九年级数学人教版（上册）21.2.4 一元二次方程根与系数的关系

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）情景导入

韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.    历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.

韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理.复习导入

算一算

解下列方程并完成填空：(1)x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根关系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·

x2=-4x1+x2=5x1·

x2=6想一想方程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2=-p，

x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探索一元二次方程的根与系数的关系讲授新课证一证：讲授新课讲授新课总结归纳：

方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.讲授新课

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根x1，x2的和与积：

(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.

解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，

例1讲授新课不解方程，求下列方程两根的和与积.x2-3x=15；5x2-1=4x2+x解：x1+x2=3x1x2=-15解：化简得x2-x-1=0x1+x2=1x1x2=-1.例2讲授新课例3

方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2

满足x12＋x22＝4，则k的值为________．由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．导引：k＝1讲授新课∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1，∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4，解得k＝1.

解：讲授新课总结常见的求值:当堂练习当堂反馈即学即用当堂练习关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+，x2=1-，则p=

，q=

.已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是

，

k＝

.-2-1-7当堂练习3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1)x2－3x＝15；(2)3x2＋2＝1－4x；(3)5x2－1＝4x2＋x；(4)2x2－x＋2＝3x＋1.解：(1)方程化为x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.当堂练习当堂练习4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4；

(1)求k的值；(2)求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系得

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=