零九年数学中考题选(含详细答案)

09年中考数学压轴题汇编

(09年北京)25.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个机战的坐标分别为

A(-6,0),5(6,0),C(0,473),延长AC到点D,使CD=gAC,过点D作DE〃AB交

BC的延长线于点E.

(1)求D点的坐标；

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过

B点的直线y=丘+〃将四边形CDFE分成周长相等的两个四

边形，确定此直线的解析式；

(3)设G为y轴上一点，点P从直线y=丘+。与y轴的交

点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y

轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G

点的位置，使P点按照上.述要求到达A点所用的时间最短。(要

求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

25WV：<I>J4(-6.0).n.4.3).

设/“：'j、Wl之，•点V

th〃，：\Hnil!)A\OC.

X

.—gW__1

:04=CO=<；<=2

・•.r.w=2、R.-a

卜，1PI*"用AUa

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〃戊的为<1.△口•

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(2009年重庆市)26.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形。ABC的边OA在y

轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，04=2,OC=3.过原点。作N40C的平分线交A8

于点。，连接。C,过点。作£>EL£»C,交。4于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式：

(2)将NEOC绕点。按顺时针方向旋转后，角的•边与y轴的正半轴交于点F,另边与

线段OC交于点G.如果。尸与(1)中的抛物线交于另一点"，点”的横坐标为那么

5

EF=2G。是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点。，使得直线GQ与

48的交点P与点C、G构成的APCG是等腰三角形？若存在,请求出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

X

26题图

26.解：(1)由已知,得C(3,0),£>(2,2),

•••AADE=90°-ZCDB=ZBCD,

AE=ADtanNADE=2xtanZBCD=2x—=1.

2

E(0,l)...........................................................(1分)

设过点E、DC的抛物线的解析式为y=+历v+c(awO).

将点E的坐标代入，得c=L

将c=l和点。、C的坐标分别代入，得

4a+2b+1=2,

..........................................(2分)

9a+38+1=0.

5

a=--

解这个方程组，得16

,13

b=—

、6

513

故抛物线的解析式为y=--x2+—x+1................................(3分)

66

(2)EF=2G0成立..................................................(4分)

•.•点M在该抛物线上，且它的横坐标为9,

5

.♦.点M的纵坐标为一..............

5

设DM的解析式为y=fcr+4（AH0）,

将点。、"的坐标分别代入，得

2k+瓦=2,卜_I

<6,,12解得，—2,

[5।5IA=3.

二DW的解析式为y=-；x+3......

F(0,3),EF=2.（7分）

过点。作。K_LOC于点K,

则DA=DK.

•••NADK=ZFDG=90°,

/FDA=NGDK.

又ZFAD=NGKD=90°,

DKG.

KG=A尸=1.

GO=1...........................................................................................................(8分)

EF=2GO.

(3)•.•点P在A6上，G(l,0),C(3,0),则设尸(1,2).

FG2=(？-l)2+22,PC2=(3-02+22,GC=2.

①若PG=PC,则(f—1)2+22=(3—£)2+22,

解得，=2.P(2,2),此时点。与点P重合.

•••2(2,2).（9分）

②若PG=GC,则"-1)2+2?=2?,

解得f=1,P(l,2),此时GPLx轴.

GP与该抛物线在第一象限内的交点。的横坐标为1,

7

.•.点。的纵坐标为-.

......................................................................................................（10分）

③若PC=GC,则(3—£)2+2?=2?,

解得，=3,;.P(3,2),此时PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形.

过点。作。〃_Lx轴于点”，

则QH=GH,设。”=力，

Q(h+1,h).

5、13

.•.--(/l+l)2+—(//+l)+l=/z.

7

解得4=—,九=一2(舍去).

5'

(12分)

综上所述，存在三个满足条件的点。,

即。(2,2)或。H)

(2009年重庆秦江县)26.(11分)如图，已知抛物线y=a(x—1)2+36(。。0)经过点

A(-2,0),抛物线的顶点为。，过。作射线。M〃AO.过顶点。平行于x轴的直线交

射线。"于点C,8在x轴正半轴上，连结BC.

(1)求该抛物线的解析式：

(2)若动点P从点。出发，以每秒I个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的

时间为f(s).问当，为何值时，四边形0Aop分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若。C=。8,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单

位和2个长度单位的速度沿。。和3。运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止

运动.设它们的运动的时间为f(s),连接PQ,当/为何值时

并求出最小值及此时尸。的长.

