高中数学各个击破1知识资料集合与筒易逻辑73

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑高中数学各个击破高中数学高中数学各个击破1（集合与简易逻辑）余家露编高中数学各个击破2（重要不等式）高中数学各个击破3（函数的性质）高中数学各个击破4（基本初等函数）高中数学各个击破5（异常函数）高中数学各个击破6（三角函数）高中数学各个击破7（解三角形）高中数学各个击破8（向量与复数）高中数学各个击破9（点线面位置关系）高中数学各个击破10（空间角与空间距离）高中数学各个击破11（异常空间几何体）高中数学各个击破12（直线与圆）高中数学各个击破13（圆锥曲线的定义与性质）高中数学各个击破14（圆锥曲线的弦长与面积）高中数学各个击破15（圆锥曲线的定点定值问题）高中数学各个击破16（数列与通项）高中数学各个击破17（数列求和）高中数学各个击破18（导数的概念与运算）高中数学各个击破19（导数的应用）高中数学各个击破20（函数的零点）金尔鑫•编著高中数学各个击破21（计数原理）高中数学各个击破22（概率）高中数学各个击破23（统计与统计分析）集合与简易逻辑高中数学各个击破1集合与简易逻辑金尔鑫编著施小斌审定浙江大学出版社图书在版编目(CIP)数据高中数学各个击破.1,集合与简易逻辑/金尔鑫编著.-杭州:浙江大学出版社,2024.5ISBN978-7-308-24907-2I.①高...II.①金...III.①中学数学课一高中一教学参考资料IV.①G634.603中国国家版本馆CIP数据核字(2024)第086999号高中数学各个击破1集合与简易逻辑金尔鑫编著策划陈海权(:)责任编辑闫亮责任校对陈海权封面设计林智广告出版发行浙江大学出版社(杭州市天目山路148号邮政编码310007)(:http://www.zjupress.com)排版杭州朝曦图文设计有限公司印刷杭州宏雅印刷有限公司开本889印张4.5字数107千版印次2024年5月第1版2024年5月第1次印刷书号ISBN978-7-308-24907-2定价16.60元版权所有侵权必究印装差错负责调换浙江大学出版社市场运营中央联系方式:0571-1;http://zjdxcbs.tmall.com新课程、新评价对学生的要求从“知识、能力立意”转向“价值引领、素质导向、能力为重、知识为基”;新课标把高中数学分成五个主题,并强化单元整体教学.由此不难发现,这一轮课改的目标是在价值引领前提下,在数学课程教学中体现素质导向.实现这个目标的途径是多样的、展开的,兴许主题化和单元化就是核心路径.而“高中数学各个击破”系列图书(以下简称“各个击破”)正是编者对主题化和单元化的有效融合的追求.“各个击破”实现化整为零.“各个击破”把高中数学必修五大主题和挑选性必修四大主题整合成了23个大单元,每个大单元自立成册,每册又按照教学内容及顺序设置了58个小单元,每个小单元设计了6∼10道例题,同时配套包含“基础过关”“综合练习”和“拓广提升”三个层次的达标检测试题10∼16道,每个分册最后设置一个进阶特训,是对大单元整体的回顾与检测.“各个击破”在对高中数学所有知识点各个击破的同时,通过渗透与提炼对高中数学思想“各个击破”突出个性辅导.“各个击破”既有整体设计,同时又自立成册,倡导“提质”“减负”.“各个击破”的使用,既可以是学生按照学习情况,针对自己的薄弱环节挑选分册举行专项突破;也可以把“各个击破”作为同步教辅,在每一章节新授课结束之后,协助学生对所学知识和主意举行逐一突破,实现对大多数学生的个性化辅导.“各个击破”凸显八大特色.“各个击破”紧紧围绕新课程、新评价和新教学,并以此展示编写特色.首先,观念的前瞻性.“各个击破”与新课程、新高考全面接轨,在题量上落实“双减”政策,更多地担心例题、习题的内涵和教学价值;在题型上紧随全国卷试题结构,设有多选题、多空题、应用题和各类创新型试题.第二,知识的残破性.“各个击破”郑重按照《普通高中数学课程标准(2023年年年版2023年年年修订)》编写,通过23个自立成册的大单元涵盖高中数学所有重要知识点,在每一分册小单元的“要点提炼”栏目中都有对核心知识的概括提炼.第三,内容的同步性.“各个击破”固然以大单元形式自立成册,但在知识形成的逻辑顺序上不超前,所以每一单册都既可作为教学同步辅导用书,也可作为阶段性辅导用书.第四,例题的针对性.“各个击破”对例题的设计精益求精,每道例题会针对相应知识点,解决一类问题,而且在解决问题的过程中,都会推荐与总结数学方法并潜移默化地渗透相应的数学思想.第五,习题的有效性.“各个击破”对习题的选配,郑重遵从配套与拓展的原则,每道习题都是对单元知识或例题的一种有效反馈,通过对习题的系统训练,不仅可以巩固本单元知识,同时能对所涉思想主意有更深的认识.第六,检测的阶梯性.“各个击破”对知识与主意的检查,呈阶梯状设计,异常是在“达标检测”栏目,不仅设有“基础过关”和“综合练习”,还有应对高考压轴题或强基的“拓广提升”,以此满意学生对知识与主意不同深度和广度的要求.第七,主意的全面性.“各个击破”的每个小单元都设有“主意归纳”栏目,在此栏目中,不仅有对例题和习题涉及思想主意的总结,也有对思想主意的拓展与普通化,还有对思想主意的全面分类与归纳.第八,编委的权威性.“各个击破”所有分册均由浙江省内名校或教研单位名师自立编著,每一分册都凝结了名师的教学经验堆积与成绩分享,同时每一分册还邀请了省特级教师审定,所以“各个击破”的编写者及编委是权威的.“各个击破”编写历时一年多,在编写与审校过程中,得到了镇海中学、杭州二中、学军中学、温州中学、慈溪中学、绍兴一中、嘉兴一中、金华一中、湖州中学、舟山中学等二十多所小学的教师和学生的大力支持,在此对参加“各个击破”审稿与校对的教师和学生表示衷心谢谢.衷心希翼读者能通过“各个击破”的使用,实现对高中数学的“各个击破”,也祝福大家使用“各个击破”之后,在各类考试中取得优异的成绩!因为时光仓促,也受能力所限,书稿虽经多次审校,但其中难免存在谬误,敬请专家、读者批评指正.