SARS的常微分方程模型-01

1/1SARS的常微分方程模型SARS的常微分方程模型关键词：

常微分方程SARS模型300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，其产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.总结来说,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的各阶导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程.常微分方程是数学理论联系实际的重要工具,它不仅与几何,生物学,经济学等有重要联系,还可以从实践的背景出发,联系实际,解决实际生活中的问题,如SARS问题。

SARS(SeverAcuteRespiratorySyndrome严重急性呼吸道综合症，俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围传播的恶性传染病，潜伏期2--12天，通常在4--5天发病。

SARS自2002年11月份发现以来，迅速蔓延到世界28个国家，据世界卫生组织报告，截至03年6月13日，全世界的SARS病例已达8454人，共792人死亡，我国情况尤为严重，病例高达5327人，其中343人死亡。

高峰期时，北京市每日新增患者即高达百人以上。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大的影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

一、模型假设（一）模型一（早期模型）1.一个人得病后接受治疗且在传染期内不会死亡2.平均每天可传染k人（k一般为小数）3.平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限为l，在此期限后他失去传染作用。

（二）模型二（新建模型）：

1.所研究地区的人口总量一定，不考虑该时间内人口的迁出迁入。

2.不考虑在SARS传播期间人口的自然出生和自然死亡。

3.不考虑SARS隐性患者，即只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状。

4.在0时刻时，该疫区已发现SARS患者，作为初值。

5.采取的所有控制措施对于阻止SARS病毒的传播都是逐渐有效的。

二、分析与建立模型(一）早期模型简述早期模型假定初始时刻的病例数N0,平均每位患者每天可传染k人，k代表某种社会环境下一个病人传染其他人的平均概率，与全社会的警觉程度，政府和公众采取的各种措施有关。

将整个感染期分为两个阶段，即疾病初发期和控制阶段，采取不同的k值，在每一个阶段内k值保持不变，控制阶段的k值比疾病初发期相对缩小。

平均每个病人可以直接感染他人的时间为l天，在整个模型中被定义为20天。

因此得到l的限制下，病例数目随时间t（单位天）的关系为：

N(t)=N0(1+k)t并采用半模拟循环计算的方法，把到达l天的病例从可以直接传染的基数中去掉。

1.对早期模型的合理性和实用性进行分析与评价建立数学模型的意义在于能够真正应用于实际并很好的解决实际问题，本文主要建立SARS的传播模型，关键在于通过已有数据建立一个真正能够预测以及能为实际的预防和控制提供有价值的具有指导性意义的信息，要从合理性和使用性两方面来评价早期模型，首先要要求模型的建立有根据，预测结果切合实际，并且要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际。

（1）早期模型合理性评价其一，该模型确实预测了整个疫情的发展趋势，从这一点上看，是切合实际的。

其二，分阶段取k值思想是模型拟合预测更多的情况。

伴随着疫情的发展以及社会外部环境的改变，k值跟随时间t变化而变化。

而同一阶段内，k值变化并不非常明显，因此为了简化模型，采取了分阶段取k值，并在同一阶段内保持k为同一常数，根据实际数据调整各阶段之间不同k值，在实际性与精确性之间找到了比较合适的权衡。

但从预测准确度上讲该模型虽然在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现偏差。

该模型仍存在以下几个缺点：

其一，在对参数l的确定上，我们致力于更好地拟合各阶段的数据，得到更好的统计结果，而通过人为测试来确定l的取值，缺乏医学上的支持，降低了模型的合理性。

其二，该模型没有考虑SARS的潜伏期，也没有对人群进行合理分类（比如易感人群，疑似人群，已确诊人群，治愈人群，死亡者等），这点对该模型的合理性造成了很大的影响。

其三，k值的微小变化会引起拟合结果的剧烈变动。

这就给此模型预测一个未知区域的SARS疫情发展带来了很大的挑战其四，在k值不变的情况下，模型的拟合时间较短，最长不超过十天。

这就要求k值要不断地变化也保证模型的准确性。

从这个方面来说，模型的可操作性不尽人意。

（2）早期模型实用性评价该模型通过不同的阶段采用不同的k值可以体现疫情随实际控制情况的变化而变化的特点，并且通过不同地区的处置考虑到了不同地区的实际情况，具有一定的实用性。

但仍然存在缺点：

由于城市之间人口，政策，风俗习惯等不同，城市间的可比性并不强，预测存在局限性。

并且，城市之间爆发疫情的先后顺序对实际的疫情变化影响很大，一次采用先发城市的数据对未来进行预测，实用性有待考虑。

2.模型的缺点：

（1）是没有考虑到年龄结构层次对疫情的影响。

因为根据医学研究表明，儿童与老人极易感染非典病毒，而壮年由于精力旺盛是活动积极者，且由于控制后期人们的活动水平降低，使得接触的几率降低，接触几率的不断降低这一点在模型中并没有得到很好的体现。