*26.解：(1)•.•抛物线、=。*-1)2+36(。/0)经过点4一2,0),

・・.0=9Q+36.\a=--..................................................................................................1分

3

.•.二次函数的解析式为：y=_昱£+空x+处.....................................................3分

333

(2)•.•。为抛物线的顶点.•.0(1,36)过。作ON_LO8于N,则ON=3百,

AN=3,.%£>=的+(3何=6.♦.ND4O=60........................................................4分

v0M//AD

①当AO=O尸时，四边形D4。尸是平行四边形

OP—6t=6(s)..............................................

②当。PL0M时，四边形D4OP是直角梯形

过。作于〃，4。=2,则A"=l

(如果没求出ND4O=60°可由RtZxWARt

OP=DH=5f=5(s)6分

③当PO=OA时，四边形D40P是等腰梯形

0P=AD-2AH=6-2=4：.t=4(s)

综上所述：当f=6、5、4时:对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.-7分

(3)由(2)及已知，NCO6=60°,0CWB0cB是等边三角形

则O8=OC=AO=6,=fBQ=2t..。。=6—2«0<f<3)

过尸作PEJ.。。于E,则=............................................8分

S,.rpr)-x6x3y/3—x(6-2f)x——t

BCPQ222

当1=3时，SBCPO的面积最小值为Q百

........................................................................10分

2Q8

此时。0=3,6P-OE=d.•.QE=3—』=2=

24444

"麻律）+图i考11分

（2009年河北省）26.（本小题满分12分）

如图16,在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=3,48=5.点尸从点C出发沿C4以每秒I

个单位长的速度向点A匀速运动，到达点4后立刻以原来的速度沿AC返回；点。从点4

出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、。的运动，OE保持垂直

平分P。，且交尸。丁点。，交折线QB-8C-CP于点E.点P、。同时出发，当点。到达点

8时停止运动，点P也随之停止.设点P、。运动的时间是，秒（Z>0）.B

（1）当f=2时，AP=______，点。到AC的距离是______；/I

（2）在点P从C向4运动的过程中，求△AP。的面积S与/

，的函数关系式；（不必写出，的取值范围）/Lz

（3）在点E从8向C运动的过程中，四边形Q8EO能否成///|£

为直角梯形？若能，求r的值.若不能，请说明理由；文//

（4）当DE经过点C时，请直谈写出r的值./

A<—pC

26.解：（1）1,色；图1#

5/

（2）作0/L4C于点凡如图3,AQ=CP=b：.AP=3-t./

由AAQfsAABC,8cMy：=4,

得好」.

455

14图3

••S=-(3—f),一t,

25

即s=_2/+3.

55

⑶能.

①当0E〃08时,如图4.

'：DE±PQ,：.PQ±QB,四边形QBE。是直角梯形.

此时乙4QP=90。.

图4

由△APQS/XABC,得丝=”，

ACAB

9

解得=

8-

②如图5,当PQ〃BC时，，DE1BC,四边形Q8EO是直角梯形.

此时/AP。=90。.

由△AQPS^ABC,得丝=丝，

ABAC

即L=±l£.解得f=".

538

C(E)

A

图7

(4)，=*或"竺.

214

【注：①点尸由C向4运动，DE经过点C.

方法一、连接QC,作QGL3C于点G,如图6.

34

PC=t,QC2=QG2+CG2=[-(5-Z)]2+[4--(5-0]2.

由PC2=QC2,得『=g(5-r)『+[4-*5T)F,解得r=|.

方法二、由CQ=CP=A。，得NQAC=NQCA,进而可得

ZB=ZBCQ,得CQ=BQ,AQ=BQ=|.

②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.

(6-t)2=[j(5-/)]2+l4-^(5-/)]2,f=竺】

5514

(2009年，可南省)23.(II分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形4a®的三个

顶点5(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线尸ax。打过小61两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点夕从点4出发.沿线段18向终点6运动，同时点。从点C出发，沿线段切

向终点〃运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作笈，46交4c于点

E

①过点后作叫4〃于点F,交抛物线于点G.当t为何值时，线段比最长？

②连接园.在点只0运动的过程中，判断有几个时刻使得△口%是等腰三角形？

请直接写出相应的/值.

解.(1)点4的坐标为(4,8)..............1分

将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax?+bx

C8=16〃+4b

得\

I0=64〃+8。

解得a=--,ZF4

2

，抛物线的解析式为：y=--x^4x..............3分

2

PEBCPE4

(2)①在RtZX//和RtA46C中，tan/必后一=一，即一=一

APABAP8

：.PE^-AP=-t.PB=8-1.

22

.,.点E的坐标为(4+,t,8-f).

2

•••点G的纵坐标为：(4+—t)2+34(4+—t)=--t2+8...............5分

2228

AEG=--t2+8-(8-1)

8

.•.当r=4时，线段比最长为2...............7分

8

②共有三个时刻...............8分

1640

t\-----,加，13二---------产.II分

3132+V5

2Q

（2009年山西省）26.（本题14分）如图，已知直线6：y=§x+—与直线4：y=—2x+16相

交于点C,4乙分别交工轴于A、8两点.矩形OE/G的顶点。、E分别在直线

卜4上，顶点尸、G都在x轴上，且点G与点8重合.