“各个击破”与人教A版教材的对应年级教材分册教材目录对应分册高一必修第一册第一章集合与常用逻辑用语各个击破1第二章一元二次函数、方程和不等式各个击破2第三章函数的概念与性质各个击破3第四章指数函数与对数函数各个击破4第五章三角函数各个击破6必修第二册第六章平面向量及其应用各个击破7、8第七章复数第八章立体几何初步各个击破9第九章统计各个击破23第1∼第十章概率各个击破22第1讲高二挑选性必修第一册第一章空间向量与立体几何各个击破10第二章直线与圆的方程各个击破12第三章圆锥曲线的方程各个击破13挑选性必修第二册第四章数列各个击破16第五章一元函数的导数及其应用各个击破18挑选性必修第三册第六章计数原理各个击破21第七章随机变量及其分布各个击破22第2∼第八章成对数据的统计分析各个击破23第4∼“各个击破”各分册作者及审定分册作者特级教师审定高中数学各个击破1(集合与简易逻辑)金尔鑫施小斌高中数学各个击破2(重要不等式)张艳宗卢明高中数学各个击破3(函数的性质)陆雯君叶琪飞高中数学各个击破4(基本初等函数)俞定范东晖高中数学各个击破5(异常函数)俞健聪刘晓东高中数学各个击破6（三角函数）万松强戴海林高中数学各个击破7(解三角形)余海东周建平高中数学各个击破8（向量与复数）施利强周丕芬高中数学各个击破9(点线面位置关系)舒华瑛斯理炯高中数学各个击破10(空间角与空间距离周艳林鉴强高中数学各个击破11(异常空间几何体)金建军虞金龙高中数学各个击破12(直线与圆)沈海全陈柏良高中数学各个击破13(圆锥曲线的定义与性质)周海军沈虎跃高中数学各个击破14(圆锥曲线的弦长与面积)纪斐谢尚志高中数学各个击破15(圆锥曲线的定点定值问题)范虹燕张金良高中数学各个击破16(数列与通项)邵建文费红亮高中数学各个击破17(数列求和)任燕巧李柏青高中数学各个击破18(导数的概念与运算丁君斌蒋荣清高中数学各个击破19(导数的应用)陈茂慧金雪东高中数学各个击破20(函数的零点)张仲斐章水云高中数学各个击破21(计数原理盛耀建张中华高中数学各个击破22(概率)陈巴尔李芳高中数学各个击破23(统计与统计分析)滕诗媛李金兴阳月录第1讲集合的概念与表示//1第2讲集合间的基本关系//9第3讲集合的基本运算//17第4讲充足条件与须要条件//25第5讲全称量词与存在量词//34进阶特训//43参考答案//48第讲集合的概念与表示学习目标1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;2.针对详细问题,能够在天然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合;3.在详细情境中,了解全集与空集的含义.要点提炼1.集合的概念普通地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体称为集合.我们通常用大写拉丁字母A,B,倘若a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;倘若a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作元素个数有限的集合称为有限集,元素个数无限的集合称为无限集.异常地,不含任何元素的集合称为空集,记作⌀.2.集合元素的三大性质集合元素满意以下三条性质.(1)决定性:对于给定的集合,随意元素是否属于这个集合是决定的.（2）互异性：对于给定的集合,其中元素互不相同.（3）无序性：集合中的元素不考虑先后顺序.3.常用数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或天然数集),记作N;全体正整数组成的集合称为正整数集,记作N∗或N全体整数组成的集合称为整数集,记作Z;全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q;全体实数组成的集合称为实数集,记作R.4.集合的表示主意集合有如下三种表示主意.(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的主意.(2)描述法:普通地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征Px的元素x所组成的集合表示为{(3)Venn图法:用平面上封闭曲线的内部代表集合.范例精讲例1下列各组对象不能构成集合的是()A.所有直角三角形B.中国古代四大发现C.高一⇀班所有男生D.充足临近π的有理数解析:对于A,B,C三项,能够判断一个对象是否属于这些集合;对于D选项,“充足临近π”这一描述不够确切,故按照集合元素的决定性,本题选D.评注:决定性是集合元素三大性质中最重要的性质,集合的描述中不能浮上不决定性的说法,例如“较高”“较好”“充足临近”“充足大”等.例2用列举法表示下列集合:(1)不超过11的素数组成的集合;(2)不等式x−解析:(1)设不超过11的素数组成的集合为A,则A(2)设不等式x−2<3的正整数解组成的集合为B,由x−B评注:列举法普通用来表示元素不是无数的有限集,列举的时候要做到“不重不漏”.此外,因为集合元素的无序性,一个集合可以有不同的列举主意,例如(1)中的集合还可以表示为A例3用描述法表示下列集合:(1)所有偶数组成的集合;(2)不等式x−解析:(1)设所有偶数组成的集合为A.若x∈A,则x∈Z且存在A(2)设不等式x−2<3的解集为B.由B评注:描述法表示集合的关键在于找到集合中元素的共同特征.例4已知集合A=(1)若x2∈B(2)是否存在实数a,x,使得A=B?若存在,哀求出解析:(1)由集合元素的互异性知x≠①若x2=0②若x2=1③若x2=x综上所述,x=−(2)注重到a2①若a−3=0,则②若2a−1=0,则综上所述,不存在实数a,x,使得评注:本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义.求解时要结合集合元素的互异性举行分类研究.例5已知集合A={(1)设集合P={x,(2)设集合Q={x+解析:(1)列举所有满意x∈A,1故集合P中有6个元素.(2)列举所有满意x∈A,5结合集合元素的互异性知:Q故集合Q中有4个元素.评注:本题主要考查描述法表示集合以及集合元素的互异性,在解决问题时要注重区别点集和数集,也要注重集合元素的互异性.同时,面向容易的计数问题,可以通过穷举法,将所有符合条件的情形一一列举出来,在列举时要做到不重不漏.例6设集合A=x∈R∣解析:依题意,关于x的方程ax2+①当a=0时,原方程为x+1=②当a≠Δ解得a=14综上所述,a=0或评注:本题将集合惟独一个元素转化为关于x的方程惟独一个实数根.因为方程最高次项系数含有参数,故要分类研究.当a=0时,原方程是一次方程;当a≠例7若集合A满意如下性质,则称集合A为“好集”:对于随意x,y∈对于随意x,y∈(1)判断Z和Q是不是“好集”并说明理由;(2)设集合A={a+b2解析:(1)对于整数集Z,取x=1,y=对于有理数集Q,因为有理数对于加减乘除四则运算封闭,故有以下结论:对于随意x,y∈对于随意x,y∈故Q是“好集”.(2)对于随意x,y∈xxxy当y≠x即x综上所述,集合A是“好集”.评注:本题是集合中的新定义问题,主要考查对于新定义的理解和应用.第(2)问中第一条性质容易证实,第二条性质的证实需要看见xy所具有的结构,通过分母有理化转化为a+b2的形式(主意归纳本节内容主要涉及集合的表示主意和集合元素的性质两类问题,以下将结合例题对这两种题型举行归纳总结.1.集合的表示主意(1)列举法:对于元素不是无数的有限集,或是集合中元素有显然逻辑的无限集,可以采用列举法来表示.在列举时要注重不重不漏.(2)描述法:对于元素较多的有限集,或是能够找到所有元素满意的共同特征的无限集,往往采用描述法来表示.在使用描述法时,要注重看见集合中元素的共同特征,尽量使用详细但不失确切性的语言举行描述.两种主意各有优劣:描述法固然能反映出所有元素的共同特征,但不够直观;列举法固然可以直观地表示出所有元素,但列举时较为棘手,当元素个数较多时,无法一一列举.