2022年安徽高中数学模拟试卷2（含解析）

2022年安徽高中数学模拟试卷2

一.选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1.（5分）（2022•安庆模拟）已知函数尸加C?-3x）的定义域为4,集合8=31WxW4},

则（CRA）GB=（）

A.{0,1,2,3,4）B.{1,2,3}C.[0,4]D.[1,3]

2.（5分）（2022•安徽模拟）复数z满足z=25+3i-3,则|z|=（）

A.5B.V5C.10D.VTO

1

3.（5分）（2022•安徽模拟）若p：JC-4<0,q：>—,则p是0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）（2022•滁州模拟）已知弟，人=竽，c=\则（）

□46

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

5.（5分）（2022•安徽模拟）若将函数〉=5）（3%+$（3>0）的图像向右平移;个单位长

度后，与函数y=cos®x+看）的图像重合，则3的最小值是（）

21191715

A.——B.——C.—D.——

4444

6.（5分）（2022•安庆模拟）已知圆锥SO的底面半径为1,母线SA=3,过点A的平面a

将圆锥50分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（）

A.3V3B.3V2C.4V3D.4企

22

7.（5分）（2022•宣城模拟）设椭圆不+9=1的左、右焦点分别为四，“2，点P在椭圆

2516

上，且满足而"/=9，则上产||・「?2|的值是（）

A.14B.17C.20D.23

8.（5分）（2022•安徽模拟）等差数列{砺}的前〃项和为S“满足%27+S2i=72,则S25=

（）

A.72B.75C.60D.100

9.（5分）（2022•安徽模拟）若存在直线与函数f（x）=/-1,g（x）=ln（x-a）的图像

都相切，则实数a的取值范围是（）

A.[-e,+8）B.1-2,+8）C.1-1,+8）D.[一,+oo）

10.（5分）（2022•安徽模拟）/XABC是等腰直角三角形，AB=BC=4,CD=^（CA+CB）f

AE=xAD+yAC,其中2x+y=l,则以•前的最小值是（）

A.一等B.C.-3D.-4

11.（5分）（2022•合肥二模）某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学

成绩《近似服从正态分布N（90,。2）（试卷满分150分），且P〔f2100）=0.3,据此

可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（）

A.2800B.4200C.5600D.7000

12.（5分）（2022•安庆模拟）2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G

和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅

增长.截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话

用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G

移动电话用户达到3.55亿户，固定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011

年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（）

（Wff人）

100-国……”102,124

Mn.4

60

史.里”..巴尔出L区912工

20

30

2011*2013*2015*201%珈3？旌

1OTII-2O21年■定，话及尊■电培■及率发腰1tH

A.近十年以来移动电话普及率逐年递增

B.近十年以来固定电话普及率逐年递减

C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部伯人

D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点

二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2022・合肥二模）已知八48（7的内角48,。的对边分别为4,6,°,若6+28§8+反084

=6,a=2,则△ABC面积的取值范围为.

14.（5分）（2022•安徽模拟）若。-伪”展开式的常数项为日，则正整数〃的值

为•

15.（5分）（2022•黄山模拟）已知三棱锥P-ABC各个顶点都在球。的表面上，PA=PB,

AC=BC,AB=2\[2,PC=2〃，E、尸分别为AB、尸C的中点，且所=2.则球。的表

面积是.

XX1

'~,则函数y=/（/（x））

（log2（x-V）,x>l

-I的所有零点构成的集合为.

三.解答题（共7小题，满分70分）

17.（12分）（2022•安徽模拟）甲、乙两名射手射击I个较远的目标，甲命中的概率为g

乙命中的概率为甲、乙是否命中互相独立，甲乙均射击两枪.

（1）求甲命中1枪乙命中2枪的概率；

（2）设随机变量X表示“甲乙命中的枪数之和”，求X的分布列和数学期望.

42y2

18.（12分）（2022•安徽模拟）己知椭圆后+言=l（a>b>0）的左、右顶点分别为4，

A2,左、右焦点分别为尸1，尸2,M是椭圆上异于Ai，A2的一点，且%乙&42=一发

明/1|+峥|=4,

（1）求椭圆的标准方程；

（2）尸，。是椭圆上两点，直线PQ,OP,。。的斜率均存在且不为0,若aOP。面积为

V2,求kop・koQ.