（1）求△A6C的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与Ef的长；

（3）若矩形OEEG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设

移动时间为，（0〈点12）秒，矩形OE/G与△ABC重叠部分的面积为S,求S关

，的函数关系式，并写出相应的，的取值范围.

2Q

26.(1)解：由一x4—=0,得x=—4.A点坐标为（—4,0）

33

由-2x+16=0,得x=8.8点坐标为（8,0）

AS=8-（-4）=12.（2分）

28

,铲+了解得.尤=5

由二点的坐标为（5,6）（3分）

y—6.

y=-2x+16.

S%c•先=Jxl2x6=36

（4分）

2Q

（2）解：：点。在4上且/=8,.二丁。=§x8+§=8

:.D点坐标为（8,8）（5分）

又点E在4上且=V。=&・•••-24+16=8xE=4

.♦.E点坐标为（4,8）（6分）

；.OE=8-4=4,EF=8.................................................................................（7分）

（3）解法一：①当0Wf<3时，如图1,矩形OE/G与△A8C重叠部分为五边

形CHFGR（f=0时，为四边形C〃RG）.过。作CM_LA8于M,

则RtZ^RG2.RtCMB

.空

"BMCM36

vRtAMC

]i2

，S=S△械一5BRC-SAFH=36--xrx2/--（8-z）x-（8-z）.

41644

即HIISc----12d-----14.............（10分）

333

（2009年山西省太原市）29.（本小题满分12分）

问题解决

丸图（1）,将正方形纸片ABC。折叠，使点8落在CO边上一点E

CE1

（不与点C,。重合），压平后得到折痕MN.当——=—时，

CD2

类比归纳

CF1AMCF1AM

在图（1）中，若匕=工则”•的值等于；若匕，则竺•的值等

CD3BNCD4BN

CFIAM

于:若匕=上（〃为整数），则〜的值等于.（用含〃的式子表示）

CDnBN

联系拓广

如图（2）,将矩形纸片ABC。折叠，使点8落在CO边上一点E（不与点C,。重合）,

4R1CF1A]\4

压平后得到折痕MN,设己2=上（〃?〉1）,半=上则"的值等于__________.（用含

BCtn'CDnBN

“2,〃的式子表示）

29.问题解决

解：方法一：如图（1-1）,连接EMBE.

由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称.

二MN垂直平分8E.:.BM=EM,BN=EN.......................1分

•••四边形ABCD是正方形，.•.ZA=ZD=ZC=90°,AB=BC=CD=DA=2

CE1

——=—,：..CE=DE=\设BN=x,则NE=x,NC=2—x.

CD2

在RtZXGVE中，NE2=CN2+CE2.

55

...%2=(2_xy9+「.解得x=2,即8N=3.................................................3分

V744

在RtAABA/和在RtADEM中，

AM2+AB2=BM2,

DM2+DE2=EM2,

：.AM2+AB2=DM2+DE2........................................................................5分

设AM=y，则0M=2-y,：./+22=(2-y)2+12.

解得y=；，即AM=；................................................6分

AM1八

•••——=-....................................................................................................7分

BN5

方法二：同方法一，BN=‘...........................................................................3分

4

如图(1-2),过点、N做NG〃CD交AD于点、G,连接8E.

图(1-2)

VAD//BC四边形GOCN是平行四边形.

NG=CD=BC.

同理，四边形4BNG也是平行四边形....AG=BN=—.

4

MN1BE,；.°NEBC+NBNM=90

NG1BC,"MNG+ZBNM=90ZEBC=NMNG

在△BCE与丛NGM中

ZEBC=NMNG,

<BC=NG,.NGMEC=MG.............................5分

NC=NNGM=90°

VAM^AG-MG,AM--1=-..................................................................6分

44

.AM1

••——7分

BN5

类比归纳

2_49(〃-1『

10分

51017n2+l

联系拓广

n2in2-2〃+1

12分

n2m2+1

评分说明：1.如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分.

2.如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没

有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分.

（2009年安徽省）23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示.

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义.

【解】

批发单价（元）

第23题图（1）

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果.

【解】

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,

且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，

使得当日获得的利润最大.

【解】

23.(1)解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，

可按5元/kg批发；……3分

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发.

................................................................................................3分

(2)解：由题意得：卬=俨②W痛60,函数图象如图所示.

