第08讲函数的奇偶性及其应用教师版

第08讲函数奇偶性【必备知识】1函数奇偶性（1）为偶函数（关于轴对称）（2）为奇函数（关于原点中心对称）2奇偶函数的运算性质（1）奇函数；（2）3奇偶函数的判断方法（1）看：看函数定义域是否关于原点对称（2）求：求；（3）比较：比较与的等量关系；（4）结论：根据比较的结果下结论4扩展：函数的对称性（1）关于轴对称（2）关于中心对称【题型精讲】【题型一函数奇偶性的定义与判断】【题1】下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇函数的定义即可判断.【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确；的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误；的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误.故选：A.【题2】设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判断函数的对称性，再结合图象平移以及奇函数的性质，即可判断选项.【详解】，函数关于对称，函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到为奇函数.故选：D【题3】下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故B不符题意；对于C，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，又因为函数在区间上都单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.故选：D.【题4】下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇常见函数的性质判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，在和上单调递减，但不是在定义域上单调递减，错误；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不合题意，错误；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，但是在上单调递增，不合题意，错误；对于D，当时，，则，当时，，则，又，定义域为关于原点对称，所以为奇函数，当时，函数单调递减，当时，函数单调递减，由于函数在上连续不断，所以函数在上为减函数，正确.故选：D.【题5】设函数的定义域为为奇函数是为偶函数的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义和充要条件的定义，分析可得结论．【详解】若函数为奇函数，则，则，即函数为偶函数；若函数)为偶函数，则，则，即函数为奇函数，故为奇函数是为偶函数的充分必要条件，故选：A．【题6】对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数在区间上单调递增C．函数图像关于轴对称D．函数最大值为2【答案】C【分析】根据给出的定义先得出函数的解析式，再作出其函数图像，根据函数图像对选项进行逐一判断即可.【详解】由题意，所以，即，作出函数的图像如下:

由图像可知为偶函数，故选项A错误.在区间上单调递增，由.可得在区间上不单调递增，故选项B错误.由图像可知：函数图像关于轴对称，故选项C正确.由图像可知：当时，函数最大值为1，故选项D错误.故选：C【题7】(多选)关于函数，下列说法正确的是（）A．定义域为 B．是偶函数C．在上递减 D．图象关于原点对称【答案】CD【分析】根据解析式有意义求定义域可判断A；根据奇偶性的定义和性质可判断BD；根据单调性的性质可判断C．【详解】对于A，函数，有，即函数的定义域为，A错误；对于B，的其定义域为，有，所以为奇函数，B错误；对于C，函数和在上递减，所以函数在上递减，C正确；对于D，由B的结论，为奇函数，其图象关于原点对称，D正确.故选：CD．【题8】(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（

）A．的值域为 B．的定义域为C．， D．为偶函数【答案】BCD【分析】根据函数解析式结合函数的定义域、值域和奇偶性逐一判断即可．【详解】因为函数，所以函数的定义域为，值域为，故A错误，B正确；因为或且0与1均为有理数，所以或，故C正确；函数，故为偶函数，D正确．故选：BCD【题9】符号表示不超过的最大整数，如，，关于函数有下列结论：①；②函数的定义域为，值域为③，；④函数是增函数也是奇函数.其中正确结论的序号是.【答案】①③【分析】根据函数解析式及的定义求判断①，根据的定义求函数定义域、值域判断②，根据的定义知，据此可判断③，取特殊值判断④.【详解】，①正确；，，即定义域为，由符号表示不超过的最大整数，可知，即值域为，②错误；，③正确；取，则，故不是增函数，取，则，，即，所以函数不是奇函数，④错误.故答案为：①③【题10】已知函数的图象过点.(1)求实数m的值，并判断的奇偶性；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论.【答案】(1)m＝1，奇函数；(2)在上单调递增，证明见解析【分析】（1）根据题意，由函数图象过点，可得关于m的解析式，求出m的值，判断函数的奇偶性可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【详解】（1）根据题意，函数的图象过点，则有，解可得，则，其定义域为，则有，函数为奇函数.（2）在上单调递增，证明：，设，则又由，则，即；所以在上单调递增．【题型二根据函数奇偶性求解析式】【题1】已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【分析】利用奇函数的性质求时的函数解析式即可.【详解】设，则，又.故选：A【题2】已知为偶函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知，利用函数的奇偶性求解.【详解】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B.【题3】设是定义在上偶函数，则在区间上是（