19.（12分）（2022•安庆模拟）如图48co为平行四边形，AB=5,AO=4,BD=3,将4

A8O沿8。翻折到△P3O位置且NPD4=120°.

（1）求P,。两点之间的距离；

（2）求二面角D-PB-C的余弦值.

20.（12分）（2022•合肥二模）已知函数/CO=/+cosx-ex,f（x）是/（x）的导函数.

（I）证明：函数/（工）只有一个极值点；

（2）若关于x的方程/CO=t（/6R）在（0,n）上有两个不相等的实数根明，股,证

明：广（毁%<0.

21.（12分）（2022•安庆二模）已知数列｛。〃｝的前〃项和为S”且满足&=（〃+1）2斯-3,

M€N+.

（I）求｛小｝的通项公式；

（II）若bn=（2〃+3）（-1）%〃,求出“｝的前n项和Tn.

22.（5分）（2022•安庆模拟）已知函数/Cx）=2\x\+\x-a\,其中心0.

（1）当4=1时，求不等式/（X）24的解集；

（2）若在［7,2］时，2W/（x）W6,求〃的取值范围.

23.（5分）（2022•安庆二模）已知直线/：k｛斗/白（其中常数m<0,f为参数），以

［y=m+^-t

原点O为极点,以丫轴非负半轴为极轴.取相同的单位长度建立极坐标系,曲线。的极

坐标方程为p=4sin6.已知直线/与曲线C相切于点A.

（I）求机的值；

（II）若点P为曲线C上一点，求AO%的面积取最大值时点尸的坐标.

2022年安徽高中数学模拟试卷2

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1.（5分）（2022•安庆模拟）已知函数尸加（7-3外的定义域为A,集合5={MlWxW4},

则（CRA）08=（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3}C.[0,4]D.[1,3]

【考点】补集及其运算.

【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算.

【分析】由函数尸加C?-3x）的定义域求出集合A,进而求出CuA，由此能求出（OM）

B.

【解答】解：•.•函数-3x）的定义域为A,

r.A={x|?-3%＞0}={小＜0或工＞3},

CuA={x|0«},

集合B={.v|lWxW4},

贝（CRA）3].

故选：o.

【点评】本题考查集合的运算.考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

2.（5分）（2022•安徽模拟）复数2满足z=25+3i-3,则|z|=（）

A.5B.V5C.10D.V10

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合共规复数的定义，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解：设z=a+bi,

则5=a—bi,

Vz=2z+3/-3,

：.a+bi=2（a-bi）+3i-3,即3,解得:

A|z|=|3+i|=V32+l2=V10

故选：D.

【点评】本题主要考查共聊复数的定义，以及复数模公式，属于基础题.

3.（5分）（2022•安徽模拟）若p：f-4V0,q：白〉争则〃是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

【分析】解不等式，分别求出满足"，q的x的范围，结合集合的包含关系判断即可.

【解答】解：p：V？-4<0,/.-2<JT<2,

1V2

:.q：,A0<x<2,

V{x|0<x<2}£{x|-2<x<2},

••卬是,的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式以及集合的包含关系，属于基础题.

4.（5分）（2022•滁州模拟）已知等，竽，c=则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】利用对数的四则运算判断〃>6,利用构造函数的单调性判断c>m求解即可.

【解答】解：・：a=哈6=警

.In4ln34ln4-5ln3/n256-Zn243

b=---=-20-=-20-X),••b9

设/（X）=警，则/（x）=与弊

当OVxVe时，则。（X）>0,/（x）单调递增,

当时，则/（%）<0,/（%）单调递减,

・••当x=e时，则f（x）取到最大值,

Ineln4ln4”

・'・f(e)>/(4)»:.---->—>----,即c>a,

e45

故选：B.

【点评】本题考查对数的四则运算，利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题.

5.（5分）（2022•安徽模拟）若将函数丫=$，71（。%十*）（<0>0）的图像向右平移/个单位长

度后，与函数y=cos®》+专）的图像重合，则0）的最小值是（）

21191715

A.-B.-C.-D.一

4444

【考点】函数y=Asin（a）x+（p）的图象变换.

