴,M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成AABC,且4=30。/C=100。，如图⑵.则下列说

法正确的是（C）

C

.__________________

AMDA（D}B

图⑴图⑵

A.点M在AB上

B.点V在BC的中点处

C.点M在BC上,且距点B较近，距点C较远

D.点M在BC上，目距C较近，距点B较远

3.［河北10］已知三角形三边长分别为2禺13,若x为正整数则这样的三角形个数为（B）

A.2个B.3个C.5个D.13个

考法3三角形的内角与外角

4.［河北4］平面上直线a,b分别过线段0K两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是（B）

A.20°B.30°

C.70°D.80°

Kb

考法4三角形的中位线

5.［河北⑹如图点A,B为定点，定直线1〃岫P是1上一动点点M,X分别为PA,PB的中点，对于下列各值：

①线段MN的长；

©APAB的周长；

③△PMN的面积；

④直线M'AB之间的距离；

⑤NAPB的大小.

其中会随点P的移动而变化的是（B）

A,②③B,②®C.④D.④®

6.［河北,2］如图,ZkABC中DE分别是边AB,AC的中点若DE=2,则BC=（C）

A.2B.3C.4D.5

二［河北,17］如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点C,连接CA,CB,并分别延长

到点M,N,使AM点C,BN=BC,测得MN=200m,则AfB间的距离为100阳.

高分突破-微专项3与角平分线相关的三大模型

口强化训练

L［湖南张家界］如图在△ABC中,/C=90。，BD平分/AB&AC=8,DC=|AD,则点D到AB的距离等于（C）

A.4B,3C.2D.1

CD4

2.［2020贵州贵阳］如图,RSABC中,NC=%°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD汾别以点D,E为圆

心、以大于刎的长为半径作弧,两弧在

ZCBA内交于点F；作射线BF交AC于点G,若CG=1,P为AB上一动点，则GP的最小值为（C）

A.无法确定

C.1D.2

AB

3」唐山开平区一模］如图，在RtAABC中,/ACB=90°,/BAC=30\/BAC的平分线交BC于点D,过点D作DE1AB,

垂足为％连接CE交AD于点F.有以下结论:①AM2CE；②AO4CD；③CE1AD；④ZkDBE与aABC的面积比是

1：（7+4商

其中正确结论是（A）

A.③④B.②③C.①@D.①④

葭

4.［湖南永州］如图/AOB=60°,0C是/AOB的平分线，点D为0C上一点，过点D作直线DE1OA,垂足为点F,且直

爱DE交0B于点F.若DE=2,则DF=1.

5.［石家庄42中三模］如图，在RtAABC中,/ACB=90°,AC=4,BC=3.将RtAABC平移到RtAA*B*C的位置，使得点

C,与4ABC的内心重合，则图中阴影部分的面积为（D）

6.如图，直线MN〃PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,

以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB亍点I）；②分别以点C,D为圆心、大于fl）的长为半径作弧,两弧在

ZNAB内交于点E；③作射线AE,交PQ于点F,若AB=2,/ABP=601则线段AF的长为一

7湖北荆州］如图，矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在/MON的边0\i,0\上若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作

ZMON的平分线，小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线0E厕射线0E平分有以下几条几何性质:①

矩形的四个角都是直角启）矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一"小明的作法依据是（C）

A.①②B.®®C.②③D.①②③

8.如图所示对是aABC的边BC的中点,AN平分/BAC,BNJ_AN于点'连接帆着AB咻MN=2厕AC的长是

12.

9.如图,ED是/BEA的平分线,/B=NEAC,EDJ_AD.求证:AD平分/BAC

证明:如图，延长AD交欢于点F,

1ED是/BEA的平雒

:.ZAED=ZFED.

又NFDE=180°-ZADE=90°=ZADE,DE=DE,

,,.△EHD^AEAD,

ZDAE=ZDFE,

ZFAC+ZCAE=ZBAF+ZB.

又NBNEAC,,•，/FACNBAF,

AAD平分/BAC.

10.如图，在AABC中,NABC=3NC,NBAC的平分线AD交BC于点D.BE1AD于点E.求证:ALAB=2BE.