因此在解决问题的时候,倘若感觉使用描述法表示的集合过于抽象,那么可以适当地列举几个异常的元素,通过异常情形来推导普通情况.这体现了从异常到普通的数学思想.2.集合元素的性质(1)决定性:决定性是集合元素三大性质中最重要的一条,它要求对于给定集合,能够判断随意一个元素是否属于这个集合,不能浮上不决定的情况.因此,当问题或选项的描述中浮上了“较为”“充足”“充足”“很大”等不决定的词汇时,可以认为这个描述不能构成集合.（2）互异性：集合中不能浮上相同的元素,即每个元素在集合中只能浮上一次.这个性质通常用来解决集合中的求参数问题,通过举行分类研究并结合集合元素的互异性来排除错误答案.(3)无序性:集合中的元素不考虑顺序,即每个元素在集合中的地位都是等价的,不存在先后顺序之分.由此可见,两个集合相等当且仅当组成这两个集合的元素分离相同.这里要注重集合和有序实数组的区别.对于集合A=x1,x2,⋯,xn,B对于n元有序实数组a=x1,x2,⋯,xn,b达标检测女基础过关1.下列对象不能构成集合的是()A.某中学所有800米跑步合格的女生B.所有能被2整除但不能被3整除的整数C.所有对角线互相平分且相等的四边形D.全国所有环境柔美的城市2.在下列四组集合中,表示同一集合的是()A.A={−C.A={x3.下列选项中的集合A和集合B表示同一集合的是()A.AB.AC.AD.A4.已知x∈1,5.用适当的主意表示下列集合:(1)方程x2(2)所有不超过13的奇素数组成的集合;（3）所有正有理数组成的集合;(4)不等式组x−女综合练习6.已知集合A={−1,0,A.0B.1C.-1D.27.集合A=A.4B.6C.8D.108.(多选)由实数x,−A.0B.1C.2D.39.(多选)设集合A=x xA.a+bC.ab∈A10.用描述法表示有理数集Q:___.11.对于实数x,y,定义运算①当x,y的奇偶性相同时,②当x,y的奇偶性不同时,若集合A=a,12.对于给定的k∈N+⋯,ak−13.已知集合A=x∣x214.已知非空数集A由实数组成,若x∈Ax(1)若2∈A,写出两个集合(2)判断A是否为双元素集合,并说明理由.女拓广提升15.已知集合A=x∣x=a0+7a116.对于一个非空集合A,有如下四个条件:①D⊆{②∀a③∀a,b∈A,若a④∀a,b,c∈A倘若集合D满意上述四个条件,则称集合D为集合A的一个偏序关系.(1)设A={1,2,(2)证实:R≤={a(3)设集合E是集合A的一个偏序关系,a,b∈A.若存在元素c∈A,使得c,a∈E,c,b∈E,且∀d∈A,若d,a∈第ℰ讲集合间的基本关系学习目标1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2.能够使用Venn图表示集合间的基本关系,体味图形对理解抽象概念的作用.要点提炼1.集合间的包含关系普通地,对于两个集合A,B,倘若集合A中随意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作A⊆倘若集合A⊆B,但存在元素x∈B,使得x∉A,那么就称集合A是集合异常地,规定空集是任何集合的子集.集合的包含关系具有以下两个性质.(1)自反性:对于随意集合A,(2)传递性:若A⊆B且B⊆2.集合间的相等关系普通地,倘若集合A中随意一个元素都是集合B中的元素,同时集合B中随意一个元素也是集合A中的元素,那么集合A和集合B相等,记作A=B.若A⊆B,且B⊆A,则3.用Venn图表示集合间的基本关系在数学中,常常使用平面内的封闭曲线的内部表示集合,这种表示主意称为Venn图法.集合A与集合B的包含关系可用下表中的图表示:集合间的基本关系BAAVenn图4.有限集的子集个数设nn∈N+元集合S=事实上,考虑子集AA⊆S,集合S中的每个元素aii=1,2,⋯,n类似地,我们可以得到以下推论:(1)n元集合的真子集个数为2n(2)在n元集合的子扩散,包含给定k1≤k（3）在n元集合的子扩散,不包含给定k1≤k范例精讲例1写出集合A={解析:集合A的所有子集有⌀,{其中,集合A的真子集有⌀,{评注:在写有限集的所有子集时,要做到不重不漏,可以按照集合元素的个数举行分类,每一类中也可以按照元素浮上的顺序举行排序,这样不容易浮上重复或者遗漏.例2判断下列集合A是不是集合B的子集.(1)A={(2)A={(3)A={解析:(1)对于集合B,由x≤2知注重到集合A中的元素3不满意上述不等式,即3∈A且故集合A不是集合B的子集.(2)对于随意的元素x∈A,都有x<2,即因此集合A是集合B的子集.(3)对于集合A中的每个元素x,经检验,都能使6x∈N故集合A是集合B的子集.评注:判断一个集合是否为另一个集合的子集时,通常采用定义举行判断.倘若集合A中的随意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A是集合B的子集;反之,倘若集合A中存在一个元素不是集合B中的元素,那么集合A不是集合B的子集.例3已知集合A={1,2},解析:当a=0时,B=⌀当a≠0时,B=1a,由B∈A知,1综上所述,实数a的所有可能值为0,评注:在利用集合的包含关系求参数的值时,倘若参数在被包含的集合中,需要注重被包含的集合为空集的情况,否则会漏解.例4已知集合A=x∈解析:由x∈N+且6x−故A={2,故集合A的非空子集个数为24评注:n元集合的子集个数为2n例5已知集合A满意{1,2解析:主意一:列举出所有符合条件的集合A如下:{共有7个.主意二:依题意,集合A由两部分元素组成.其中一部分是1,2,另一部分可以看作集合故符合条件的集合A共有23评注:对于与集合子集相关的计数问题,倘若情况数量不是无数,可以使用穷举法,将所有符合条件的情况一一列出;也可以转化为特定集合的子集(或真子集)个数问题,利用相关结论求解.例6已知集合A={x∣x=解析:一方面,对于随意的x∈A,存在m∈此时,x=3m+1故x∈B,因此另一方面,对于随意的x∈B,存在n∈此时,x=3n−1故x∈A,因此综上所述,A=评注:判断两个集合是否相等有两种主意:(1)倘若两个集合均为有限集且元素不多,可以将两个集合的元素一一列举出来,通过比较组成这两个集合的元素是否彻低相同来判断两个集合是否相等;(2)利用集合的包含关系也可以证实集合相等,即若A⊆B,我们通常使用第(2)种主意举行证实,即验证集合A中的每个元素都在集合B中,同时集合B中的每个元素都在集合A中.主意归纳本节内容主要涉及集合包含关系的判断、集合包含关系的应用以及集合相等的判断三类问题,以下将结合例题,对这三类问题举行归纳总结.1.集合包含关系的判断判断集合的包含关系普通采用定义法,通过验证集合A中的随意元素x是否也是集合B中的元素,来判断集合A是不是集合B的子集.对于用列举法和描述法表示的集合,也有不同的处理方式.(1)列举法针对使用列举法表示的集合,可以通过逐一比较集合A中的元素是否浮上在集合B中来举行判断.(2)描述法针对使用描述法表示的集合,假设集合A={x∣px},B={x∣qx},可以通过证实“对于随意此外,倘若是要判断集合的真包含关系,需要在证实A⊆B的基础上,在集合B中找到一个元素x,使得2.