[4m(m>60)

................................................................................................7分

由图可知资金金额满足240VwW300时，以同样的资金可

批发到较多数量的该种水果.......................8分

(3)解法一：

设当日零售价为x元，由图可得日最高销量卬=320-4(加

当"？>60时，x<6.5

由题意，销售利润为

y=(x-4)(320-40M=40[-(x-6)2+4]...............................................12分

当x=6时，N最大值=160，此时机=80

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg,

当日可获得最大利润160元....................................14分

解法二：

设日最高销售量为xkg(x>60)

则由图②日零售价P满足：x=320-40p,于是〃=%瞟

销售利润y=_4)=_焉*-80)2+160.....................................12分

当x=80时，)，及大修=160,此时p=6

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg,

当日可获得最大利润160元....................................14分

（2009年江西省）25.如图1,在等腰梯形4BCD中，AD//BC,E是的中点，过

点E作E/〃6C交CO于点E.A8=4,BC=6,ZB=60°.

（1）求点E到6C的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过尸作PM1EF交于点M,过〃作VN〃AB

交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.

①当点N在线段AO上时（如图2）,ZXPMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN

的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段。。上时（如图3）,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在，

请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.

25.(1)如图1,过点E作£G_L8C于点G.......................1分

:E为AB的中点，

BE=-AB=2.

2

在用AEBG中，ZS=60°AZBEG=30°.............2分

；.BG=LBE=I,£G=6-F=#)

2

即点E到8C的距离为石.........................3分

(2)①当点N在线段AO上运动时，△PMN的形状不发生改变.

；PM±EF,EG1EF：.PM//EG

'：EF//BCEP=GM,PM=EG=&

同理MN=45=4...............................................4分

如图2,过点、P作PHA.MN于H,,；MN〃AB

：./邮CW.B=60°PMH=30°

・・・PH=-PM=—

22

BC

GM

图2

3

，MH=PMcos300=—.

2

35

则NH=MN—MH=4——=一.

22

在RtAPNH中,PN=』NH、PH2J*]+f—=五

I2J

，/\PMN的周长=PM+PN+MN=出+币+4........................6分

②当点N在线段0c上运动时，△尸MN的形状发生改变，但△MNC恒为等边.三角

形.

当PM=PN时，如图3,作尸RJ.MN于R,则MR=NR.

3

类似①，MR=—.

2

MN=2MR=3.....................................................7分

丛MNC是等边三角形，，仞C=MN=3.

此时，x=EP=GM

当MP=MN时，如图4,这时===

此时.，x=EP=GM=6-1-73=5-73.

当NP=NM时，如图5,ZMP.M=PMN=30°

则4PMN=120。又/MNC=60°

A+MNC=180°

因此点尸与尸重合，为直角三角形.

...MC=PMtan30°=1.

此时，x=EP=GM=6-l-l=4.

综上所述，当x=2或4或（5—6）时，为等腰三角形..............10分

（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）

如图13,二次函数丁=%2+。工+4（〃<0）的图象与*轴交于人、B两点,

与y轴交于点C（0,-1）,AABC的面积为

（1）求该二次函数的关系式；

图13

(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与AABC的外接圆有公共点，

求m的取值范围；

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求

出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

25.(本小题满分14分)

解(1)OC=1,所以,q=-l,又由面积知0.5OCXAB=°,得AB=*,

42

,53

设A(a,0),B(b,0)AB=b-a=yj(a+b)2-4ab=-,解得p=±；，但p<0,所以

3

P=o

2

,3

所以解析式为：y=x2--x-1

31i

(2)令y=0>解方程得尤---x—1=0,得为=---,x,=2,所以A(,0).B(2,0),

22-2

在直角三角形AOC

中可求得AC=好洞样可求得BC=6,,跳AC2+BC2=ABM得三角形ABC是

2

直角三角形。AB

为斜边，所以外接圆的直径为AB=9,所以―』《加4°.

244

(3)存在，ACLBC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-l,

可设BD的解析式

V=%2——JQ—]

为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组V2

y=-2x4-4

得D(---,9)

2

②若以BC为底边，则BC〃AD,易求BC的解析式为y=0.5x-l,可设AD的解析

式为y=0.5x+b,把

，3

jy—工2___x_]

A(-一,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组2得

2!>■=0.5x4-0.25

53

D(—,—)

22

553

综上，所以存在两点：（---,9）或（一,一）。

222

（2009年广东省中山市）22.（本题满分9分）正方形48C。边长为4,例、N分别是BC、

CO上的两个动点，当M点在8c上运动时，保持和MN垂直.

（1）证明：RtAABMsRtAMCN；

（2）设梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么

位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积：

（3）当M点运动到什么位置时求此时x的值.

2-A*：<I>在正方小/AUQ中，刀6=5<2?==<?/>-4.上B-NU=9QQ.

---AIMJLMZ.

---NAM