证明:如图，延长BE交AC于点F,易证△ABE0ZXAFE,

AF=AB,BE=EF,ZAFB=/ABF,

；.ZFBC+ZC=ZABC-ZFBC.

又NABC=3NC,.・.ZFBC+ZC=3ZC-ZFBC,

.,.ZFBC=ZCf.*.FC=FB=2BE；

AAC-AB=AC-AF=CF=2BE.

第三节等腰三角形和直角三角形

考点

易错自纠

易错点1已知等腰三角形一个角的度数求顶角(或底角)的度数时忽略分类讨论

1.若等腰三角形的一个内角为50°，则该三角形顶角的度数是一前或m.

易错点2解决特殊三角形的存在性问题时忽略分类讨论

2.在△ABC中,AB=AC/BAC=100°,点D在BC边上，连接AD,若ZXABD为直角三角形，则ZADC的度数为90或

130°.

方法

命题角度！等腰三角形的性质与判定

D提分特训

1.［2020湖北黄冈］已知如图在△ABC中点D在边BC±,AB=AD=DCfZC=35°，则NBAD=10度.

2.［重庆A卷］如图，在aABC中,AB=AC,D是3c边上的中点，连接AD,BE平分/ABC交AC于点E,过点E作即〃BC

交AB于点F.

(1)若NC=36。，求NBAD的腐蜘

(2)求证:FB=FE.

⑴解:=AB=AC,点D为BC的中点

/.ZABC=ZC=36°,AD1BC,

；.ZBAD=90°-NABC=90°-36°=54°.

⑵证明:・・・BE平分NABC,EF〃BC,

ZABE=ZEBCfZFEB=ZEBC,

ZFEB=ZABEf

AFB=FE.

命题角度2等边三角形的性质与判定

口提分特训

3.如图,AABC是等边三角形,P是三角形内任意一点,D,E,F分别是AC,AB,BC边上的三点，且PF〃AB,PD〃BC,PE〃

AC.若PF+PD+PE=a，则AABC的边长为

A.V2aB.V3a

C.-aD.a

4.［2020江苏常州］如图，在AABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若AAFC是等边三角形，则NB二

30°.

命题角度3直角三角形的性质与判定

口提分特训

5.［2020浙江宁波］如图在RtAABC中,4CB=90°,CD为中线，延长CB至点E,使RE啡C,连接DE,F为DE的中点,

连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为

A.2B.2.5C.3D.4

6」陕西］如图，在AABC中,/B=30°,/C=45°,AD平分/BAC交BC于点D,DE_LAB,垂足为E.若DE=1,则BC的长

A.2+V2B.V2+V3C.2+V3D.3

真题

考法速览

考法1等腰三角形的性质与判定（10年3考）

考法2等边三角形的性质与判定（10年2考）

考法3直角三角形的性质与判定（10年3考）

考法1等腰三角形的性质与判定

1.［河北⑻已知:如图，点P在线段AB外且MhPB.求证点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时，需添

加辅助线，则下列作法不正确的是

A.作/APB的平分线PC,交AB于点C

B.过点P作1P_LAB于点。且AC=BC

C.取AB中点C,连接PC

D.过点P作PC_LAB,垂足为点C

考法2等边三角形的性质与判定

2.［河北J6］如图,/A0B=120。，0P平分/A吗且0P=2.若点M,N分别在OA,OB上且△PMN为等边三角形，则满足

上述条件的有（D）

A.1个B.2个

C.3个D.3个以上

3.［河北13］一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示若/3=50°,则〃+/2二

A.90°

B.100°

C.130°

D.1809

考法3直角三角形的性质与判定

4.［2020河北［6］如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸

片，面积分别是123A5,选取其中三块何重复选取）按如图所示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大

的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是

A.1,4,5B.2,3,5

C.3,4,5D.2,2,4

5」河北,14］如图,AB£D相交于点0,ACJ_CD于点C,若NB0D=38。厕NA等于52'.

K

c

B

6」河北J9］勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A,B,C三地的坐标，数据如图(单位;km).笔直铁

路经过A,B两地.

(1)A,B间的距离为20km；

⑵计划修一条从C到铁路AB的购公蹲1,并在1上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等，则C,D间的距离

为13km.