）A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴，则，由，即，解得，∴，函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B．【题4】已知函数的定义域为，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定义列出和的方程组求解即可．【详解】函数的定义域为，设函数，，则，，即，解得，所以，故选：B【题5】(多选)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．B．当时，C．是图像的一条对称轴D．在上单调递增【答案】BD【分析】根据给定区间上的函数解析式，结合奇函数的性质，逐项分析判断作答.【详解】当时，，而函数是上的奇函数，则，A错误；当时，，B正确；因为，不是图像的对称轴，C错误；因为当时，，因此函数在上单调递增，D正确.故选：BD【题6】(多选)已知函数为奇函数，且当时，，则下面说法正确的是（

）A．B．的解析式为C．在上有最小值D．的单调递减区间为【答案】AC【分析】A选项，利用奇函数性质可判断选项正误；B选项，注意到不一定为0；C选项，利用在时的最大值可判断选项正误；D选项，由函数单调区间书写规则可判断选项正误.【详解】A选项，因为奇函数，则，A正确；B选项，因本题并无强调是上奇函数，所以时可能没有定义，B错；C选项，当时，，又为奇函数，则时，有最小值，故C正确；D选项，函数出现两个或两个以上相同性质的单调区间时，中间用逗号或汉字和连接，不能用并集符号.故D错误.故选：AC．【题7】已知函数为奇函数，且当时，则当时，．【答案】【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数为奇函数，所以当时，，故答案为：【题8】已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)画出函数的图象；(2)求函数的解析式（写出求解过程）．(3)求，的值域．【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)【分析】（1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论；（2）根据奇函数的定义求解析式；（3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域．【详解】（1）先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象：（2）是奇函数，时，，，所以，所以；（3）由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数，，，，，因此最大值为1，最小值为，所以的值域为．【题型三函数奇偶性的应用】【题1】若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（