【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出3,即可得出结果.

【解答】解：将函数y=sin（3%+»（3>0）的图像向右平移g个单位长度后，得到函

数丁=出11（o）x-等+*）的图像，

即y=cos（cox—等一名）,与函数y=cos（3%+$的图像重合，

即（DA*-—弓=（JO.V+着+2Znr,kWZ,

故-于-4=石+2配，蛇z,

所以3=・6%等依Z,

19

所以0）的最小值为

故选：B.

【点评】本题主要考查了函数y=Asin（sr+（p）的图象变换和诱导公式的应用，考杳对

基础知识的综合运用，属于中档题.

6.（5分）（2022•安庆模拟）已知圆锥50的底面半径为1,母线S4=3,过点4的平面a

将圆锥SO分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为（）

A.3V3B.3V2C.4V3D.4^2

【考点】平面的基本性质及推论.

【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算.

【分析】问题转化为动点M从点A出发，绕圆锥一周回到4,求M的最短距离.

【解答】解：问题转化为动点例从点A出发，绕圆锥一周回到4,求M的最短距离.

•・•圆锥的侧面展开图为扇形，圆心角为nX2^3=守,

・•・最短路径的长度为腰长是3,顶角为三的等腰三角形的底边长度，

该长度等于2X3Xcos30°=6x孚=3百.

故选：A.

【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查圆锥表面上的最短距离问题，考查化归

与转化思想，是基础题.

y2

7.（5分）（2022•宣城模拟）设椭圆不+J=1的左、右焦点分别为n，出，点P在椭圆

2516

上，且满足而「P72=9，则|尸产1|・『七|的值是（）

A.14B.17C.20D.23

【考点】椭圆的性质.

【专题】计算题：方程思想：蝶合法：圆锥曲线的定义、性质与方程：数学运算.

【分析】由椭圆的方程可得小人的值，再由4,4。之间的关系求出C的值，再由椭圆

的定义可得PFi+P尸2的值，在AFiP自2中，由余弦定理可得cos/RP尸2表达式，进而求

出PFI・PF2・COS/FIPF2的表达式，再由数量积求出PFi・P尸2的值.

x2v2

【解答】解：由椭圆的方程茜+/=1可知d=25,b2=\6,c2=a2-Z>2=25-16=9,

所以a=5,c=3,

IC

由椭圆的定义可得：|PF||+|PF2|=2d=2X5=10,|FF2|=2=6,设俨人|=机，|尸产2|=〃，

在ARP"中，由余弦定理可得COSNFIPF2=病+噌由同=6+吟mnfgl=

ZmnImn

100-36-2?nn_64-2mn

2mn_2mn'

所以可得m••cosZFiPFz=32-m*n,

COSI

因为函•PF2=9，即|P产i|•『尸2|NFP产2=9,

所以9=32-PQ•尸尸2，

解得：PF|・P尸2=23,

故选：O.

【点评】本题考查椭圆的性质的应用，余弦定理的应用和数量积的运算性质的应用，属

于中档题.

8.（5分）（2022•安徽模拟）等差数列｛处｝的前〃项和为S”，满足3a27+S2i=72,则京5=

）

A.72B.75C.60D.100

【考点】等差数列的前n项和.

【专题】计算题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列：逻辑推理；数学运算.

【分析】由题意，根据3〃27+S2i=3。27+21。1|=72,可得。27+7。11=24,进一步结合an+la\\

=8«3可得413=3,最后利用$25=25/3进行求解即可.

【解答】解：•・•(〃〃}是等差数列，

.21

***521=-2=21。]],

V3a27+521=72,

3〃27+211=72,即427+7。11=24,

又•••o27+7〃i[=8ai3

，8.3=24,即m3=3,

2S2s

.*.525=(m+425)=^x2ai3=25ai3=25X3=75.

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的性质，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

9.(5分)(2022•安徽模拟)若存在直线与函数/(x)=/-1,g(x)=ln(x-a)的图像

都相切，则实数。的取值范围是()

A.[-e,+8)B.[-2,+8)C.[-1,+8)D.[-1,+oo)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】转化思想；综合法；转化法；导数的概念及应用；数学运算.