集合包含关系的应用利用集合包含关系求参数的值或取值范围是本节的重点.针对此类问题,要担心以下两点:(1)要注重空集.因为空集是随意集合的子集,故在面向条件A⊆B时,倘若集合A中存在参数,要首先研究集合A=⌀(2)要注重是不是真包含关系.对于真子集的情况,在利用A⊆B求完参数后,要验证集合A和集合B是否相等.倘若A=除此之外,在处理A⊆B这一条件时,对离散型有限集和延续型无限集,有不同的处理（1）离散型有限集对于离散型有限集,设集合A=a1,a2,⋯,am,集合B=b1,b2,⋯,b（2）延续型无限集对于延续型无限集,以双侧均为郑重不等号的情形为例,设集合A={x∣a<x<b},集合B={x∣c<x<d},由A⊆B3.集合相等的判断判断集合相等的主意有两种:逐一检验法和双向包含法.(1)逐一检验法对于元素个数较少的有限集,首先应该比较元素个数,倘若两个集合的元素个数不同,那么这两个集合不可能相等.当两个集合的元素个数相同时,需要举行逐一检验.例如对于有限集A=a1,a2,⋯,ak和有限集B=b1,b2,⋯,bk,可以按一定顺序逐一检验集合A中的元素aii=1,2,⋯,k是否和集合B中的元素对应相等.(2)双向包含法对于不好举行逐一检验的集合A和集合B,我们验证A⊆B且B⊆A,由此证实A=B.对于随意的x∈A,都有x∈B,且对于随意的x∈B,都有x∈A,那么达标检测女基础过关1.在下列集合A和集合B中,满意A⫋A.AB.AC.AD.A2.已知集合A=x∣A.1B.2C.3D.43.已知集合A=x∈A.0∈AC.{0,4.(1)设集合A={x∣ax−(2)已知集合A={x∣−3≤5.证实集合包含关系的传递性:若A⊆B,女综合练习6.已知集合A=x x()A.A⫋BB.B⫋A7.已知集合A={1,2},非空集合B=xA.1个B.2个C.3个D.无数个8.已知集合A={1,2,⋯,10},规定集合Ek=A.20B.21C.22D.239.(多选)若集合A=x∣A.-1B.0C.1D.210.(多选)已知集合A={x∣ax≤A.3B.2C.1D.011.(1)已知集合A={x∣1≤(2)已知集合A={x∣1<12.从集合U={a,b,c,d}(2)A⊆则符合条件的选法有___个.13.已知集合A=x x214.已知集合A={(1)若A=⌀,求实数a(2)若B⊆A,求实数女拓广提升15.对于nn≥2元集合A=a1,a2,⋯,an,(1)写出一个“好集”A,使得{1(2)若集合A=a1(3)求出所有的“好集”A,使得A⊆16.设集合A是集合P={1,2,⋯,①集合A中随意两个子集的元素之和不相等;②对于集合P的随意k+1元子集B,若A⊆(1)当n=6,(2)当n=16时,证实:(3)在(2)的条件下,求集合A的所有元素之和S的最大值.第S讲集合的基本运算学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集;2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集;3.能使用Venn图表示集合的基本运算,体味图形对理解抽象概念的作用.要点提炼1.集合基本运算的定义(1)并集普通地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并A(2)交集普通地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交A（3）补集普通地,倘若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁U∁2.集合基本运算的Venn图集合运算AUBAC​Venn图3.集合基本运算的性质(1)异常集合的运算AA∁(2)并集和交集的运算律集合的并集、交集运算满意交换律和结合律,即AA（3）集合运算与包含关系的联系AA（4）补集与并集、交集的联系对于两个集合的交集或并集的补集,有如下性质:并集的补集是补集的交集,交集的补集是补集的并集,即∁∁我们可以通过Venn图进一步理解这些性质.4.容斥原理对于有限集A,我们用cardA表示集合A中的元素个数,那么对于两个非空有限集A,Bcard范例精讲例1已知集合A=xx解析:依题意,A={故A∪例2已知全集U=R,集合A={解析:依题意,∁U故A∩评注:对于延续型无限集的基本运算问题,可以借助数轴直观地表示出其中的集合,从而协助我们得出所求集合.异常地,要注重集合的边界是否能取到,注重不等号是不是郑重不等号,尤其是与补集相关的问题.例3已知全集U={x∈解析:依题意,U={0,评注:对于离散型无限集的基本运算问题,可以借助Venn图直观地表示出其中的集合,从而协助我们得出所求集合.例4已知集合A={(1)当a=−1时,求(2)若A∪B=解析:(1)当a=−1时,B={(2)由A∪B=①当B=⌀时,2a≥a+1②当B≠⌀时,a<12a结合a<1知综上所述,a≥−评注:本题考查集合的基本运算和集合包含关系的联系,解决此类问题需要首先将集合的基本运算中所蕴含的包含关系表示出来,转化为按照集合间的包含关系求参数问题.倘若被包含的集合中存在参数,需要注重研究空集,否则会漏解.倘若题目中的条件涉及较为复杂的集合运算,那么可以借助Venn图辅助思量.例5某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,A.62%B.56%C.46解析:不妨设该校学生有100人,记喜欢足球的学生组成的集合为A,喜欢游泳的学生组成的集合为B,则有card由容斥原理得card故既喜欢足球又喜欢游泳的学生占比为46%评注:本题为容斥原理的应用题.在解题时需要按照已知条件,明确每个集合的详细含义,同时写出这些集合的元素个数.最后利用容斥原理解决问题.例6满意{1,2解析:主意一:依题意,A⊆{1,2,{共有4个,故本题填4.主意二:依题意,A⊆{1,2,3,4},且{3,评注:针对集合运算相关的计数问题,倘若符合条件的集合不是无数,那么可以通过穷举法将所有符合条件的集合一一列出,在列举时要做到不重不漏.此外,我们也可以将问题转化为求给定集合中包含(或不包含)特定元素的子集个数.V主意归纳本节内容主要涉及集合的基本运算和集合基本运算的性质两类问题,以下将结合例题对这两种题型举行归纳总结.1.集合的基本运算针对集合的基本运算问题,需要熟记三种集合基本运算的定义,在求解时针对不同的集合,可以借助数轴或者Venn图辅助思量.(1)延续型无限集:此类集合通常是一些不等式的解集.针对这一问题,可以在数轴上将相关集合表示出来,进而得出所求集合的运算结果.在画图时要注重每一个集合的边界是否能取到,非郑重不等号用实心点表示,郑重不等号用空心点表示.异常地,在求补集时要注重改变边界处的点.(2)离散型有限集:此类集合普通是整数集的有限子集.针对这一问题,可以在Venn图中将全扩散每一个元素标在对应的位置,进而得出所求集合的运算结果.2.集合基本运算的性质与集合基本运算的性质相关的问题主要分为以下几类.