1.3《正方形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案（第2课时）

第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时一、教学目标1．探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力．2．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索并证明正方形的判定定理．难点：学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板、长方形折纸.四、相关资《正方形的判定和性质》微课，《正方形的判定》图片.五、教学过程【情境导入】将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题．答：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形。设计意图：从生活中的图片入手引出本节课要探究的内容，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同学交流。师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法．（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．老师强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直的矩形是正方形；（4）有一个角是直角的菱形是正方形；（5）对角线相等的菱形是正方形．证明：（2）已知：如图，四边形ABCD是矩形，且AB=AD．求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．（3）已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线，且AC⊥BD．求证：四边形ABCD是正方形．OO证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=OB，∠DAB=90°．又∵AC⊥BD，OA=OA∴∠DOA=∠BOA=90°．∴△ABD≌△BAC（SAS）．∴AD=AB∴四边形ABCD是正方形．（4）已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=90°．求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵∠A=90°．∴四边形ABCD是正方形．（5）已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD是对角线，且AC=BD．求证：四边形ABCD是正方形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC．又∵AB=BA，BD=AC，∴△ABD≌△BAC（SSS）．∴∠DAB=∠CBA．又∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°．∴∠DAB=∠CBA=90°．∴四边形ABCD是正方形．设计意图：引导学生讨论正方形的判定方法，重点并不在于得到几条判定定理，而是要形成判定正方形的基本思路：一个四边形既是矩形又是菱形，这个四边形就是正方形。采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．做一做我们知道，任意画一个四边形，以四边中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。答：正方形。可以证明中点四边形的四边相等，角为直角。设计意图：通过研究中点四边形的问题，综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理。在此基础上，引导学生类比地提出问题，即“议一议”的问题，以发展学生发现问题、提出问题的能力。议一议以菱形或矩形各边中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明。如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？答：（1）矩形，菱形，平行四边形。（2）新四边形的形状与原四边形的两条对角线有关。当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形；当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；当原四边形的两条对角线互相垂直且相等时，新四边形是正方形。设计意图：利用类比的方法分别提出了以菱形、矩形以及平行四边形各边中点为顶点所组成的图形的形状问题，除了让学生猜测、证明外，还希望学生能进一步分析、概括得到一个一般性的结论：所得的四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。【典例精析】例已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成证明过程．证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°．∴∠EBC=∠ECB．∴EB=EC．∴□BECF是菱形（菱形的定义）．在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°．∴菱形BECF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．设计意图：教学中要给学生充分思考、交流的时间，明确思路，在此基础上再进行证明。培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列判断正确的是（）．A．四条边相等的四边形是正方形B．四个角相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2．如图，已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）．A．14B．15C．16D．173．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE=8，BF=5，则EF的长是______．4．如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为______．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．6．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．参考答案1．D．解析：选项A不正确，四条边相等的四边形是菱形；选项B不正确，四个角相等的四边形是矩形；选项C不正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；选项D正确，由对角线互相平分，说明该四边形是平行四边形，又由对角线互相垂直且相等，说明该四边形是正方形，故选D．2．C．解析：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∴AB=BC=4．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB=BC=AC=4．∴正方形ACEF的周长为4×4=16．故应选C．3．13．解析：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠FAB+∠DAE=90°．又∵DE⊥a，∴∠EDA+∠DAE=90°．∴∠FAB=∠EDA．又∵∠DEA=∠AFB=90°，∴△AFB≌△DEA．∴AF=DE，BF=AE．∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．4．．解析：连接DE，交AC于点P，连接BD．∵点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长就为PE+PB的最小值．∵DC=BC=AB=4，点E是BC的中点，∴CE=2．在Rt△CDE中，．5．解：四边形CEDF是正方形．理由如下：如图，作DG⊥AB于点G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG．同理可得DG=DE．∴DF=DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DF=DE，∴四边形CEDF是正方形．6．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴∠ADB=∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°．又∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．∴四边形MPND是正方形．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结本节课我们探讨了正方形的判定方法，下面我们来共同总结一下：1．正方形的判定方法：（1）有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线垂直