【分析】注意到函数/J)=F-I图像卜凸，g(x)=ln{x-a)图像上凸，根据题意

只要/(X)函数图像在g(x)函数图像之上即可，所以定义域(a,+~)/(x)2g(x)

恒成立即可得解.

【解答】解：注意到函数f(%)=/-1图像下凸，g(x)=lnCx-a)图像上凸，

故”存在直线与函数/(x)=?-1,g(x)=ln(x・4)的图像都相切”

即在定义域(小+°°)内，f(x)2g(x)恒成立，

记〃(x)\-In(x-a),^(x)=ex—(m+°°)上单调增，

且在(a,+°°)有唯一零点xo，即e*。一v1门=°，

xo~a

x

且〃Wmm=h(xo)=eO-l-ln(x0-a)=7^7+的一。+。-1,2+。一1)0,于

人0u

是-1,

所以实数〃的取值范围为［-1,4-00）.

故选：C.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想，属基础题.

T1TT

10.（5分）（2022•安徽模拟）ZVIBC是等腰直角三角形，AB=BC=4fCD=^CCA+CB）f

AE=xAD+yAC,其中2x+y=l,则以•尾的最小值是（）

A.-B.一票C.-3D.-4

【考点】平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.

【分析】由平面向量的线性运算可得以•而=d・（或+几）=点2+成.

AB=/元）2+y2y62+2xy^AD.AC+xAD-AB+yACAB,然后结合平面向量数量积的运

算求解即可.

【解答】解：由2）=3（&+&），则。为AB的中点，

TTT

由AE=xAD+yAC,

贝根•前二R•必+几）=或2+占/=x2G2+/必+r,疝）•品•+xG•

AB-^yAC•AB=4^+32^+16xy-8x-16y,

又2x+y=L即y=1-2x,

则49+32六1娜+8"16），=10（必-88；1+16=100（x-1|）

即成•港的最小值是-皆，

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属中档

题.

11.（5分）（2022•合肥二模）某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学

成绩t近似服从正态分布N（90,。2）（试卷满分150分），且尸留2100）=0.3,据此

可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（）

A.2800B.4200C.5600D.7000

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】利用正态分布的对称性可得P（fW80）,可得P（80WfV90）,即可得出结论.

【解答】解：*近似服从正态分布N（90,。2）（试卷满分150分），且P（^100）

=0.3,

:・P(fW80)=0.3,

1-03><2

：.P(80WfV90)=2=0.2,

・•・这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数=14000X0.2=2800,

故选：A.

【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础

题.

12.（5分）（2022•安庆模拟）2021年，我国通信业枳极推进网络强国和数字中国建设，5G

和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅

增长.截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到18.24亿户，其中移动电话

用户总数16.43亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为10.69亿户，5G

移动电话用户达到3.55亿户，固定电话用户总数1.81亿户，全年净减121万户.自2011

年以来固定电话与移动电话普及率（单位：部/百人）如图所示，则以下说法错误的是（）

(Wff人)

，W，124

国……”*120

F6

90

60

吧.里尸9nt

30

201押2013*201/201*2013？自

年■定•口及尊■电话普及率发及情况

A.近十年以来移动电话普及率逐年递增

B.近十年以来固定电话普及率逐年递减

C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，比上年末提高3.4部/百人

D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，比上年末降低0.1个百分点

【考点】进行简单的合情推理.

【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算.

【分析】观察折线图，得到选项A错误，选项88正确.

【解答】解：对于A,由于2015年移动电话普及率比2014年的普及率低，

...近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，故A错误：

对于4,近十年以来固定电话普及率逐年递减，故4正确；

对于C,2021年移动电话普及率为1163部/百人，

2020年移动电话普及率为112.9部/百人，

A2021年比上年末提高3.4部/百人，故。正确；

对于D,2021年固定电话普及率为12.8部/百人，

2020年固定电话普及率为12.9部/百人，

2021年比上年末降低0.1个百分点，故O正确.

