4.2.1等差数列的概念（第2课时等差数列的性质及应用）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用人教A版

数学选择性必修第二册1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.课程标准基础落实·必备知识一遍过关知识点1等差数列与一次函数的关系名称等差数列一次函数解析式an=dn+(a1-d)f(x)=kx+b(k≠0)不同点①定义域为N*.②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点①定义域为R.②图象是一条直线相同点①当d≠0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式.②等差数列中的a1,d,n,an四个量中知三求一和一次函数中求k,b的方法都是解方程(组)利用一次函数判断等差数列的方法若一个数列的通项公式的等号右边是关于n的一次式,则此数列一定是等差数列且n的系数为公差d思考辨析试分析等差数列的公差d对其单调性的影响.提示

当d>0时,等差数列中的项越来越大,数列为递增数列;当d<0时,等差数列中的项越来越小,数列为递减数列;当d=0时,等差数列为常数列.自主诊断1.[人教B版教材习题]根据下列等差数列的通项公式,求数列的首项与公差.(1)an=3n+5;(2)an=12-2n.解(1)a1=3×1+5=8,a2=3×2+5=11,公差d=a2-a1=11-8=3.(2)a1=12-2×1=10,a2=12-2×2=8,公差d=8-10=-2.2.[北师大版教材习题]已知等差数列的通项公式为an=-2n+7.(1)求首项a1和公差d;(2)画出数列{an}的图象;(3)判断数列{an}的单调性.解(1)a1=-2×1+7=5,a2=-2×2+7=3,d=a2-a1=3-5=-2.(2){an}的图象如图所示.(3)由(1)知d<0,数列{an}是递减数列.知识点2等差数列的常用性质性质1通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*)性质2若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an

当k+l=2m时,ak+al=2am性质3若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为

性质4若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为

的等差数列

此时项的序号构成等差数列性质5若数列{an}为等差数列,公差为d,则{λan+m}(λ,m为常数)是公差为

的等差数列

性质6若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列2dmdλd思考辨析如果数列{an}是公差为d的等差数列,那么数列2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1是等差数列吗?如果是,公差是多少?提示

因为(2an+1+1)-(2an+1)=2(an+1-an)=2d,所以数列2a1+1,2a2+1,2a3+1,…,2an+1是公差为2d的等差数列.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}中,必有a10=a1+a9.(

)(2)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列.(

)(3)若数列{an}是公差为d的等差数列,则an+1=an-1+2d,n>1,且n∈N*.(

)×√√2.[人教B版教材习题]已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d.(1)将数列的前m项去掉,其余各项依次构成的数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?(2)取出数列中的所有序号是奇数的各项,依次构成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?(3)取出数列中的所有序号是7的倍数的各项,依次构成一个新的数列,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别为多少?(4)数列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…是等差数列吗?如果是,求出首项与公差;如果不是,说明理由.解

(1)首项为am+1=a1+md,公差为d.(2)首项为a1,公差为2d.(3)首项为a7=a1+6d,公差为7d.(4)首项为a1+a2+a3=3a1+3d,公差为9d.重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列与一次函数【例1】

[北师大版教材例题]已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(1)求数列{an}的通项公式;(2)画出数列{an}的图象;(3)判断数列{an}的增减性.解

(1)因为(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点,所以a1=1,a3=5.由a3=a1+(3-1)d=1+2d=5,解得d=2,于是an=1+2(n-1)=2n-1.(2)数列{an}的图象是直线y=2x-1上一些等间隔的点,如图.(3)由(1)可知d>0,所以数列{an}是递增数列.规律方法

利用一次函数解等差数列问题的思路由等差数列与一次函数关系知等差数列的图象是直线上的点,若已知任意两点,可以由待定系数法求通项公式,且任意两点连线的斜率k==公差d.变式训练1(1)已知等差数列{an}是递增数列且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是(

)A.(-∞,3) B.(3,6)C.(3,+∞) D.(6,+∞)C解析

因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}是递增数列,所以d>0,所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3.故选C.(2)已知在等差数列{an}中,a2=11,a6=3,求数列{an}的通项公式.解

设an=kn+b,k,b∈R,则2k+b=11,6k+b=3,解得k=-2,b=15,所以an=-2n+15.探究点二等差数列性质的应用【例2】

(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)∵a15-a5=10d=15,∴a25=a5+20d=10+30=40.(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d1,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d1=17,解得d1=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.变式探究(变条件变结论)在例2(3)中,将“a7-b7=17”改为“a7+b7=17”,求“a19+b19”的值.解

令cn=an+bn,则c1=a1+b1=-1,c7=a7+b7=17.因为{an},{bn}均为等差数列,所以{cn}为等差数列.设{cn}的公差为d,则c7-c1=6d=18,∴d=3,∴a19+b19=c7+12d=17+36=53.规律方法

求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.变式训练2(1)在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a6+a7+a8=(

)A.36 B.48

C.60 D.72C解析

由题设,a3+a11=2a7=40,则a7=20,所以a6+a7+a8=3a7=60.故选C.(2)设等差数列{an}满足a1+a3+a5=9.①求a3;②若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,求数列{an}的通项公式.解①在等差数列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.②设等差数列{an}的公差为d,因为a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,所以3a2,3a5,3a8是公差为18的等差数列,所以a8-a5=3d=6,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.探究点三等差数列的综合问题【例3】

(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.解(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.(2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则

规律方法

等差数列设未知量的技巧如下:(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这种设法称为对称项设法,这样可减少计算量.变式训练3已知三个数成等差数列,且数列是递增数列,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.解(方法1)由题意设这三个数分别为a,b,c,a<b<c,则

故这三个数分别为4,6,8.(方法2)设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知可得

由①得a=6,代入②得d=±2.∵该数列是递增数列,∴d=-2舍去,∴d=2,∴这三个数分别为4,6,8.探究点四等差数列的实际应用【例4】

[苏教版教材习题]诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星,并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星,即彗星每隔83年出现一次.(1)从发现那次算起,彗星第8次出现是在哪一年?(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗?为什么?解

(1)依题意得,彗星出现的年份构成以1

740为首项,以83为公差的等差数列,∴an=a1+(n-1)d=1

740+83(n-1)=83n+1

657,∴a8=83×8+1

657=2

321,∴彗星第8次出现是在2

321年.(2)由(1)可知,an=83n+1

657,令83n+1

657=2

500,解得n=不是正整数,∴这颗彗星不会在2500年出现.规律方法

解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是不是等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.变式训练4某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究,并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表,表中旗杆影长为m是在下列哪个节气日中同一固定时刻测得的(注:据《周髀算经》记载这十二节气日中同一固定时刻的影长依次构成等差数列)(

)A.谷雨

B.立夏

C.小满

D.芒种B本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列中任意两项或多项之间的关系.(2)等差数列项的设解技巧.(3)等差数列的实际应用.2.方法归纳:公式法、转化法、数学建模.3.常见误区:实际问题中的还原问题.重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标12341.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(

)A.20 B.18

C.15 D.17B解析

在等差数列{an}中,因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.12342.[北师大版教材习题]设数列{an},{b