(1)求参数问题:要注重集合基本运算和集合间的基本关系之间的联系,将题中的条件转化为集合间基本关系问题求解.求解时要注重研究被包含集合是否为空集.(2)计数问题:此类计数问题可以转化为求给定集合包含(或不含)特定元素的子集个数问题,可以使用公式法或穷举法解决.（3）容斥原理的应用:容斥原理相关应用题需要通过阅读题目中给出的信息,明确每个集合的实际意义,并写出这些集合的元素个数.此外,容斥原理也可以应用到3个集合的场合:cardA∪B达标检测女基础过关1.已知集合A={x∈A.{x∣C.{0,2.已知集合A={xxA.{x∣−C.{x∣−3.已知集合A={−1,0B.{−C.{−D.{4.某班共有学生48人,现对该班学生业余兴趣举行调查,结果如下:喜欢运动的学生有20人,喜欢游戏的学生有37人,两者都喜欢的学生有12人.则该班学生中既不喜欢运动又不喜欢游戏的学生有()A.3人B.6人C.9人D.12人5.已知集合A={1,A.{1}C.{1,6.(1)若集合A={x,(2)若集合A={x∣k+女综合练习7.已知全集U=R,集合AA.{−1,C.{−1,8.(多选)已知集合A=y∣y=A.A=BC.A∪B9.(多选)设全集U={0,1,2∩A={1A.AB.BC.AD.∁10.(多选)图中阴影部分的集合可以表示为()A.BB.∁C.BD.A11.(多选)由无理数引发的数学危机向来延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从延续性的要求出发,利用有理数的“分割”定义无理数(史称“戴德金分割”),并把实数理论建立在郑重的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了数学史上的第一次大危机.所谓的“戴德金分割”,是指将有理数集Q划分为两个非空子集M,N,满意M∪N=Q,M∩N=⌀,且集合A.若M={x∈B.存在一个“戴德金分割”M,N,使得M中无最大元素,且C.存在一个“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,但D.存在一个“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,且12.(1)已知全集U=R,集合A={x∣(2)已知集合A={x∣1≤13.已知集合A=x x2(1)求实数a的值;(2)设全集U={x∈14.对于两个集合A,B,定义集合A与集合B的差集A{(1)当m=−2时,求(2)若A−B=女拓广提升15.已知A是非空数集,倘若对于随意x,y∈A,都有(1)证实:集合A={(2)判断以下两个命题的真假:(i)命题p:若非空数集A1,A(ii)命题q:若非空数集A1,A2均为“封闭集”,且16.对于集合A,记集合A中的元素个数为A,并规定空集的元素个数为0.当集合A的子集Ai满意Ai=2时,称Ai为A的二元子集.现已知集合A={1,2,3,⋯,n}n②B=m,③B∩Ai(1)当n=3时,证实:集合A具有性质(2)当n=6时,判断集合A是否具有性质(3)若集合A具有性质P2023,求n第讲充足条件与须要条件学习目标1.通过梳理典型数学命题,理解须要条件的含义,理解性质定理与须要条件的关系;2.通过梳理典型数学命题,理解充足条件的含义,理解判定定理与充足条件的关系;3.通过梳理典型数学命题,理解充要条件的含义,理解数学定义与充要条件的关系.要点提炼1.充足条件与须要条件普通地,“若p,则q”为真命题,是指由条件p通过推理可以得出结论q,这时我们就说,由p可以推出q,记作p并且说,p是q的充足条件,q是p的须要条件.倘若“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能通过推理得出结论q,记作p⇒q,此时,我们就说p不是q的充足条件,q不是p的2.充要条件、四种基本关系普通地,倘若“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均为真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,则称p是qp对于普通的条件p和结论q,按照p能否推出q以及q能否推出p,可以分为如下四种关系:(1)充要条件:“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为真命题,即p⇒（2）充足不须要条件:“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题,即p⇒（3）须要不充足条件:“若p,则q”为假命题,“若q,则p”为真命题,即p⇒(4)既不充足也不须要条件:“若p,则q”为假命题,“若q,则p”为假命题,即p⇒q,p与q的关系ppqp,p是q的须要不充足条件qp是q的充足不须要条件p,q互为既不充足也不3.充足条件、须要条件和集合的联系若p以集合A的形式浮上,q以集合B的形式浮上,即A={x∣x满意条件p},(1)若A⊆B,则p是q的充足条件;若A⫋B,则p是q的(2)若B⊆A,则p是q的须要条件;若B⫋A,则p是q的(3)若A=B,则p是(4)若A⊈B,且B⊈A,则p是q的既不范例精讲例1在下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充足条件,哪些命题中的p是q的须要条件:(1)若x2=1(2)若四边形的两组对边分离平行,则这个四边形是平行四边形;(3)若AB=AC,则(4)若x,y均为无理数,则解析:对于(1),由x2=1知x=±1,故p由x=1知x2=1,故p对于(2),由平行四边形的定义知p是q的充足条件,p也是q的须要条件.对于(3),当AB=AC时,△ABC是等腰三角形,故p是q当△ABC是等腰三角形时,两腰不一定是AB,AC,故p不是q对于(4),取x=−2,y=2,则x+y=0∈Q,故综上所述,命题(2)(3)中p是q的充足条件,命题(1)(2)中p是q的须要条件.评注:在判断充足条件和须要条件时,只需验证命题“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”的真假,结合充足条件和须要条件的定义即可做出判断.异常地,我们有以下三个迅速判断主意:(1)倘若该命题是一个数学定义,那么这个命题中的p是q的充要条件;（2）倘若该命题是一个判定定理,那么这个命题中的p是q的充足条件;(3)倘若该命题是一个性质定理,那么这个命题中的p是q的须要条件.例2已知x∈R,则“x>A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件解析:当x>1时,x2当x2>1时,x<−1因此本题选A.评注:在判断四种关系时,需要逐一验证充足性和须要性是否成立.异常地,在一定充足性或须要性时,除了通过推理论证,也可以通过举反例来一定.