•C(0,-17)

高分突破•微专项6与中点相关的五大模型

口强化训练

1.如图，已知在△ABC中,/B=251点D在边CB上，目/DAB=9Q\ACWBD,则ZBAC的度数为1050.

BDC

2.［山东临沂］如图在AABC中/ACB=120'，BC=4,点D为AB的中点,DC1BC,则4ABC的面积是」V5_.

C

4DH

3.如图，在△ABC中度=18阿件是高点F,G分别为BC.DE的中点若ED=10,则FC的长为，VH_,

4.［2020山东德州中考节选］问题探究：

小红遇到这样一个问题:如图⑴,△ABC中,但6声＞4押是中线求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使

DE=AD,连接1览,证明aBED以△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答；

⑴小红证明ABEDg/XCAD的判定定理是一S.'d.

(2)AD的取值范围是1/AIX5,

方法运用：

⑶如图⑵,AD是AABC的中线，在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BFAC.

//•

Rfc

图⑴图⑵

⑴SAS

(2)1<AD<5

解法提示:'•'△BEDgaCAD,

；.BE=AC=4,

^EAABE中，根据三角形的三边关系得AB-BE〈AE〈AB+BE,

.*.2<2AD<10,

1<AD<5.

⑶证明:如图，延长AD至A',使DA'二AD,连接B.V,

VADgAABC的中线，

7.BD=CD.

R7ZADC=ZBDA,押=DA',

/.AADC^AA*DB,

；.AC=BA\ZCAD=ZA\

,.,AE=EF,

:.NEAF;NAFE,又NAFE二NBFA',

.•.NA'=NBFA',

,\BF=BA\

,*.BF=AC.

5.如图在△ABC中,AB=A。点D是BC的中点,DEL也于点匕若DE=2,则点D到AC的距离为2.

6.[2020贵州黔西南州中考改编]如图，在EtAABC中,NACB=90°,AC=BCM点D为AB的中点，以点D为圆心作扇

形DEF,且/EDF=90°,分经过点C.将扇形DEF绕点0旋转使点C始终在命上（不与点印重合）,DE,AC交于点

G,DF,BC交于点H,求四边形DGCH周长的最小值.

弊如图，连接CD.

•・・/ACB=90°,点D为AB的中点,AOBC,

1.NA=NDCH=45°,AD=CD,CD_LAB.

又/EDF=90°/・ZADG=ZCDH,AADG^ACDH,

ADG=DH,AG=CH,.,.CG+CH=CG+AG=AC=4.

故当DH+DG取最小值，即DH1BC时,四边形DGCH的周长最小，

又此时DH・DG=2DH=2X；.四边形DGCH周长的最小值为什4二8.

R

7.如图，在aABC中，点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，已知/ADE=45°,则/CFE的度数为（B）

A.40°B.45°C.50°D.55°

8.如图，在四边形ABCD中,AD=BC,点E,F,G分别是AB£D,AC的中点连接EF,EG,SZDAC=15°,ZACB=87°，则/FEG

的度数为招’

9.如图在KtAABC中,NB=90°,AB=2匹B，=3,E是AC的中点，延长BC至点F,使中邓。连接EF,求EF的长.

解:如图，取AB的中点D,连接DEQ,

则DE#BC,DE|BC,

又VCF4BC,.,.DE=CF,，四边形DCFI-是平行四边形,

.\EF=CD.

在RtABCD中；/B=90°,BDgAB二遮BC二3,

ACD=VBD2+BC2714,；.EE=CD-/i4.

10.如图在RtAABC中,/O90°,边AB的垂直平分线交BC于点N,交AB于点'，若AO跖MB=2MC,则AB的长度

为，代

1L如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图以点A,D为圆心、大于的长为半径作弧两弧交于点P,Q,作直线

PQ.已知直线PQ恰好经过点B,若AB=4,则点B到CD的距离为二V5_.

第四节全等三角形

考点

易错自纠

易错点1不能灵活运用全等三角形的判定定理解决问题致错

1.小明不慎将一块三角形玻璃摔碎成如图所示的四块（分别标有①©③④）,若带着其中一块去配与原来一样大

小的三角形玻璃,应该带（D）

A.©B.@C.③D.®

易错点2误用"SSA”判定三角形全等

2.如图,/BDA:/BDC,现添加以下条件不能判定△ABDg/XCBD的是（C）

A.ZA=ZC

B.ZABD=ZCBD

C.AB=CB

D.AD=CD

易错点3忽略“A与△全等”和“△色△?”的区别

3.如图，在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点

运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为vcm冷厕当ABPD与ACQI）全等时,v的

值为2或3.

