人教版高中数学必修1知识点12函数及其表示教师教学教案

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

整体设计

教学分析

函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学，函数的学习大致可分为三个阶段.第

一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一

次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后

续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数（I）和基本初等函数（H）是学习函数的第二阶

段，这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函

数学习的进一步深化和提高.

在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关

系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围.因此，课本采用了从

实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.

三维目标

1,会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=«r）的含义；通过学习函数的

概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能

力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世.界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问

题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

2.掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概

念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性.

重点难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.

教学难点：符号"y=«x）”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地

理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

l,xeQ,

问题：已知函数、请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？

0,无

先让学生回答后，教师指出；这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课

题.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）给出下列三种对应：（幻灯片）

①一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地面

的高度力（单位：m）随时间”单位：s）变化的规律是/jugOf-S/2.

时间，的变化范围是数集4={r|0W/W26},。的变化范围是数集B=（川0W/?W845}.则

有对应/：/-*/?=130/—5?>B.

②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空河问题.图I中的曲线

显示了南极上空臭氧层空洞的面积S（单位：10&kn?）随时间r（单位：年）从1979〜2001年的

变化情况.

S/106km2

0197919811983)98519871989199119931995199719992001〃年

图1

根据图1中的曲线，可知时间，的变化范围是数集4={z|1979WW2001},臭氧层空洞

面积S的变化范围是数集8={S|0WSW26},则有对应：

ftLS,SGB.

③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质

量越高.下表中的恩格尔系数y随时间”年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城

镇居民的生活质量发生了显著变化.

“八五”计划以来我国，城镇居民恩格尔系数变化情况

时间

19911992199319941995199619971998.199920002001

(。

恩格

尔

53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9

系数

(y)

根据上表，可知时间，的变化范围是数集4={，|1991W，W2001},恩格尔系数y的变化

范围是数集B={y|37.9WyW53.8),则有对应:/：Ly,y^B.

以上三个对应有什么共同特点？

(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.

(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？

(4)函数有意义又指什么？

(5)函数/：AfB的值域为C,那么集合3=C吗？

活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应

的本质共性.

解：(1)共同特点是：集合A，8都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x,在对应

关系/：A—8下，在数集3中都有唯一确定的元素y与之对应.

(2)一般地，设4,9都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合4

中的任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数代r)和它对应，那么就称f：为从集

合A到集合B的一个函数，记作y=/(x),其中x叫做自变量，4的取值范围A叫做

函数的定义域，函数值的集合伏切x£A}叫做函数的值域.

在研究函数时常会用到区间的概念，设小6是两个实数，且aV4如下表所示:

定义名称符号数轴表示

{x\a^x^b}闭区间-4：------^―►

[。，b]nn

{也《切开区间3，b)-i--------i—►

nn

{也《切半开半闭区间—4--------j

b)nn

{MaVxWb}半开半闭区间，—C------^―►

3b]ah

—1------------->

{巾2a}[a,+0°)

q

{小＞。}(a,+0°)-J------------►

a

(-8,]-------------1—►

{MxWa}aa

(—8,a)-----------------A~►

｛小<。｝a

R(—8,H-OO)

(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.

(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为Or；被开方数为非负数；如果函数有实

际意义时，那么还要满足实际取值等等.

(5)CGB.

应用示例

例题.题已知函数K0=«三+士，

(1)求函数的定义域；

(2)求人一3)，的值；

(3)当。>0时，求加)，加一1)的值.

活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变

量的取值范围，故转化为求使和士有意义的自变量的,取值范围.旧3有意义，则x

+320,士有意义，则x+2W0,转化为解由x+320和x+2W0组成的不等式组・

(2)让学生回想人一3),6)表示什么含义？人一3)表示自变量1=-3时对应的函数值，

,(I)表示自变量工=1时对应的函数值.分别将一3,；代入函数的对应法则中得八一3),J像的

值.

(3次。)表示自变量工=。时对应的函数值/a—1)表示自变量x=a-1时对应的函数值.分

别将a,“一I代入函数的对应法则中得y(a),1)的值.

依+320,

解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足「一八解得一3WxV—2或x>

x十2W0,

-2,即函数的定义域是[-3,-2)U(-2,+8).