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

二.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）（2022・合肥二模）已知2\48。的内角4,8,。的对边分别为小尻小若以2858+桃。必

=6,a=2,则△ABC面积的取值范围为（0,2V2].

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】由题意利用余弦定理可得H3|+HC|=6,A在以C为焦点，长轴长为6的椭

圆上可得当A是椭圆短轴顶点时,A到BC的距离最大，由此可求三角形面积的最大值，

从而可求面积的取值范围.

【解答】解：因为。+2COS6+&osA=6,。=2,

一块匕2+C2―Q2

所以b+acosB+bcosA=b+a*---------+〃•----------=6+c=6,

2ac2bc

即|AB|+HC|=6,

又|Bq=2,

所以A在以5,。为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），

如图以8C为x轴，线段BC中垂线为），轴建立平面直角坐标系，

x2y2

设椭圆方程为一^+77=1,则。=3,。=1,

a2b2

所以仁7出一c?=2我,

当月是椭圆短轴顶点时，A到BC的距离最大为〃=2鱼，

所以SA48C的最大值为]X2x2y[i=2^2,可无限接近于0,无最小值,

所以&ABC的取值范围是（0,2V2].

故答案为：（0,2V2].

【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了椭圆的性质及应用，考查了

数形结合思想，属于中档题.

14.（5分）（2022•安徽模拟）若（％+/-鱼尸展开式的常数项为弓，则正整数〃的值为4.

【考点】二项式定理.

【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算.

【分析】由Q+/一企），=I瓜-金2〃，结合二项式展开式的通项公式求解即可.

【解答】解：由6）〃=（依一意）2"，

则二项式（«—卷）2〃展开式的通项公式为了.=Gn（VJ）忌）’=（七"Gn/

-r

令〃-r=0,

解得n=rf

由展开式的常数项为日，

则弓）"％=苧，

解得〃=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.

15.(5分)(2022•黄山模拟)已知三棱锥P-ABC各个顶点都在球。的表面上，PA=PB,

AC=BC,AB=2^2,PC=2瓜,E、尸分别为48、尸。的中点，且所=2.则球O的表

面积是24n.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；对应思想；分析法；球；数学运算.

【分析】由几何关系求出球的半径后计算表面积.

【解答】解：由题意用=尸8,AC=BC,E是4B中点，故CE1AB,

又PECCE=E,可得AB_L平面PCE,AB_LE尸，

由勾股定理可得凡4=FB=V2T4=V6,而/P=FC=限,

由题意尸即为球。的球心，半径为连，

故球的表面积为4X6n=24n,

故答案为：241T.

【点评】本题考查球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题.

16.(5分)(2020•黄山二模)已知函数/•(4)='一，则函数)，=/(/(-)

口。。2。-1)，%>1

-1的所有零点构成的集合为U，3,9｝.

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】函数)，=川(幻］-1的零点，即求方程*(x)］-1=0的解，利用换元法进行

求解即可.

【解答】解：由)，=_/(/(4))•1=U得/(/(X由=1,

设，=/(%),则等价为/(f)=1,

当时，由/(x)=x=l得x=l,

当X>1时，由/■(x)=log2(工-1)=1得x=3,

即/=1或Z=3,

当xWl时，由f(x)=x=l,得x=l,由f(x)=x+\=3»得x=2(舍)，故此时x=l»

当x>l时，由/(x)=log2(x-1)=1得x=3,由f(x)=log2(x-1)=3,得x=9,

综上％=1,或x=3或x=9,

所以函数、=川(幻］-1的所有零点所构成的集合为：｛1,3,9)

故答案为：｛1,3,91.

【点评】本小题主要考查函数的零点、方程的解法等基础知识，利用换元法结合数形结

合是解决木题的关键.

三.解答题(共7小题，满分70分)

2

17.(12分)(2022•安徽模拟)甲、乙两名射手射击1个较远的目标，甲命中的概率为3

乙命中的概率为"甲、乙是否命中互相独立，甲乙均射击两枪.

(1)求甲命中1枪乙命中2枪的概率；

(2)设随机变量X表示“甲乙命中的枪数之和”，求X的分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期殂与方差；离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】(1)根据独立事件概率的计算方法即可计算；

(2)根据题意X的可能取值为0,1,2,3,4,根据独立事件的概率计算方法计算分布

列并求数学期望即可.