方法

命题角度全等三角形的判定与性质

口提分特训

1」贵州安顺］如图，点B,F,C,E在一条直线上,,叫九师（：/^,那么添力吓列—?条件后仍无法判定4483加£尸

的是(1)

A.ZA=ZDB.AC=DF

C.AB二EDD.BF=EC

2.［2020辽宁辽阳］如图，在AABC中M、分别是AB和AC的中点，连接MN,点I:是CN的中点，连接ME并延长，交BC

的延长线于点。若BO4,则CD的长为2.

B

3.［2020江苏常州］已知如图，点A,B£D在f直线上坪〃FB,EA邙B,AB二CD.

⑴求证：/E=NF；

⑵若4=40°,ND=80"求/E的度数.

(1)证明・.・EA〃FB,

ZA=ZFBD.

VAB=CDf

.,.AB+BC=CD+BC,BPAC=BD.

EA=FB,

5AEAC与4/8口中，LA=ZFBD,

AC=BD,

:■△EACWZXFBD,

：・NE二NF.

(2)7AEAC^AFBDr

AZECA=ZD=80a.

又二/八制。。，

：・NE=180°-40°-80°=60°.

真题

考法全等三角形的性质与判定（必考）

1.［河北23⑴］如图，在AABCWAADE4>,AB=AD=6,BC=DEfZB=ZD=30°，边AD与边BC交于点P杯与点B,C重合）,

点B,E在AD异侧,【为AAPC的内心.求证NBAK/CAE.

证明:VAB=AD,ZB=ZD3C=DE,

.,.△ABC^AADE,

AZBAC=ZDAEf

：・ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：・ZBAD=ZCAE.

2」河北,21］如图，点B,F,C,E在直线1上(F,C之间不能直接测量)，点A,D在1异侧，测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

(1)求证:△ABCgaDEF；

(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由，

⑴证明:•・・BF=EC,

.\BF+FC=EC+CFfBPBC=EF.

又AB=DE,AC=DP,

/.△ABC^ADEF,

(2)AB〃DE,AC〃DF.

理由:••,△ABC色△口£&

：・ZABC=ZDEFrZACB=ZDFE,

；,AB〃DE,AC〃DF.

3.［河北23］如图,/A=/B=50°,P为AB中点点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP,并使MP的

延长线交射线BD于点N,设/BPN=a.

⑴求证:ZUPM且ABPN;

(2)当MN=2BN时，求a的值；

⑶若aBPN的外心在该三角形的内部，请直接写出a的取值范围，

⑴证明:为AB中点

,*.PA=PB=iAB.

2

ZA=ZB,

在AWM和△BPX中，PA=PB,

ZAPM=ZBPN,

.,.△APM^ABPN.

(2)由⑴得,△APM经Z\BPN,

;PV=PN」MN.

2

VMN=2BN,

.*.BN=1MN=PN,

a=ZB=50°.

(3)40°<a<90°.

解法提示:二.锐角三角形的外心在三角形的内部,

:.△BPN是锐角三角形，

.(00<a<90°,

■(0°<180°-50°-a<90°,

解得40°<a<90°.

高分突破-微专项7构造全等三角形中的两大辅助线技巧

技巧一利用旋转构造全等三角形

口强化训练

1.如图点P为等边三角形ABC内的一点，且点P到△ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,四祗则△ABC的面

汩夫3a+3Q

2.如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，点F为CD上一点,BE十DF=EF,则NEAF的度数为5.

3.如图，在△ABC中,/C=90°,点D,E,F分别在边CA,AB,BC上且四边形CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,则

△BFE和AAED的面积之和为1.31.

4.如图,0A=0D,0A_L0D,0B=0C,0B_L0C,经过点0的直线1分别交AB,CD于点E,F.

11)求证:

(2)若直线1平分CD,求证：0仁今电

⑴证明:•；0A=0D,

二可将△AOB以点0为旋转中心旋转至△DOG的位置，如图所示，则△AORqaDOG,

A-B

AZA0B=ZDOG,OB=OG.