例如本题的须要性,可以取x=−2,此时x<1,但x例3(多选)已知p是r的充足不须要条件,q是r的充足条件,s是r的须要条件,q是s的须要条件,则下列说法准确的是()A.r是q的充要条件B.p是q的充足不须要条件C.r是q的充足不须要条件D.r是s的充要条件解析:依题意,p⇒r,r⇒p,且由p⇒r,r⇒q知p⇒q,而q⇔r,r⇒p,故故本题选ABD.评注:本题考查命题充足性和须要性之间的传递性:倘若命题“若p,则q”和命题“若q,则r”均为真命题,则命题“若p,则r”也是真命题,即倘若p⇒q,例4已知集合A=x∣x2−8x−20解析:依题意,A={由x∈A是x∈B的①当1−m≥1+m,即②当1−m<1+m,即m>0时,由综上所述,m<评注:利用充足条件或须要条件求参数范围问题,可以转化为利用集合间的基本关系问题举行求解.求解时倘若被包含的集合中含有参数,需要考虑空集的情形.例5已知p:−1<x<5,q:1−解析:记集合A={由p是q的充足不须要条件知A⫋B,故1−当a=2时,A=B,此时故a>评注:在处理充足不须要条件或须要不充足条件求参数问题时,需要注重边界处的等号能否取到,即当参数取得边界处的值时,判断会不会浮上充要条件的情况,并把充要条件对应的参数舍去.例6已知a,b,c均为实数且a≠0,证实:"解析:充足性:若ac<0成立,则故方程ax2+又x1x2=ca=须要性:若于x的方程ax则Δ=b2−4ac>0综上所述,原命题得证.评注:证实p是q的充要条件,需要同时证实p⇒q和q⇒p,即从正反两个方向证实给定的命题为真.而证实p是q的充足不须要条件或须要不充足条件时,除了1主意归纳本节内容主要涉及充足条件和须要条件的判断、应用和证实三类问题,以下将结合例题对这三种题型举行归纳总结.1.充足条件和须要条件的判断充足条件和须要条件有如下三类判断主意:(1)从命题角度判断设“若p,则q”为原命题,则“若q,则p”为其逆命题.①若原命题为真,则p是q的充足条件;若逆命题为真,则p是q的须要条件.②若原命题为真,且逆命题为真,则p是q的充要条件.③若原命题为真,且逆命题为假,则p是q的充足不须要条件.④若原命题为假,且逆命题为真,则p是q的须要不充足条件.⑤若原命题为假,且逆命题为假,则p是q的既不充足也不须要条件.（2）从集合角度判断设集合A={x∣x满意条件p},B={x∣x条件p和条件q的关系集合A和集合B的关系p是q的充足条件Ap是q的须要条件Bp是q的充要条件Ap是q的充足不须要条件Ap是q的须要不充足条件Bp是q的既不充足也不须要条件A⊈B(3)从转化的角度判断在处理较为复杂的命题时,可以采用等价转化的方式举行处理,对于不同的命题,有如下两种转化方式:①充要条件转化法:倘若题目中给的条件p或q比较复杂,可以将p或q转化为它的一个充要条件r后举行判断,例如找到条件r⇔p,此时r和q的关系与p和②逆否命题转化法:因为一个命题和它的逆否命题同真假,故在对于一些形如“若p,则q”的命题较难判断真假时,可以考虑它的逆否命题“若非q,则非p”,进而判断出原命题的真假.2.充足条件和须要条件的应用这类问题大部分是给出两个条件之间的充足性或须要性,进而求参数的问题.在解决此类问题时,需要结合充足条件和须要条件的定义,列出相关的不等式或方程,借此求解参数.此类问题大部分可以转化为集合间的基本关系来处理,详细转化方式同上表.此外,和集合间的基本关系问题一样,倘若被包含的集合中含有参数,需要研究其是否为空集,否则容易漏解.3.充足条件和须要条件的证实充足条件和须要条件的证实主要分为以下四类:(1)证实p是q的充要条件:需要同时证实命题“若p,则q”和命题“若q,则p”均为真命题;(2)证实p是q的充足不须要条件:需要证实命题“若p,则q”成立,同时举出反例或通过推理,判断“若q,则p”为假命题;(3)证实p是q的须要不充足条件:需要证实命题“若q,则p”成立,同时举出反例或通过推理,判断“若p,则q”为假命题;(4)证实p是q的既不充足也不须要条件:需要同时举出反例或通过推理,判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”均为假命题.达标检测女基础过关1.若集合A=1,m2A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件2.设a,b∈R,则“A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件3.在△ABC中,∠BAC=90∘,点P在直线BC上,则“AP()A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件4.(1)若“x≥a”是“2x−3>(2)若关于x的不等式x−2m<1成立的一个充足不须要条件是5.已知全集U=R,集合(1)当m=4时,求A∪(2)若“x∈A”是“x∈B”的充足不内综合练习6.为了激发学生的学习兴趣,教师上课时在黑板上写出了三个集合:A=x ax−2x<0,B=x 甲:a是小于6的正整数;乙:“x∈A”是“x∈B”的丙:集合C是集合A的真子集.已知这三名学生的描述均准确,则实数a的值为()A.1B.2C.3D.47.定义集合A与集合B的差集A−B={x∣x∈A,x∉B},设集合A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件8.(多选)对于实数a,A.“a=b”是“B.“a>b+1”是“a>C.“a<2”是“a<3”的D.“b+3是无理数”是“9.(多选)“不等式x2−x+m>0A.m>1C.m>210.(多选)已知关于x的方程x2+mA.方程x2+m−B.方程x2+C.方程x2+D.方程x2+m−11.(1)若p是q的充足不须要条件,q是r的充要条件,则p是r的___条件.(2)已知p:1<x<4,q:m<12.已知集合A=(1)当m=0时,写出集合（2）若“x∈A”是“x∈B”的13.已知a1,a2,b1,b14.证实:关于x的方程x2+mx白拓广提升15.设集合M=(1)证实:若x,y∈(2)写出“偶数2k∈M”的一个充要条件,并给出16.证实:使得不等式Ax−yx−z+By第5讲全称量词与存在量词(学习目标1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;2.能准确使用存在量词对全称量词命题举行一定;3.能准确使用全称量词对存在量词命题举行一定.要点提炼1.全称量词与全称量词命题短语“所有的”“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.其普通形式为“对M中随意一个x,∀这里的px表示一个含有变量x2.存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.其普通形式为“存在M中的元素x,∃3.命题真假的判断(1)判断全称量词命题的真假对于全称量词命题“∀x∈M,px”,要想验证其为真命题,需要集合M中的每个元素x能使语句px(2)判断存在量词命题的真假对于存在量词命题“∃x∈M,px”,要想验证其为真命题,只需要在集合M中找到一个元素x0,使得语句p4.