【解答】解：(1)记事件A="甲命中1枪乙命中2枪”，

则由题意可知，P(4)=C^xix|x(1)2=i；

(2)由题意知X=0,1,2,3,4,

P(X=0)=(1)2x钞=.

P(X=1)=(g)2x6X：X：+6X§X1X(；)2=£=看

P(X=2)=(1)2X(1)2+C2X|X|X^2X(1)2+(|)2X(1)2-.

P(X=3)=^x|x|x(|)2+(|)2xCix(l)2=i|=|,

P(X=4)=(^x(l)2=±=i,

X的分布列用表格表示如下：

X01234

P1113—11

3663639

故X的数学期望E(X)=0x^4-lx1+2x||+3x|+4x1=1.

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

X2y2

18.(12分)(2022•安徽模拟)已知椭圆=+£=l(a>b>0)的左、右顶点分别为4,

以4

42，左、右焦点分别为Q，尸2，M是椭圆上异于A|,A2的一点，且用%/“Az=

|A/FI|+|A/F2|=4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）P,。是椭圆上两点，直线P。，OP,0Q的斜率均存在且不为0,若△OPQ面积为

V2,求kop・koQ.

【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学

运算.

【分析】（1）由椭圆定义求出纵然后设M（XQ,>,0），根据呢4•端%2=-^求出,3得

椭圆方程；

（2）设直线PQ方程为y="+z,P（即，》），Q（X2,”），直线万程代入椭圆方程化简

后，应用韦达定理得X1+X2,加以，计算弦长伊。|，求得原点到直线PQ的距离得出三角形

的面积，利用已知面积得出参数A,1关系，计算&OP也Q并代入弓达定理的结论化简可

得.

【解答】解：（1）|MF1|+|A/F2|=4=2a=>a=2,

，儿,，/、n.iyo>o1,y21..^o2,y2一

设M（刈，加），则——-----=--=>—；~0~2=--，•-r+T0T=1=>y=

2220

x0+ax0-a2x0-a2a，b°

2a2

2x.b1,2o

一/（/―Q），•,一滔=0=2,

%2y2

・•・椭圆的标准方程为『+J=1.

42

（2）设直线尸Q方程为P（xi,y\）>Q（x?,”），

将y=kx+t代入椭圆方程整理得（1+2必）?+4^/x+2r-4=0A=\6lct2-4（i+2/r）（2?

-4）>0,

2

由韦达定理得%+%2=%7，Xi-%2=——7,

1+2/1+2/

工心,,I——,-----J16/产-4（1+2后）（2产—4）

22

故\PQ\=Vl+k\xr—x2\=V1+k•--------------o---------=

l+2k

[]+必[8（2+4灰2T2）

1+2必

原点0到PQ的距离为4=毫一双。叵密三

J"=V2=>/处2+4,一。）=V2=>（1+2A2）2-2t2（l+2k2）+t4=0=>（14-

Jk2+11+2*

2k2-2）2=0,

得1+2必=»,此时△=16^+8>0.

故卜k二丫1九二（k%i+t）（—2+t）=.勺二+-（叼+%2）+产一

Q%]%2

）2.2t—3+kt・一，“i+产2?2??229o7

17^?=々2（2/一4）一432+岸（1+2/）=-4二+於=_2（产_1）+於=_1

23一勺-2产-42t2-4-2产一4一—一]

l+2k2

【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应

用等知识,属于中等题.

19.（12分）（2022•安庆模拟）如图4BCO为平行四边形，48=5,AO=4,BD=3,将4

A3。沿翻折到△P8Q位置且NPD4=120°.

（1）求P,。两点之间的距离；

（2）求二面角D-PB-C的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算.

【专题】计算题；转化思想；淙合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观

想象；数学运算.

【分析】（1）延长A。到E,使4。=。£=4,连接EC,PE.推出BO〃EC.证明BOJ_

AD,结合8O_LP。，得到8O_L平面布£推出EC_LPE,然后转化求解PC.

