2024-2025学年新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差（教师用书）教案 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教案新人教A版选择性必修第三册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布的7.3.2节，具体内容是离散型随机变量的方差。本节课的主要内容包括：

1.离散型随机变量的方差的定义和计算公式。

2.离散型随机变量方差的性质和意义。

3.利用方差分析和解决实际问题。

在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、讨论等方式，理解方差的本质和计算方法，并能运用方差解决实际问题。同时，要注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。二、核心素养目标本节课的核心素养目标包括：

1.逻辑推理：通过讲解和练习，使学生理解离散型随机变量方差的定义和计算方法，能够运用逻辑推理能力推导出方差的计算公式。

2.数据分析：培养学生利用方差分析和解决实际问题的能力，能够从数据中提取有用的信息，运用数据分析的思维和方法，对数据的波动性和离散程度进行合理的描述和解释。

3.数学建模：通过实例分析和练习，使学生能够建立数学模型，运用方差解决实际问题，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

4.直观想象：通过图形和实际例子，帮助学生建立直观的方差概念，能够想象和理解方差在实际问题中的应用和意义。三、教学难点与重点1.教学重点：

（1）离散型随机变量方差的定义和计算公式。

举例：讲解离散型随机变量X的方差公式：D(X)=E[(X-E(X))^2]，引导学生理解方差的本质是衡量随机变量取值偏离均值的程度的平方的平均值。

（2）离散型随机变量方差的性质和意义。

举例：通过具体例子，讲解方差在描述数据波动性和离散程度方面的作用，引导学生理解方差的意义。

（3）利用方差分析和解决实际问题。

举例：给出一个实际问题，如某产品的质量数据，引导学生利用方差分析产品的质量稳定性。

2.教学难点：

（1）方差的计算公式的推导和理解。

难点分析：学生可能对公式的推导过程和其中涉及的数学概念难以理解，如期望的定义和性质。

教学方法：通过讲解、示例和练习，引导学生逐步理解公式的推导过程，加深对方差概念的理解。

（2）方差在实际问题中的应用。

难点分析：学生可能难以将方差的概念与实际问题相结合，不知道如何运用方差进行分析。

教学方法：通过给出具体的实际问题，引导学生运用方差进行分析和解决，提高学生的应用能力。

（3）方差的性质和意义的理解。

难点分析：学生可能对方差的性质和意义难以理解，如方差与数据波动性的关系。

教学方法：通过图形、实际例子和讲解，帮助学生建立直观的方差概念，引导学生深入理解方差的性质和意义。四、教学方法与手段教学方法：

1.引导法：通过提出问题、设置悬念等方式，引导学生主动思考和探索离散型随机变量方差的概念和性质。

2.案例分析法：通过给出具体的实际案例，让学生运用方差进行分析，培养学生的实际应用能力。

3.小组讨论法：组织学生进行小组讨论，分享彼此对方差的的理解和应用经验，促进学生之间的交流和学习。

教学手段：

1.多媒体演示：利用多媒体设备，通过动画、图表等形式展示方差的定义和计算过程，增强学生的直观感受和理解。

2.在线教学平台：利用在线教学平台，提供丰富的教学资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。

3.数学软件应用：利用数学软件，如MATLAB、Python等，进行方差的计算和分析，提高学生的实践操作能力。

4.互动式教学：通过教学互动平台，进行实时提问、解答疑问，及时了解学生的学习情况，并给予针对性的指导。

5.学习评价系统：利用学习评价系统，对学生的学习情况进行实时跟踪和评估，为学生提供个性化的学习建议和辅导。五、教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解离散型随机变量方差的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习方差的概念和性质做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确方差的定义、计算方法和性质等教学目标和方差的重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保方差教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习方差的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入方差学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的随机变量的期望值，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对期望值的掌握情况，为方差新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解方差的定义、计算方法和性质，结合实例帮助学生理解。

突出方差的重点，强调计算方法和性质的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕方差的应用展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验方差的应用，提高实践能力。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对方差的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决方差问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的方差计算错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与方差相关的拓展知识，如方差的推广概念和相关性质。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合方差的内容，引导学生思考方差在实际问题中的应用，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习方差的收获和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的方差内容，强调方差的重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的方差内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。六、学生学习效果1.知识与技能：