,.•OA_LOD,OB=OC,OB_LOC,

ZCOD+ZAOB=ZCOD+/DOG=180°,OC=CG,

；，C,O,G三点共线,OD为ACDG中CG边上的中线，

==

SAOOCSAOCtifSA<IAHSA0C0.

⑵证明：.直线］平分CD,

.,.CF=DF,

由⑴可知,OC=0G,

AOF为ZXCDG的中雌，。呻。

由旋转性质可得DG=AB,

.\OE=iAB.

技巧二利用截长补短法构造全等三角形

口强化训练

5.如图，在AABC中,NCAB=NCBA=45°,点E为BC的中点，CN1AE.

⑴求证/1=/2;

(2)求证:AEXN+EN.

⑴证明:•••/CAB=NCBA=45°,

.,.ZACB=90°,.\ZACN+Z1=9O°.

VAE1CN,.*.Z2+ZACN=90d,AZ1=Z2.

⑵证明：

方法一（截长法）:如图⑴，在线段AE上截取AM=CN,连接CM.

易知AC=BC,又/1=N2,AM=CN,

「.△ACM且△CBN,

.*.CM=BN,ZACM=ZB=45°,

.•.ZMCE=45°,AZB=ZMCE.

「CM=RN,

在ZXMCE和AXBE中，ZMCE=ZB,

CE=BE,

*

,'.△MCE^ANBE,..EM=ENI

.\AE=AM+EM=CN+EN.

方法二（补短法）:如图⑵，延长CN到点M,使CM=AE，连接BM.

易知CB=CA,5JZl=Z2fCM=AE,

,,.△ACE^ACBM,

ACE=BM=BE,ZCBM=ZACE=90fl,

,'./MBN=45°=ZNBEf

BN=BN,

5ANBM和△\BE中，ZNBM=Z.NBE,

BM=B&

.\ANBM^ANBE,.\NM=EN,

Z.AE=CM=CN+NM=CN+EN.

6.如图在aABC中,AB=AC,点D是边BC下方一点.

⑴如图⑴，若NBAC=60°,NBDC=120°,求证:AD=BD+CD；

(2)如图⑵，若/BAC=90°ZBDC=90°,求证:AD=^(BD+CD).

图⑴图⑵

⑴证明:如图⑴，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE.

图⑴

VZBAC=60<,,ZBDC=120°,

ZABD+ZACD=180°.

Ji7ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE.

RVAB=ACfCE=BDf

AAABD^AACE,

1・AD二AE,/BAD二/CAE,

.,.ZDAE=ZBAC=60fl,

.••△ADE是等边三角形，

.'.AD=DE=CE4CD=BD+CD.

(2)证明加图⑵，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE.

图⑵

7ZBAC=90°,ZBDC=900,

AZABD+ZACD=180°,

R7ZACE+ZACD=180°,

:.ZABD=ZACE.

又「ABA二C£E二DB,

,'.△/\BD^AACE,

,

..AD=AE/ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ZBAC=90°,

必争呼CE+CD）4（BD+CD）.

第五节相似三角形(含位似)

考点

易错自纠

易错点1求两条线段的比时因长度单位不统一而致错

L一幅地图中甲、乙两地的图上距离：？cm表示实际距离150km,这幅地图的比例尺是I：3000000.

易错点2弄错相似三角形的面积比与相似比的关系

2.[2020四川内江]如图，在aABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四边形题=15,则%饵=

A.30B.25C.22.5D.20

易错点3未找准对应线段

3.如图，在△ABC中,DE〃BC,DE分别与ABfAC相交于点D£若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为

易错点4忽略与△，相似”和的区别

易错点5求位似变换后点的坐标时易漏解

5.在平面直角坐标系中，已知点A(W2),B(-6,-4),以原点0为位似中心相似比为，把AAB0缩小，则点A的对应点

A’的坐标是

A.(-2,1)B.(-8,4)

C(-8,4)或(8,-4)D.(-2,lM(2f-l)