全称量词命题与存在量词命题的一定普通地,对于语句px,我们用符号¬px(1)全称量词命题的一定全称量词命题“∀x∈M,p(2)存在量词命题的一定存在量词命题“∃x∈M,p由上可以发现,全称量词命题的一定是存在量词命题,而存在量词命题的一定是全称量词命题.而命题及其一定中,元素x的范围M没有改变,仅有量词和语句px范例精讲例1在下列命题中,哪些是全称量词命题?哪些是存在量词命题?(1)所有的素数都是奇数;(2)有一些直角三角形也是等腰三角形;(3)对于随意实数x,都有x2(4)存在一些正整数n,使得n+(5)有一个内角是60∘解析:命题(1)中浮上了全称量词“所有的”,是全称量词命题;命题(2)中浮上了存在量词“有一些”,是存在量词命题;命题(3)中浮上了全称量词“对于随意”,是全称量词命题;命题(4)中浮上了存在量词“存在一些”,是存在量词命题;命题(5)中固然浮上了存在量词“有一个”,但该命题实际上表示“对于随意的等腰三角形,倘若有一个内角是60∘,那么这个等腰三角形是等边三角形”,有全称量词“对于随意综上所述,命题(1)(3)(5)是全称量词命题,命题(2)(4)是存在量词命题.评注:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,需要在命题的描述中寻找全称量词和存在量词.常见的全称量词有:“所有的”“随意一个”“每一个”“对于随意”等.常见的存在量词有:“存在一个或一些”“至少有一个”“并非所有”等.异常地,有一些全称量词命题会将全称量词省略,例如上述命题(5),像这样的几何定理,在判断时需要仔细推敲该命题的实际含义,如有须要,可以将被省略的全称量词补回去.例2判断下列命题的真假:(1)所有的素数都是奇数;(2)∀x(3)∃x(4)有一些等腰梯形的对角线长度不相等.解析:对于命题(1),该命题是全称量词命题,注重到2是素数但不是奇数,故命题(1)为假命题.对于命题(2),该命题是全称量词命题,注重到x2−xy−xy−y对于命题(3),该命题是存在量词命题,取x=32对于命题(4),该命题是存在量词命题,对于随意等腰梯形ABCD,如图,不妨设AD//由等腰梯形ABCD知AB=CD,且在△ABC与△DCB中,因为AB=因此AC=评注:当判断全称量词命题为真或判断存在量词命题为假时,需要对命题所给范围内的每个元素x举行逐一检验或证实;当判断全称量词命题为假或判断存在量词命题为真时,只需要举出一个例子即可做出判断.例3已知命题p:∀x∈[解析:依题意,x2−a≥0在3当3≤x<4时,评注:全称量词命题为真命题意味着语句px对于集合M内的所有元素x恒成立,因此原问题可以转化为不等式恒成立问题,然后采用分离参数的主意例4写出下列命题的一定:(1)所有素数都不是彻低平方数;（2）至少有一个矩形是菱形;（3）∀x(4)∃x∈R解析:命题(1)是全称量词命题,其一定为“有一些素数是彻低平方数”;命题(2)是存在量词命题,其一定为“所有的矩形都不是菱形”;命题(3)是全称量词命题,其一定为“∃x命题(4)是存在量词命题,其一定为“∀x,y评注:在通常情况下,只含有一个量词的量词命题一定的主意为“改变量词,一定结论”.异常地,倘若结论是一个复合命题,即结论中浮上“或”“且”这样的逻辑衔接词,在一定时需要举行更改.(1)p且q的一定为¬p或¬(2)p或q的一定为¬p且¬例5已知命题“∃x∈{x解析:依题意,命题“∀x故方程x2+2x−a注重到二次函数y=x2故当−3<x故a<−1,或评注:一个命题和其一定必然是一真一假,故当题目中给出的条件是假命题时,可以转化为判断该命题的一定为真命题.例6已知命题“∀x1≥0,∃−解析:依题意,函数y=x12−2x当x1≥0时,二次函数y下面求函数y=x2①当−1≤x②当0<x2≤2时,y因此有a−1≥评注:针对含有两个量词的量词命题,需要结合量词,将该命题转化为双变量命题的有解或恒成立问题举行处理.常见的双变量问题可按照如下主意处理:(1)命题∀x1∈(2)命题∀x1∈(3)命题∃x1∈(4)命题∃x1∈主意归纳本节内容主要包括量词命题的判断、一定和应用三类问题,以下将结合例题,对这三类问题举行归纳总结.1.量词命题的判断(1)全称量词命题和存在量词命题的判断判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键在于寻找命题中的全称量词或存在量词,含有全称量词的命题就是全称量词命题,含有存在量词的命题就是存在量词命题.此外,有一部分全称量词命题会将命题中的全称量词省略,比如命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”,这个命题看似含有存在量词“有”,但实际上这个命题表示的意思是“对于所有的三角形,倘若这个三角形的三边中有两边相等,那么这个三角形是等腰三角形”,所以该命题是全称量词命题.在处理此类命题时,要注重分析命题的真切含义,切不可看到存在量词就直接认为是存在量词命题.(2)命题真假的判断判断量词命题的真假需要结合量词的实际含义来考虑.对于全称量词命题“∀x∈M,px”,倘若语句px对于集合M中的每个元素x对于存在量词命题“∃x∈M,px”,倘若能找到一个元素x0∈M,使得语句p因此,在判断全称量词命题为真命题或判断存在量词命题为假命题时,需要对集合M中的每个元素x举行逐一验证或证实;在判断全称量词命题为假命题或判断存在量词命题为真命题时,只需在集合M中找到一个例子即可.此外,因为一个命题和它的一定有一真一假,故当原命题不好判断真假时,可以判断其否定的真假,借此得出原命题的真假.2.量词命题的一定量词命题的一定按“改变量词,一定结论”的方式举行.(1)全称量词命题“∀x∈M,p(2)存在量词命题“∃x∈M,p异常地,在一定结论时要注重结论是不是复合命题,复合命题的一定要更改其中的逻辑连接词,例如“或”和“且”要互换,“非”要去掉.(1)p且q的一定为¬p或¬(2)p或q的一定为¬p且¬(3)¬p的一定为p3.量词命题的应用按照量词命题的真假,可以将问题转化为不等式有解或恒成立问题、方程有解或无解的问题来处理.(1)单量词命题首先,因为命题和其一定有一真一假,故可将条件中的某命题为假命题,转化为其一定为真命题.第二,全称量词命题为真命题可以转化为不等式恒成立问题举行处理;存在量词命题为真命题可以转化为不等式有解问题来处理.对于有解或恒成立问题,可以结合函数的性质处理,也可以使用分离参数的主意处理.(2)双量词命题对于含有两个量词的量词命题,可以转化为双变量的有解或恒成立问题举行解决.和单变量问题一样,双变量问题可以结合函数的性质处理,也可以将这些变量分离,转化为比较两个函数的最值问题处理.达标检测女基础过关1.下列判断准确的是()A.“每一个正方形都是矩形”是存在量词命题B.“有一个素数不是奇数”是全称量词命题C.命题“所有整数都是有理数”的一定是“有一个整数不是有理数”D.命题“∀x>0,x2.已知命题¬p和¬q中至少有一个为真命题,则下列说法A.命题p和q均为真命题B.命题p和q均为假命题C.