）A． B．3 C．或3 D．不能确定【答案】B【分析】利用奇函数定义域关于原点对称可得或，经检验符合题意.【详解】函数在其定义域上是奇函数，由于奇函数定义域关于原点对称，所以，即，解得或，由区间定义可知，当时，，不合题意；当时，，符合题意；可得.故选：B．【题2】若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和单调性，比较函数值的大小即可.【详解】∵，且在区间上是增函数，∴．故选：B.【题3】设偶函数在区间上单调递增，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可.【详解】因为为偶函数，所以，又在区间上单调递增，，所以，则.故选：B【题4】若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】确定函数的单调性，考虑和两种情况，将问题转化为或，再根据函数值结合函数单调性得到答案.【详解】函数是定义在实数集上的偶函数，在区间上是严格减函数，故函数在上单调递增，且，当时，由，即，得到或（舍弃），所以，当时，由，即，得到，所以，综上所述，或，故选：B.【题5】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为为偶函数，所以，所以，且，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，当时，则，故，当时，则，故，综上：的解集为.故选：B【题6】若定义在R上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的单调性以及奇偶性先得出的符号随的变化情况，然后列表即可求解.【详解】因为是定义在R上的奇函数，又，所以，注意到在上是增函数，所以当时，有，当时，有，又是定义在R上的奇函数，所以当时，有，，当时，有，，所以的符号随的变化情况如下表：由上表可知：不等式的解集为故选：C.【题7】设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案.【详解】根据题意，设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增；当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减；所以函数在上单调递减，若，即，又由，且，必有时，，解得：，所以不等式的解集为.故选：.【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.【题8】已知与分别是定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分别令取1和1，利用奇偶性得到和的方程组，解方程即可.【详解】分别令取1和1得，因为与分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，解的.故选：C.【题9】(多选)已知函数在R上单调递减，且为奇函数，若，则满足的x值可能为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】利用奇函数的性质及其单调性可得求自变量范围，即可得答案.【详解】由题设，且，又在R上单调递减，所以，即，符合要求的x值为C、D.故选：CD【题10】(多选)已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③．则下列选项成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．，，使得【答案】BD【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由，得：函数是上的偶函数，由，，得：在上单调递增，对于A，根据函数在上单调递增，可得，故A错误；对于B，根据函数是上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，则，又函数的图象是连续不断的，则有，解得，故B正确；对于C，由，则或，又，解得或，即，故C错误；对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，因此，，，取实数，使得，则，，故D正确.故选：BD.【题11】函数是奇函数，则.【答案】/【分析】根据函数为奇函数有求出，再加以验证是否为奇函数即可.【详解】函数为奇函数，，，解得，此时，，所以为奇函数，故.故答案为:.【题12】(1)若函数是偶函数，定义域为，则，；(2)已知，若，则.【答案】07【分析】（1）根据偶函数定义域关于原点对称可解得，再利用偶函数定义可得；（2）易知为奇函数，利用奇函数性质即可计算得出.【详解】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得，又函数为二次函数，结合偶函数定义由，易得；(2)令，则是奇函数，又，可得，所以.又，可得.故答案为：，0，7【题13】若函数是偶函数，则.【答案】1【分析】根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，根据偶函数的即可求出.【详解】因为函数为偶函数且，所以，又数是偶函数，，所以，所以，所以对任意成立，所以，所以，故答案为：1.【题14】已知函数，则不等式的解集是．【答案】/【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性与单调性得，解不等式即可得解集.【详解】因为，所以是偶函数，当时，，易知函数在为增函数，又，为偶函数，不等式等价于，又在为增函数，得，即，解得.即的解集为.故答案为：【题15】已知函数，且，则．【答案】【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得.【详解】由，得，构建函数，定义域为，则，即是奇函数，于是，所以，可得，又，因此．故答案为：【题16】设函数的最大值为M，最小值为m，则．【答案】2【分析】变换，设，确定函数为奇函数，再根据函数奇偶性的性质计算得到答案.【详解】，设，则，函数为奇函数，，，.故答案为：2.【题17】已知函数是定义在上的函数，恒成立，且(1)确定函数的解析式并判断在上的单调性（不必证明）;(2)解不等式.【答案】(1)，在上单调递增；(2)【分析】（1）根据奇函数的性质，以及代入条件，即可求解，并判断函数的单调性；（3）根据函数是奇函数，以及函数的单调性，即可求解不等式.【详解】（1）由题意可得，解得所以，经检验满足，设，，因为，所以，，，所以，即，所以函数在区间单调递增；（2），，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为.【题18】已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值.(2)判断的单调性（不必证明）.(3)若存在，使成立，求的取值范围.【答案】(1)，；(2)函数在上是减函数；(3)【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断（或者由定义也可以判断）.（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以，.（2）由（1）知：函数，函数在上是减函数.（3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以.【题型四★函数对称性及抽象函数的奇偶性】【题1】已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据定义域为的奇函数并结合赋值法得出结果.【详解】因为是上的奇函数，所以，又函数，令，即，所以，所以函数的图象恒过点.故选：D.【题2】已知定义在R上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递增，由，得，即，平方并化简，得，解得，即x的取值范围为.故选：C【题3】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，确定出函数解析式，再借助函数的性质即可计算作答.【详解】由是奇函数，得，即，由是偶函数，得，令，得：，，而，于是，解得，令，得，即，则，解得，因此，又，于是，所以.故选：C【题4】函数，对任意的实数x，y，只要，就有成立，则函数（）（）A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】C【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得（），再利用奇偶性定义判断作答.【详解】对任意的实数x，y，，有成立，令，则有，又，因此，显然，得，，又，于是，当且时，，整理得，于是，因此，，有且，所以函数（）既是奇函数又是偶函数．故选：C【题5】已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（

）①；②；③；④在上为减函数．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】由函数的奇偶性的定义即可判定的关系，奇偶性与部分单调性的综合运用，可以推断整个函数的单调性，继而可以比较函数值的大小.【详解】因为偶函数的定义域为，所以，即，则①正确，②错误；因为偶函数的定义域为，且在上为增函数，所以在上为减函数，继而，则③错误，④正确.故选：B.【题6】已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为上减函数；④为奇函数；其中正确结论的序号是（）A．①②④ B．①④ C．①② D．①②③④【答案】A【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；【详解】因为，则有：令，可得，即，解得，故①正确；令，，可得，即，解得，再令，可得，即，故②正确；令，可得，即因为，则，可得，所以，令，不妨设，可得，即，因为，则，则，可得，即，所以为上增函数，故③错误；令，可得，即，整理得，所以为奇函数，故④正确；故选：A．【题7】(多选)已知是定义域为R的函数，为奇函数，为偶函数，则下列说法一定正确的是（

）A．为奇函数 B．为关于对称C．关于点对称 D．【答案】ABD【分析】根据奇偶性与对称性的定义判断.【详解】是奇函数，即的图象向右平移2个单位后关于原点对称，则的图象关于点对称，，故D正确；是偶函数，设，由得，所以的图象关于直线对称，即，故C错误；所以，所以是奇函数，故A正确；由及是奇函数得，即，因此的图象关于直线对称，故B正确.故选：ABD．【题8】(多选)定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）.A．B．为偶函数C．在区间上有最大值D．的解集为【答案】AD【分析】赋值，令，可判断A；令