方法

命题角度1相似三角形的判定与性质

D提分特训

1.［2020贵州铜仁］已知△FHBs/XEAD,它们的周长分别为30和15,且川=6,则EA的长为（A）

A.3B.2C.4D.5

2.［2020石家庄新华区一模］如图，在AABC中，点D在AB上,AD=5,CE是aBCD的角平分线，且CE=6.当ZBCD=2ZA

时,DE的长为（B）

A.3B,4C.5D,6

工［2020石家庄一模］如图,RtZXABC是一块铁板余料，已知/A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加口£一个形状为

平行四边形9DEFG）的工件，使GF在边BC上DE两点分别在边AB,AC上，目DE=5cm,则冲EFG的面积为（B）

4.［2020四川遂宁］如图,在平行四边形ABCD中,/ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,

若A42FD狈喈的值为（C）

bu

A.1B,1C-D「

2334

5.［2020江苏苏州］如图,在矩形ABCD电E是BC的中点DFJ_AE,垂足为F.

⑴求证:△ABES^DFA；

(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.

1l

8匚—1--C

⑴证明四边形ABCD是矩形，

：・NB=90°,AD〃BC,

ZAEB=ZDAF,

VDFIAE,.,.ZDFA=90a,

ZB=ZDFA,

/.△ABE^ADFA.

（2）解:：AABE^ADFA,端黑

VBC=bE是BC的中点,BE』BC』X4=2,

二在RSABE中,AE7AB2+BE2后午1

又・・"D二BCM.・.强邛，

Ur4

.6同

..nDrb=---.

命题角度2图形的位似

口提分特训

6.[2020唐山路北区二模]如图，以点0为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到AA'B'C'以下说法中借

误的是（C）

A.AABC-AA1B'C'

B.点&OC三点在同一直线上

C.AO：AA'=1:2

D.AB〃A'B,

乙方格纸中每个小正方形的边长都是单位L^OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示.

⑴请按要求对A0AB作变换:以点0为位似中心，位似比为2：l,^A0AB在位似中心的异侧进行放大得到

△0A*B'（点A,B的对应点分别为点A'B）.

⑵写出点A'的坐标.

⑶求△OA'B'的面积.

解:⑴如图所示,△OA'B'即为所求.

（2）点A'的坐标为（-6「2）.

(3)A0A，B,的面积为6X4-1X2X4-1X2X4-1X2X610.

真题

考法速览

考法1相似三角形的性质与判定（10年4考）

考法2图形的位似（10年3考）

考法1相似三角形的性质与判定

1.［河北用若△ABC的每条边长增加各自的lOM^AA1B'C',则/B'的度数与其对应角/B的度数相比（D）

A.增加了10%B.减少了10$

（'.增加了（1+10%）D.没有改变

2.［河北,15］如图,Z\ABC中,/A=78°,ABMK=6.将AABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不

里似的是（C）

3」河北13］在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下;

对于两人的观点，下列说法正确的是

甲;将边长为3,4的三角形按幽1）的方式向

外犷张,整到新三角形,它们的对应边同

距均为1*断三角拶与原三角号相似

L：将邻边为3和5的短彩按期2）的方式向外

，张,得到新转形,它们的对应边间距均

为1,则新姬形与原矩形不板

A.两人都对B.两人都不对

C.甲对,乙不对D.甲不对，乙对

4.［河北,9］如图在aABC中,/C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上将AABC沿DE折曲使点A落在点A'处若A'为

CE的中点，则折痕DE的长为

B.2C.3D.4

考法2图形的位似

5.［2020河北⑻在如图所示的网格中，以点0为位似中心,四边形ABCD的位似图形是

H

A.四边形NPMQB.四边形\PMR

C.四边形NHMQD.四边形NHMR

6.［河北,20］如图，在6乂8的网格图中，每个小正方形的边长均为L点。和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.

⑴以0为位似中心,在网格图中作B'C'，使B'C'和AABC位似，目位似比为1:2；

⑵连接⑴中的AA',求四边形AA'C'C的周长(结果保留根号).

解:⑴如图:

(2)由⑴可知,AA'=CC'=2.

在RtAOA*C中,0A'=0C'=2,得A*C*=2近,

故AC=2AC1夜，

,四边形AA'CC的周长=AA'M'I■C+AC=2+2A/2+2+4V2=4+6V5.