命题p和q中至少有一个是真命题D.命题p和q中至多有一个是真命题3.命题“∃x>0A.∀x>C.∀x≤4.(1)将命题“实数的平方均大于等于零”表示为全称量词命题:___.(用符号语言表示)(2)命题“∃x<0综合练习5.在下列命题中,既是存在量词命题,又是真命题的是()A.至少有一个实数x,使得xB.所有的矩形都是正方形C.∃D.∃6.已知命题“∃x∈RA.−4<C.−4<a≤7.已知命题“∀x,y∈A.1B.1C.0D.−8.阅读以下文字材料:已知2为无理数,若22为有理数,则存在无理数a=b=2,使得ab为有理数;若22为无理数,则取无理数aA.22B.22C.存在无理数a,b,使得D.对于随意无理数a,b,都有9.在下列四个命题中,真命题有()A.∀B.∀C.∀D.∀10.(多选)下列命题是真命题的有()A.∀xB.对于随意的无理数x,C.∃D.∃x11.(多选)下列关于命题的说法准确的有()A.命题“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题B.命题“∀xC.命题“∃x>0,xD.命题“∀x∈R12.若命题“∃x∈R13.已知集合A={(1)若命题“∀x∈B（2）若命题“∃x∈A14.已知命题p:∃x∈(1)当m=0时,判断命题p和命题(2)若命题p和命题q均为真命题,求实数m的取值范围.15.在实数集上定义运算⊗:x(1)判断命题“∀x(2)若命题“∀x∈R女拓广提升16.(1)已知函数fx=lnx+2−(2)已知函数fx=x2−2x,gx进阶特训1.已知集合A={2,A.{2,4}B.{2.设全集U={−2,−1,0,A.{1,3}B.{3.已知集合A={x∣2a+A.{a∣C.{a∣4.命题“∀x∈RA.∀x∈C.∃x∈5.“a<b<A.充足不须要条件B.须要不充足条件C.充要条件D.既不充足也不须要条件6.已知集合A=x,A.0B.1C.2D.37.已知a,b∈R,则“A.a+b≠0B.a8.定义差集A−B={x∣x∈9.(多选)已知集合A={1,4,A.1B.2C.3D.410.(多选)已知a,b,A.“a=b”是“B.“a>b”是“a>C.“a<5”是“2a<D.“a是无理数”是“a+1是无理数”的充足不11.(多选)对于非空数集F,倘若F满意“∀a,b∈F,都有a+b,aA.对于随意的“数域”F,都有0∈FB.若“数域”FC.整数集Z是一个“数域”D.有理数集Q是一个“数域”12.(多选)在整数集Z中,我们把被正整数n除所得余数为k0≤k<n的所有整数组成的集合记为“n的kA.2023B.若x∈kC.∀x,y∈Z,若D.∀n∈13.(多选)对于随意集合A,B⊆R,记A⊕B={A.若A⊕BB.若A⊕BC.存在集合A,BD.对于随意集合A⊆B14.(多选)高斯函数在数学中有着重要的运用,其定义如下:x表示不超过x的最大整数.关于高斯函数,下列说法准确的有()A.∃B.∀x,y∈C.∀D.∀15.已知集合A={−1,0,1,2},16.某中学举行羽毛球和乒乓球两项比赛.某年级积极响应小学号召,所有学生都报名参加了至少一个项目,已知该班共有23人参加羽毛球项目,有35人参加乒乓球项目,有6人同时参加羽毛球项目和乒乓球项目,则该年级的人数为17.已知命题p:x−1<2,命题q:−1<x<18.设集合A={1,2,m},其中m19.已知集合A={(1)若C⊆A,求实数(2)若A∩B⊆20.已知命题p:2x+(1)当a=1时,求使得命题p和命题q同时为真命题的实数(2)若p是q的充足条件,求实数a的取值范围.21.已知命题p:∀x∈(1)写出命题p和命题q的一定;（2）若命题p和命题q均为真命题,求实数a的取值范围.22.已知实数m≠−1,命题p:(1)当m=4时,p是不是q的(2)若¬p是¬q的___,求实数①充足不须要条件,②须要不充足条件.从这两个条件中任选一个,补充在(2)问中的横线上,并作答.23.对于给定的正整数nn≥3,n①a1②a1③A∩若集合A,B满意以上三个条件,则称集合A和集合(1)若集合A={1,5,(2)已知集合A=a1,a2,⋯,an和集合B=b24.设集合A是非空数集,定义集合B={xy∣x,(1)写出集合A={2,(2)若A是由5个正实数构成的集合,求其“生成集”B中元素个数的最小值.(3)是否存在由4个正实数构成的集合A,使得其“生成集”B={2,3,参考答案第1讲集合的概念与表示基础过关1.D解析:本题A,B,C三个选项都能判断元素是否属于该集合,而选项Du环境柔美的城市”具有不决定2.B解析:选项A中的两个集合都是点集,对应元素的坐标不同,不是同一个集合,A错误.选项B因为集合元素的无序性,A=B, B在选项C中,集合A表示正比例函数y=x的图象上所有的点,集合B是使得代数式x存心义的所有实数x,显然不是同一个集合,在选项D中,集合A以空集为元素的集合,集合B是空集,显然不是同一个集合,D错误.综上所述,本题选B.3.A解析:在选项A中,集合A是方程x2−1=0在选项B中,集合A表示使根式x−1存心义的实数x,集合B表示根式x−在选项C中,集合A是使不等式x−1≤3成立的所有天然数,集合B是使不等式x−在选项D中,集合B是不等式0≤x≤2的所有实数解,而集合4.0或2解析:若x=1,则x2若x=2,则x2题意;若x=x2,则x=1综上所述,x=0,或5.解析:(1)由x2−3x+2故题中的集合可用列举法表示为{1(2)所有不超过13的奇素数有3,故题中的集合可用列举法表示为{3（3）所有正有理数可用描述法表示为{x(4)由x−3≤故题中的集合可用描述法表示为x综合练习6.C解析:由m2−1由m−1∉由上可知m=−故B={−因此B中所有元素之和为-1,本题选C.7.A解析:依题意,要使86−x的正因子,即6−x=故B={−8.BC解析:分x<0,①当x>00,此时集合有2个不同元素;②当x=0时,此时集合惟独1个元素;③当x<00,此时集合有2个不同元素.综上所述,该集合可能有1个或2个元素,故本题选BC.9.ACD解析:由a,bN+,使得a对于选项A:a+b=m1+m2+n1+n22,因为m1+m2∈N+,n1+n2∈N+,故a+b∈A, A准确.对于选项B:a−b=m1故本题选ACD.10.x x=mn,m,n∈Z,故Q=11.15解析:满意a+b=12且a,b的奇偶性相同的正整数对满意ab=12且a,b的奇偶性不同的正整数对综上所述,集合A中共有15个元素,故本题填15.12.22解析:依题意,A2=x当a0=a当a0=0当a0=1当a0=a故集合A2的所有元素之和为413.解析:依题意,一元二次方程x有两个相等的实数根2,则2解得p代入x2+2px解得x1故B={14.解析:(1)若2∈A,则11若−1∈A,则1若12∈A,则1综上所述,集合A中还有元素−1(2)集合A不是双元素集,理由如下:对于元素x∈A,有11−x要使集合A为双元素集,则x,若x=11−x若11−x=x−1若x−1x=x综上所述,假设不成立.故集合A不是双元素集.拓广提升15.669解析:注重到,集合A表示的是所有四位七进制数组成的集合.在这些数中