(2.―3)=+3+3+_3+2=_1；向=｛5+3+2

，十2

(3)*.*«>0,/.<?€[—3,—2)J(—2,+8),即/(a),/(a—1)有意义.

则|1+3+々_；+2=^^++，

点评；本题主要考查函数的定义域以及对符号共刈的理解.求使函数有意义的自变量的

取值范围，通常转化为解不等式组.

46是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，

分开符号«r)没有什么意义.符号/可以看作是对施加的某种法则或运算.例如人外=

»—x+5,当x=2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2,再加上5:

若x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个

函数)来代替.如：y(2x+l)=(2v+l)2-(Zv+l)+5,/Ig(x)]=[g(x)F—g(x)+5等等.

符号y=/U)表示变量y是变量X的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于/与K的

乘积.符号火x)与火阳)既有区别又有联系：当小是变量时，函数火x)与画数/(〃?)是同一个函

数；当机是常数时，./(⑼表示自变量x=m对应的函数值，是一个常量.

已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范

围，即

(1)如果犬幻是整式，那么函数的定义域是实数集R.

(2)如果共功是分.式，那么函敷的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

(3)如果1工)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集

合.

(4)如果/U)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义

的实数集合(即求各部分定义域的交集).

(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.

变式训练

1.函数y=今誉一行彳的定义域为•

答案：{小W1,且-1}.

点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y=x+l—，=，得函数的定义域为

{x|xWl}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函

数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前，不要化

简解析式.

2.若1A的定义域为“，g(x)=kl的定义域为N,令全集U=R,则MAN

等于()

A.MB.N

C.D.luN

解析：由题意得M=UU>0：,，N=R,则MnN={iU>O}=M.

答案：A

3.已知函数次x)的定义域是则函数次次-1)的定义域是.

解析:要使函数人〃-1)有意义，自变量x的取值需满足-1W2X-1W1,・・・0WXW1.

答案:__________________________________________________________

知能训练

产(1)+.人2)1/(2)+*4)片3)+,*6)

1.已知函数人的满足：加+q)=/(pl/(q)，贝1)=3,则川)十«3)十心)

,/(4)+y(8)/(5)+/(10)_

十Z)+火9)—------------

解析：:加+4)=加次7)，・7/(x+x)=/(切W,即/。)=照)

令g=i,得加+1)=加1/U),

；)=川)=3.

♦"f+ip)八

・)f2A2)I2/(4)I2*6)：2A8)：2/(10).1u.।as

.・原式一川)+©+胆)+人7)+/9)—2G+3+3+3+3)—30.

答案：30

2.若危)=:的定义域为4,g(x)=J(x+l)-Ax)的定义域为8,那么()

A.AUB=BB.4为C.AQBD.4n8=0

解析：由题意得4={x|x#0),8={小#0,且x#-l}.则AUB=A,则A错；AOB

=B,则D错；由于则C错，B正确.

答案：B

拓展提升

问题：已知函数«¥)=1+1,x£R.

(1)分别计算人1)一4一1),12)一人一2),五3)一«—3)的值；

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.

活动：让学生探求兀r)一/(一功的值.分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解

析式证明.

解：(wi)-y(-i)=(i2+i)-[(-i)2+i]=2-2=o；

y(2)-A-2)=(22+l)-[(-2)2+l]=5-5=0；

7(3)-/(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0.

(2)由(1)可发现结论：对任意x£R,有人r)=;(—x).证明如下：

由题意得/(—X)=(—X)2+1=F+1=J{X).

・•・对任意x£R，总有—X).

课堂小结

木节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号大外的理解.

作业

课本习题1.2A组1,5.

设计感想

本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技

术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数

定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点

内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高

考的需要.

第2课时

复习

1.函数的概念.

2.函数的定义域的求法.

导入新课

思路1.当实数a,b的符号相同，绝对值相等时，实数当集合A,8中元素完

全相同时，集合那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等.

思路2.我们学习了函数的概念，y=x与是同一个函数吗？这就是本节课学习的

内容，引出课题：函数相等.

推进新课

新知探究

提出问题

①指出函数y=x+l的构成要素有几部分？

②一个函数的构成要素有几部分？

③分别写出函数y=x+l和函数y=f+l的定义域和对应关系，并比较异同.