-学生能够准确地理解离散型随机变量方差的定义和计算方法。

-学生能够运用方差分析和解决实际问题，如产品质量分析、数据分析等。

-学生能够掌握方差的性质和意义，理解方差在描述数据波动性和离散程度方面的作用。

2.过程与方法：

-学生能够通过小组讨论、实践操作等方式，培养合作精神和沟通能力。

-学生能够在实际问题中运用方差进行分析，提高解决实际问题的能力。

-学生能够通过方差的计算和分析，培养数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：

-学生能够理解方差在实际生活中的应用，增强对数学学科的兴趣和认识。

-学生能够体验到数学与现实生活的联系，培养社会责任感。

-学生能够积极分享学习方差的收获和体会，增进师生之间的情感交流。七、反思改进措施（一）教学特色创新

1.实践环节设计：在方差的教学中，加入了实际案例分析和实践操作环节，让学生能够更好地理解方差的概念和应用。

2.小组讨论法：采用小组讨论法，让学生在讨论中思考、交流，提高了学生的参与度和积极性。

（二）存在主要问题

1.学生理解困难：部分学生对于方差的计算方法和性质的理解存在困难，导致在实际问题中的应用不够灵活。

2.教学方法单一：在教学过程中，过于依赖讲解法，缺乏学生主动参与和互动，导致学生的学习效果不佳。

（三）改进措施

1.多元化教学方法：采用多元化的教学方法，如案例分析、小组讨论、实践活动等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和参与度。

2.强化学生参与：在教学过程中，注意引导学生主动参与，鼓励学生提出问题、分享观点，增强学生的自主学习能力。

3.反馈与评价：加强对学生的反馈和评价，及时了解学生的学习情况，针对存在的问题进行针对性的讲解和辅导。

4.教学内容调整：根据学生的实际情况，适当调整教学内容，减缓教学进度，确保学生能够扎实掌握方差的概念和计算方法。

5.家校合作：加强与家长的沟通，让家长了解学生在校的学习情况，共同关注学生的学习进步，形成家校共育的良好氛围。八、板书设计①重点知识点：

-离散型随机变量方差的定义：D(X)=E[(X-E(X))^2]

-方差的性质：方差是衡量随机变量取值偏离均值的程度的平方的平均值。

-方差的应用：利用方差分析和解决实际问题，如产品质量分析、数据分析等。

②关键词：

-随机变量

-期望值

-方差

-离散型随机变量

③句式表达：

-离散型随机变量X的方差公式：D(X)=E[(X-E(X))^2]

-方差是衡量随机变量取值偏离均值的程度的平方的平均值。

-利用方差分析和解决实际问题，如产品质量分析、数据分析等。

④艺术性和趣味性：

-利用图形、图表等形式展示方差的定义和计算过程，增强学生的直观感受和理解。

-通过设置问题或悬念，激发学生的好奇心和求知欲，引导学生深入思考。

-结合实际案例，让学生了解方差在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。重点题型整理1.离散型随机变量方差的计算

【题型】已知随机变量X的可能取值为1,2,3，对应的概率分别为1/4,1/2,1/4，求X的方差。

【解答】首先计算期望值E(X)=1*1/4+2*1/2+3*1/4=3/2。然后根据方差的定义计算方差D(X)=E[(X-E(X))^2]=(1-3/2)^2*1/4+(2-3/2)^2*1/2+(3-3/2)^2*1/4=3/8。

2.方差的性质

【题型】已知随机变量X的期望值为2，方差为3，求随机变量Y=2X的方差。

【解答】根据方差的性质，方差具有线性性质，即如果随机变量Y=aX+b，那么D(Y)=a^2D(X)。所以Y的方差D(Y)=(2)^2*D(X)=4*3=12。

3.利用方差分析实际问题

【题型】某工厂生产的产品重量服从正态分布，平均重量为100g，标准差为5g。现在随机抽取一个产品，求其重量超过110g的概率。

【解答】首先计算超过110g的区间概率。由于正态分布是对称的，所以超过110g的概率等于小于90g的概率。使用标准正态分布表或计算器得到小于90g的概率为0.0228，因此超过110g的概率为1-0.0228=0.9772。

4.方差的计算和应用

【题型】某班级有50名学生，他们的数学成绩服从正态分布，平均分为80分，标准差为10分。求这个班级数学成绩的中位数。

【解答】首先计算中位数的位置，中位数是第25百分位数，即0.5*50=25。由于正态分布是对称的，中位数对应的分数等于平均分，即80分。

5.方差的推广

【题型】已知随机变量X的分布列为P(X=1)=1/6,P(X=2)=1/3,P(X=3)=1/2，求X的数学期望E(X)和方差D(X)。

【解答】首先计算期望值E(X)=1*1/6+2*1/3+3*1/2=2。然后根据方差的定义计算方差D(X)=E[(X-E(X))^2]=(1-2)^2/6+(2-2)^2/3+(3-2)^2/2=1/6。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的表现是评价教学效果的重要指标。通过观察学生在课堂上的参与度、提问和回答问题的积极性，可以了解他们对离散型随机变量方差概念的理解程度和掌握情况。

2.小组讨论成果展示：小组讨论是促进学生主动学习和思考的有效方式。通过学生小组讨论的成果展示，可以了解他们在理解方差概念和应用方面的掌握情况，以及他们的合作能力和沟通能力。

3.随堂测试：随堂测试是检查学生对方差概念和计算方法的掌握程度的重要手段。通过测试，可以了解学生对重点知识和难点的掌握情况，以及他