（2）取OE中点O,连接0P.以04,0P分别为筋z轴建立空间直角坐标系。・.,

求出平面PDB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角

P5-C的余弦值.

【解答】解：（I）延长AO到E,使AO=OE=4,连接EC,PE.

由已知得8CEO为平行四边形，散BD//EC.

又工解办血皿）2,所以BD_LA£>,

由已知BO_LP。，故8O_L平面以E,（3分）

所以EC_L平面外£,所以ECLPE,

因为NPD4=120°,所以NPD£=60°,又PD=DE=4,

所以△B4E为等边三角形，故PE=4.

又EC=BD=3,所以PC=VPE2+EC2=5.（5分）

（2）由（1）知8CEO为矩形，取OE中点0,连接0P.

以04,0P分别为x,z轴建立空间直角坐标系0-孙z,如图.

则P(0,0,2回。⑵0,0),8(2,3,0),C(-2,3,0).PD=(2,0,-2回

PB=(2,3,-2V3),PC=(-2,3,-273).(7分)

设平面POB的法向量为后y「Zi）,则蔡丽=0,m-PB=0,

伍—V3z=0

即t,取必=V3,%=。，Zi=1,故m=(遮，0,1)>（9分）

12打+3yl—2V5ZI=0

设平面PBC的法向量为1=（巧，y2,z2）,则［而=0,n-PC=0,

即俨2+3、2-2岳2=0,

—

\—2X2+3y22Vsz2=0

取❷=0，y?=2,z2=V3»放n=(0,2,V3)»

所以cos(茄，%)=巴=（11分）

|m||n|14

由己知二面角。-尸B-C为钝角，故二面角。-尸B-C的余弦值为一笠.（12分）

14

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，二面角

的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

20.（12分）（2022♦合肥二模）已知函数f（x）=Z+cosx-ex,f（x）是/（x）的导函数.

（1）证明：函数f（x）只有一个极值点：

（2）若关于x的方程f（x）=f（怎R）在（0,n）上有两个不相等的实数根也，证

明：广（号^）<0.

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理.

【分析】（1）求导，根据导函数的单调性，以及符号，即可求证.

（2）要证/（乱产）<0,即证/（石手）<f（出），其中f（xo）=0,又由

（1）知，只需证明'Va，不妨设OVxiVJQVTT，即证/（X2）-/（2ro-X2）>0,

构造函数尸（x）=/（x）-f（2xo-x\只需尸Cr）〃丽>0,即可得出答案.

【解答】证明：（1）函数/（公的定义域为R，且/（x）=/-siiu--e,

当xWO时,f（x）="-siar-eW1-sinx-eVO,

当x>0时，令h（x）=f（x）="-sinx-e,

贝U/?’（x）=e*-cosx>0,

：.h（x）在（0,+8）上单调递增，

又,：h（0）=1-e<0,h（n）=en-e>0,

x

BAOG（0,K）时，使得力（AO）=0,EPe°—sinx0—e=0,

当OVXVAO时，/（x）<0,当x>xo时，f（x）>0,

・•・函数/（x）在（-8,刈）上单调递减，在（刈，+8）上单调递增，/G）只有一个

极小值点刈，无极大值点，

综上所述，函数f（x）只有一个极值点.

（2）证明：要证/（3产）<0,

即证/（*爱）</（即），其中/（即）=0,

又由（1）知，f（x）在（0,+8）

上单调递增，

所以只需证明甘^<1-0,

又因为尤（0,7T）,不妨设OVxi<X2<n，

又f（x）在（0,X0）上单调递减，在（XO,TT）上单调递增，

即证，(X1)>f(Zro-X2)，即/(l2)=/(用)>f(2xo-X2)，

即证f(R!)>/(2vV0-X2)>

即证f(JQ)-f(2xo-X2)>0，

构造函数T7(x)=/(x)-fC2xo-x)=(?+cosx-ex-[e2xo-x+cos(2xo-x)-e(2xo

-x)]

_e2x0

-

=W-e2x0-x+COSX-cos(2ro-x)-2ex+2的=e'—正-4-2sinxosin(xox)-2ex+2exo

e2x0

又尸'(x)=—+-^—