④函数y=x+l和函数y=rH的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系

分别相同，值域相同吗？

⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？

讨论结果：①函数y=x+l的构成要素为：定义域R，对应关系x-x+l,值域是R.

②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素.其中定义

域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函

数才相同.

③定义域和对应关系分别相同.

④值域相同.

⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等.因此只要两

个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.

应用示例

例题题下列函数中哪个与函数。5=元相等？

(l)y=(Vv)2；(2)y=ypi(3))'=迎；(4)y=[.

活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数

关系式为最简形式.只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等.

解：函数y=x的定义域是R对应关系是工一乂

(I)：函数y=(5)2的定义域是[0,+8),

・•・函数y=(5P与函数y=x的定义域不相同，

，函数y=(存产与函数y=x不相等.

(2)：函数y=冲的定义域是R,

・•・函数与函数y=x的定义域相同.

又•・•)，=依=乂

・•・函数y=相5与函数y=x的对应关系也相同.

・•・函数y=与函数y=x相等.

(3)V函数y=47的定义域是R,

:.函数y=4？与函数产x的定义域相同.

又

:.函数y=q?与函数y=x的对应关系不相同.

・•・函数y=4?与函数y=x不相等.

(4);•函数的定义域是(-8,0)0(0,+°°),

・•.函数与函数),="的定义域不相同，

；・函数y—*与函数y-x不相等.

点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.对

于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若

定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否

则7是同一个函数.

变式训练

判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由.

®y=x-1>x£R与y=x—1,x£N；

②产5y=1L27x+2；

③尸1+：与u=1+%

④y=/与y=N?；

[2x,x>0,

⑤y=2|x|与y=<

-2x,x<0.

是同一个函数的是.(把是同一个函数的序号填上即可)

解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即司.

①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同，故不是同一

个函数；

②前者的定义域是{Mx22,或％W-2},后者的定义域是{Mx22},它们的定义域

不同，故不是同一个函数；

③定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必

相同，故是同一个函数；

④定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；

2x,x>0,

⑤函数丁=2团=〈则定义域和对应法则均相同，那么值域必相同，故

-2x,x<0,

是同一个函数.

故填③⑤.

答案：③©

知能训练

1.下列给出的四个图形中，是函数图象的是()

①②③④

图2

A.①B.①③④

C.①②③D.③④

答案：B

2.函数)，=兀0的定义域是R,值域是[1,2],则函数)，=式级-1)的值域是

答案：[1,2]

3.下列总组函数是同一个函数的有.

①/U)=，P,g(x)=xyjx；g(x)=%;

g(u)=—^刨x)=—*+2%,g(〃)=—i+2”.

答案：②®④

拓展提升

问题：函数y=7U)的图象与直线x=m有几个交点？

探究：设函数定义域是D,

当机时，根据函数的定义知贝加).唯一，

则函数y=/(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(/n,

即此时函数y=O)的图象与直线x=m仅有一个交点；，

当〃?右。时，根据函数的定义知见")不存在，

则函数)，=兀0的图象上横坐标为，〃的点不存在，

即此时函数y=贝»的图象与直线x=rn没有交点.

综上所得，函数y=4r)的图象与直线有交点时仅有一个，或没有交点.

课堂小结

⑴复习了函数的概念，总结了函数的三要素；

(2)判断两个函数是否是同一个函数.

作业

I.设M={x|-2WxW2},N={y|0WyW2),给出下列4个图形，其中能表示以集合M

答案：B

2.4公司生产某种产品的成本为1000元，以1100元的价格批发出去，随生产产品数

量的增加，公司收入,它们之间是关系.

解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数量看成是自变量，公司

收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对

应，从而判断两者是函数关系.

答案：增加函数

3.函数与5=产是同一函数吗？

答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此与S

=户表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的.

设计感想

本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行

了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否

则事倍功半.

备课资料

【备选例题】

【例1】已知函数及（）=土，则函数力/m）］的定义域是.

解析：・・7W=*p・7片一1.・7/1/3］=彳出）=­

1+,

IX"!"2

・・・1+不W0,即不工0.・・以学一2.・・・/［/伏）］的定义域为｛水二-2,且xW-l｝.