二［河北,23］如图⑴，点I:是线段BC的中点分别以B,C为直角顶点的AEAB和AEDC均是等腰直角三角形，且在

BC的同侧.

⑴AE和ED的数量关系为AE二ED；

AE和ED的位詈关系为M1ED.

⑵在图⑴中，以点E为位似中心，作AEGF与AEAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GRID,分别得到了图

(2)和图⑶.

①在图⑵中点F在BE±,AEGF与ZSEAB的相似比是1：2』是EC的中点.求证:GH=HD,GH1HD.

②在图(3)中，点V在BE的延长线上,AEGF与AEAB的相似比是k：1若BC=2,请直接写出CH的长为多少时，恰

好使得GH=HD且GHLID(用含k的代数式表示).

图⑴图⑶

(1)AE=EDAE1ED

(2)①证明曲题意即/B=ZC=90°,AB=BE=EC=DC.

'••△EGF与AEAB位似目相似比是1:2.

：.ZGFE=ZB=90°

1212

又“是EC的中点，

;,EH=HC=1EC,

:.GF=HC/ZGFH=ZHCD,FH=CD,

.,.△IIGF^ADHC,

.\GH=HD,ZGHF=ZHDC.

又'.•/HDC+/DHC=90°,，/GHF+NDHC=90°,

：・NGHD=90°,；.GH_LHD.

②CH的长为k.

高分突破・微专项8“一线三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“对角互补”模型

模型一“一线三等角”模型

口强化训练

1.如图，在四边形ABCD中,/RAD=/ACR=901AB=AD,AC=4BC,若CD的长为5,则四边形ABCD的面积为10.

2.如图,在平面直角坐标系中，等腰直角三角形0AB的一个顶点在原点处/AB0=90。，0B=AB,已知点A(2,4),则点

B的坐标为(3,1).

3.⑴探索发现

如图⑴，在AABC中，点D在边BC上,AABD与AADC的面积分别记为Si与S&试判断，与黑的数量关系，并说明理

曲

⑵阅读分析

小东遇到这样一个问题:如图(2),在RtAABC中,AB=AC,/BAC=90°,射线AM交BC于点D,点E,F在AM上，且

/CEM=/BFM=901试判断BF,CEfEF三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.

填空:①图⑵中的一对全等三角形为上曳竺①_；

②BF,CE,EF三条线段之间的数量关系为CE二讦・15.

(3)类比探究

如图⑶，在四边形ABCD中,AB二AD,AC与BD交于点0,点E,F在射线AC上，且/BC4/DEF二/BAD.

①判断BC,DE,CE三条线段之间的数量关系,并说明理由；

②若0D=30B,AAED的面积为2,直接写出四边形ABCD的面积.

理由如下：

过点A作AE_LBC于点E.

7SF>-AE,S^D-AE,.*A黑

//2>2

⑵①△AECgZ\BFA

@CE=EF+BF

(3)①DE=BC+CE.

理由如下：

VZBCF=ZDEF=ZBAD,

.*.ZACB=180°-ZBCF=180a-ZDEF=ZAED,

ZBAC+ZDAE=ZADE+ZDAE,

•'・ZBAC=ZADE.

又；AB=AD,

AABAC^AADE,

.\BC=AE,AC=DEf

；.DE=AC=AE+CE=BC+CE.

②四边形ABCD的面积为8.

模型二“手拉手”模型

口强化训练

4.［湖北荆州］如图⑴，等腰直角三角形OEF的直角顶点0为正方形ABCD的中心，点C,D分别在OE,OF上，现将

△OEF绕点0逆时针旋转。（0,＜晨90。），连接AF,DE（如图⑵），

⑴在图⑵中,/AOF=90,;佣含a的式子表示）

（2）在图⑵中，猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论.

图⑴图⑵

⑴90。-a

解法提示:由旋转的性质可知ND0F二NC0E二a,

ZAOF=90°-a.

(2)AF=DE.

证明:•••AOEF是等腰直角三角形，

：.OE=OF.

'・'四边形ABCD是正方形，

：.0A=0D,ZC0D=90o.

VZA0F=90°-a,ZD0E=90°-a,

ZAOF=ZDOE.

5Z,V0A=0D,

.,.△AOF^ADOE,

,\AF=DE.