（2）随着医疗水平的提高与人们的意识水平，政府的严厉控制措施，退出率实际上是不断提高的，而我们的模型中却认为是一个常数。

根据以上的结论我们可以进行以下改进：

①在模型中一如接触率和移出率应随着病人的减少而变化，随着时间推移有所调整，以符合预测的需要。

②在模型中引入接触感染率的概念，即体现接触不一定感染，只不过是感染率较高。

③对控后模型加入潜伏期对病毒的传播造成的影响。

（二)模型二：

改进的模型1.符号说明如表1：

2.模型建立：

我们通过研究发现，各地的SARS确诊病例在疫情初始阶段呈现爆发趋势，增长很大，随着时间推移，增长率逐渐趋于零，确诊病例数量逐步稳定地趋于一个值。

我们把这个值定义为最大容忍量K。

确诊病例增长率与时间t相关，记为r(x)。

假定0时刻某地通过人口流动带来病例x(0)为初值，建立模型。

?dx=r(x)x?dt??x(0)=x0?对r(x)简单假设为x的线性函数，用r?1-x(t)??来描述，于是数学模型可以改进为：

K??x(t)?dx(=r1-?K?dt?x(0)=x0?)x,运用常微分方程中的知识，解出x(t)x??d(x)=r1-?xdtK??推出rdt=K(K-x)dx=dxx+dxK-xxK-x推出rt=lnx-ln(K-x)+c1=ln推出rt-c1=ln推出x=Ke-rtxK-x+1K推出ert-c1=xK-xc1推出eKx0-1-rt-c1=K-xx=Kx-1ec1推出x(0)=x0=e=x(t)=?K?-rt?e1+-1x??0?利用MATLAB的参数估计，给定前n个数[包含x(0)]，可以得到K值。

三、模型的应用自2003年2月中旬在广东，3月中旬在香港，4月中旬在北京爆发，而后国内大部分地区流行或散发。

根据香港卫生署网站提供的香港每日疫情的报告，获得自2003年3月27日至2003年5月12日的疫情数据见表2。

表2香港SARS疫情数据1.建立室模型我们可以把香港看做一个广义的生物体，SARS爆发后为这个广义的生物体积累了传染源并刺激社会启动应急机制。

假定传染源以传染力Ka感染健康群体，社会干预及个体自身免疫力构成群体免疫力Ke，以抑制SARS传播。

据此构建SARS疫情的室模型，见图1。

由于医务人员与SARS患者密切接触，其传播方式与一般人群中SARS传播方式不同。

为探讨人群中SARS传播方式，数据分析时仅采用市民发病人数作为新发病例。

将日期和新发病例作图（见图2），并用光滑曲线连接，观察发现2003年4月2日前为爆发期，此后新发病例数由16例逐步上升，至4月24日后新发病例呈逐步下降趋势。

利用4月2日至5月4日数据，应用NOSA统计分析软件建模，得到模型参数如下：

A=165.13900，Ke=0.0823631，Ka=0.1455078。

模型拟合有统计学意义（F=120.47，P0.0001），相关指数r=0.82。

将拟合的曲线叠加到图1，可见本模型基本反应了数据的变化趋势。

图2香港SARS疫情变化趋势图3香港SARS疫情变化趋势预测2.疫情预测为了验证模型的实用性，用模型预测5月5日至5月12日的发病数（图2，图3.代表的点表示实际发病数），如图2、3所示预测结果满意。

根据室模型的动力学特性计算出：

传染半衰期为4,76天，表明SARS的传染程度据爆发5天后逐渐衰减。

免疫半衰期为8.41天，表明群体免疫力据爆发8天后作用达到最强。

达峰时间为7.30天，表明据爆发7.3天后，新发病例最多。

传染源平均滞留时间为19.01天，表明传染源进入健康群体19天后将基本清除。

疫情得以控制时间=达峰时间+病毒平均滞留时间=7.30+19.01=26.31天。

疫情完全控制时间=10倍传染半衰期=10?4.76=47.6天。

疫情完全排出时间：

是新发病人数CSARS?0.5的最小时间=70天。

应用模型对香港地区疫情中长期预测为:5月19日左右疫情完全控制，到6月中旬疫情排除（见图3）。

有理由认为北京地区的SARS与香港地区的相似，并在爆发后采取了相似的社会干预措施。

那么根据香港地区疫情发展的室模型，对北京疫情用类比手段进行预测如下：

假定2003年4月20日为北京SARS爆发日，那么到4月25日左右SARS的传染程度逐步衰减，而群体免疫力到4月28日左右达到最强，4月27日左右新发病例最多，此后逐渐减少，5月16日左右疫情基本控制，6月6日左右疫情完全控制，到7月上旬疫情排除。

值得注意的是社会干预（教育，宣传，隔离）是群体免疫力主要组成部分，提高群体免疫力将缩短SARS流行时间，否则将会有难以预测的结果。

因此，疫区的社会干预只能加强，不可片刻松懈。

参考文献：

[1][2][3][4]夏结来：

非线性模型算法,中国卫生统计，2000年17期.周坏梧：

医用生物数学，北京：

人民卫生出版社，1987.姜启源：

数学建模（第四版），北京：

高等教育出版社，2011年.赵楠楠：

SARS传播的数学模型，大连海事大学学报；2005年01期.[5]刘畅：

SARS爆发预测和预警的数学模型研究，科学通报；2004年21期.ORDINARYDIFFERENTIALEQUATIONMODELONSARSAbstract:SARS(SeverAcuteRespiratorySyndromesevereacuterespiratorysyndrome),intwenty-first