新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024-2025学年高二上学期分班考试数学试卷（解析版）

2024年高二分班考试数学试卷考试时间：120分钟；共150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．故选：D2.若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值等于（）A.2 B.C.－2 D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的平移变换可得定点的坐标，再根据三角形函数的定义可得结果.【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点，因为点在角的终边上，所以.故选：A.【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了函数图象的平移变换，考查了三角函数的定义，属于基础题.3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，得.之后由与间关系可得答案.【详解】解不等式，得.因，则若，则.但若，则故“”是“”的必要不充分条件.故选:B4.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得.【详解】因为，，所以，得，所以向量在向量方向上的投影向量为.故选：C5.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.－1 B.－1或3 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】【分析】由空间中线面垂直、面面垂直、线面平行的的性质以及线线、线面、面面的位置关系即可得出.【详解】因为是两条不同的直线，是两个不同的平面，对于A，若，则由线面垂直的性质定理得，故A正确.对于B，若，则由面面垂直、线面垂直的性质得或，故B错误.对于C，若，则与相交、平行或，故C错误.对于D，若，则与相交或平行，故D错误.故选：A7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75【答案】B【解析】【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．故选：B．8.已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是A.(0,+∞) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，由函数有3个零点，，，可得,,，,可得答案.【详解】解：如图所示，函数有3个零点，，，可得=0，如图可得，可得，为函数：与y=a的交点横坐标，易得，,==，故的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查函数的性质及指数函数，注意数形结合思想的运用.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，则（）A.是奇函数B.的最小正周期是C.图象的一个对称中心是D.上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由三角恒等变换化简解析式，由定义判断A；由周期公式判断B；由性质判断CD.【详解】，对于A：，即是奇函数，故A正确；对于B：的最小正周期是，故B错误；对于C：令，当时，图象对称中心是，故C正确；对于D：，函数在上单调递增，所以上单调递减，故D错误；故选：AC10.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在1,2上单调递减，则（）A.f3=0C. D.在上单调递减【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可.【详解】令，因为是奇函数，所以，即的图象关于点对称．令，因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称．A选项，由，令，可得，由，令，可得，故A正确．B选项，由，令，可得，故B正确．C选项，由，令，可得，故C正确．D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减，由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误．故选:ABC．11.如图，棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱AD，，CD的中点，则下列说法正确的有（）A.直线与直线为异面直线B.直线与平面所成角的正弦值为C.二面角的平面角余弦值为D.过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为【答案】BCD【解析】【分析】证明，说明四点共面，即可得A；找到直线与平面所成角，解直角三角形可得其正弦值，即可得B；作出二面角的平面角，计算其余弦值，即可得C；作出过点B，E，F的平面截正方体的截面，求其面积即可得D.【详解】对于A，连接，则为矩形，则，而点E，G分别是棱AD，CD的中点，故，则四点共面，故直线，不是异面直线，故A错误；对于B，由于平面，故即为直线与平面所成角，而，则，故，故B正确；对于C，连接交于点O，连接，平面平面，故，又平面，故平面，即为二面角的平面角，又，故，故C正确；对于D，连接，则，则梯形即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，而，故等腰梯形的高为，故等腰梯形的面积为，即过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为，故D正确，故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163165161157162165158155164162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.【答案】【解析】【分析】计算，确定从小到大第个数即可.【详解】，第25百分位数是从小到大第个数为.故答案为：13.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________．【答案】【解析】【分析】由已知，可根据题意，设，然后根据体积为1，求解出，然后把鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，可根据长方体的外接球半径是其体对角线的一半求解出外接球半径，从而求解外接球表面积.【详解】由已知，因为平面，可令，所以，所以，所以，由已知，鳖臑的外接球可还原在以为长宽高的长方体中，设其外接球半径为，所以其外接球的半径，所以其外接球的表面积.故答案为：.14.函数（）的所有零点之和为________．【答案】36【解析】【分析】令，得到，在同一坐标系中作出的图象，由图象得到函数的零点有关于对称的6对求解.【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：函数的零点有关于对称的6对，所以函数（）的所有零点之和为，故答案：36四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知.（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）当时，求函数的最值.【答案】（1），（2）最大值，最小值为.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】，所以函数f(x)的最小正周期；令得，所以函数的对称中心为；【小问2详解】因为，所以，所以，则，所以当或时，即或时，，当，即时，.即函数的最大值为，最小值为.16.已知的内角所对的边分别为．（1）求；（2）为外心，的延长线交于点，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简求出余弦值，结合角的范围即可求出角；（2）先根据正弦定理求出外接圆半径，再应用余弦定理求边长，最后面积公式计算即可得.【小问1详解】，在中，由正弦定理得，又，则，即，，即，，，；【小问2详解】由（1）得，设的外接圆的半径为，在中，由正弦定理得，解得，则，在中，由余弦定理得，，，，在中，由正弦定理得，，即是等边三角形，的面积为.17.某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．【答案】（1）（2）102分（3）.【解析】【分析】（1）根据各组的频率和为1求解即可；（2）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解；（3）利用分层抽样的定义结合已知条件求出从的所抽取的人数，然后利用列举法求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图得第七组的频率为：；【小问2详解】用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；【小问3详解】由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为这组两人的编号为，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况．故，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．18.如图1，在中，，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.（1）求证：平面平面；（2）设E为的中点，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件求解出的长度，由此判断出的位置关系，再根据面面垂直的性质定理得到线面垂直并结合面面垂直的判定定理完成证明；（2）建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量夹角的余弦值计算出二面角的余弦值.【详解】（1）证明：在中，，∴，∵D为中点，∴，又∵，∴，∴，∴.∵二面角为直二面角，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面.又∵平面，∴平面平面.（2）以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点B且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可求得，，因为E为的中点，，所以，，∴，设平面的法向量为，平面的法向量为，则得，∴取，得，∴取，∴，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何的综合应用，其中涉及了面面垂直的证明、二面角的向量求法，难度一般.（1）面面垂直的证明思路：先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理完成证明；（2）利用向量法求解二面角的余弦值时，要注意结合图形判断二面角的平面角是钝角还是锐角.19.已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可.【详解】（Ⅰ）由