5.[2020山东威海]发现规律

⑴如图⑴,ZXABC与AADE都是等边三角形直线BD,CE交于点P.直线RD,AC交于点II,求/BFC的度数.

(2)AABC与AADE的位置如图(2)所示，直线BD£E交于点F,直线BD,AC交于点H.若

ZABC=ZADE=a,ZACB=ZAED=B,求NBFC的度数.

应用结论

⑶如图⑶，在平面直角坐标系中，点()的坐标为(0,0),点M的坐标为(3,0),点N为y轴上一动点，连接MN,将线段

MX绕点V逆时针旋转60。得到线段MK,连接NK,OK,求线段OK长度的最小值.

解:⑴AABC,AADE都是等边三角形，

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

:.ZBAD=ZCAE,

ABAD^ACAE,:.ZABD=ZACE.

XVZAHB=ZFHC,

ZBFC=ZBAC=60°.

(2)VZABC=ZADE=a,ZACB=ZAED=B,

:♦△ABCs△ADE,

・NBAO/DAE提嘴.NBAD=/CAE卷嘴

△ABDs△ACE,.・.NABD二NACE.

又二NBHANCH"ZBFC=ZBAC=1806-a-B.

(3)易知△MNK是等边三角形,.•.MK=M\NK,/NMK=NNKM二/KNM=60°.

如图，将△MOK绕点M顺时针旋转60°得到△MQ;连接0Q,

则0K=NQ,M0=MQ,/0MQ=60。，

・•.△M0Q是等边三角形，

AZQ0M=60*,0Q=0M=3,

；・/N0Q=30°.

：OK=NQ,,••当NQ最小时,OK有最小值.

由“垂线段最短”可知，当QNly轴时AQ有最小值，

此时NQ[(呜,?.线段0K长度的最小值为

模型三“半角”模型

口强化训练

6.如图，在AABC电NACB=90°,AC=BC=1£F为边AB上两动点(点E在点F下侧)，连接EC.FC,NECF=45°,过点E

作BC的垂线，过点F作AC的垂线，两线交于点可垂足分别为点H,G.现有以下结论:①AB=&;②当点E与点B重

合时,MH=1；③AF+BE啡F；④MG•MH=1.其中结论正确的为(C)

A.①②③B.①③④C.®©®D.①②③④

H«

工如图,四边形ABCD是正方形,ZEAP的两边分别与CBrDC的延长线交于点ER连接EF,若/FAE=45°,睇究线

段EF,BE,DF之间的数量关系,并加以证明.

BE+EF=DF.

证明:如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90。，使AB与AD重合彳导到aADE',

，

则DE'二BE,AE'=AE/ZEAD=ZEAB.

又・.・NFAE=45°,

ZE*AD+ZBAF=ZEAB+ZBAF=45fl,

；・NFAE'=45°,

；・ZFAE=ZFAE*.

又・・・AF=AF,

.,.△FAE^AFAE\

,・・FE'=FE.

又；DE'+E'F=DF,

.\BE+EF=DF.

8.如图，在APAB中，等边三角形PCD的顶点C,D在线段AR上.

⑴当AC；CD,DB满足怎样的关系时,△ACPsAPDB?

(2)当△ACPs^PDB时，求/APB的度数

解:⑴'.'△ACPS/DB,

.PCAC

"BD-RD*

.*.PC-PD=AC-BD.

'.'△PCD是等边三角形,

.*.PC=CD=PDf

ACD^AC•BD.

故当CD2=AC•BD时,△ACPS^PDB.

(2)VAACP^APDB,

ZAPC=ZB/ZA=ZDPB.

又•.•NPCD=NAPC+NA=60°,

,'・/APC+/DPB=60",

ZAPB=ZAPC+ZDPB+ZCPD=120<,.

9.如图，抛物线y=r?+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，连接AD,点P为第一象限

的抛物线上一点，且/DAP=45°,求点P的坐标，

解:抛物线的解析式可化为y=-(x-l)M,

,*.D(lf4).

令f2+2x+3=0,解得XF-1,X2=3,

,,.OA=1,OB=3,

:・AB=4.

过点A作x轴的垂线，过点D作y轴的垂线，两线交于点E,过点B作ED的垂线，交ED的延长线于点F,交射线AP

于点N,连接DN加图,