答案：｛x|xK—2,且工X—1］

【例2】已知函.数42x+3）的定义域是［-4,5）,求函数人法—3）的定义域.

解：由函数</（2x+3）的定义域得函数式x）的定义域，从而求得函数人21—3）的定义域.设

2x+3=n当X£［—4,5）时，有，三［一5,13）,则函数用）的定义域是［-5,13）,解不等式一

-3<13,得一14V8,即函数3>—3）的定义域是［-1,8）.

［知识拓展］

函数的传统定义和近代定义的比较

函数的传统定义（初中学过的函数定义）与它的近代定义（用集合定义函数）在实质上是一

致的.两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，

只不过叙述的出发点不同.传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x

的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中

的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来.

至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理

公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先

要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制.后来，人们认识到了定义域

和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgnx=

1»x>0,

,0，4=0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无

「1,x<0>

法解释，于是就有了函数的近代定义.由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这

一定义.

1.2.2函数的表示法

整体设计

教学分析

课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法.函

数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境

下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体

会数形结合这种重要的数学思想方法.因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用.在

研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.课本将映射作为函数的一种推广，

这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，

让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般.的思维过程.

三维目标

i.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、解析法），会根据不同实际情境选择

合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想.

2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题

的能力，增加学习数学的兴趣.

3.会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力.

4.了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，

感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一

步认识.

重点难

教望重函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念.

教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路I.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的,表示方法.例如，

简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快攀！英文为：H叩pyBirthday!法文是

BonAnniversaire!德文是AllesGuteZumGeburtstag!印度尼西亚文是SelamatUlang

Tahun!……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引Hl课题：函数的表示法.

思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个

函数是否相同的判定，方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这

个问题（板书课题）.

推进新课

新知探究

提出问题

初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？

讨论，结果：（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫

做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式.

（2）图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值），为纵坐标，在平面直角坐标

系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法

叫做图象法.

（3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值,

这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的.方法叫做列表法.

应用示例

例1某种笔记本的单价是5元，买x（xW（123,4,5｝）个笔记本需要y元.试用函数的三

种表示法表示函数），=危）.

活动：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问，此处“y=«r)”有三种含义，

它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表.本题的定义减是有限集，且仅有5

个元素.

解：这个函数的定义域是数集(12345},

用解析法可将函数y=/(x)表示为y=5x,[1,2,3,4,5).

用列表法可将函数y=7U)表示为______________________________

笔记本数X12345

钱数.V510152025

用图象法可将函数,，=兀1)表示为图1.

八

25■•

20••

15■•

10■•

5■•

0」^345~x

图1

点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是：简明、全面地概•括了变量间

的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函

数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时

相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生

活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接

看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率

表、列车时刻表等等.并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发

生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表

示.例如：张丹的年龄〃(〃£N")每取一个值，那么他的身高)，(单位：cm)总有唯一确定的值

与之对应，因此身高y是年龄〃的函数但是这个函数的解析式不存在，函数)，=.«〃)

不能用解析法来表示.

注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；

②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函

数的定义域；

③图象法：根据实际情境来决定是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

变式训练

)

A.abc>0B.a+b+cVO

C.b+c>0D.2c<3b

解析：由图象研究二次函数》=加+云+，的性质，易知。<0,b>0,c>0.当

=1时，)，=a+〃+c>0;当犬=一1时，a~b+c<0,故A,B,C都错.

答案：D

2.已知〃W+/(—x)=3x+2,贝ij«r)=.

2/(X)+/(-X)=3X+2,

解析：由题意得《

2/(—x)+f(x)=-3x+2,

把和九一x)有成木知数，解方程即得.

2

答案：3x+g

例2下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分

表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

班平均分88.278385.480.375.782.6

请你对这三位同学在高•学年度的数学学习情况做•个分析.

活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表

格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由

于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示.做学情分析，具体要分析学

习成绩是否稳定，成绩变化趋势.

解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数)，=段)，如图3所示.

4

100

\一.，，王伟

90a、,•^"一z

\b/:、3

80平均方y，1彳/必张城

70-✓

赵春、•/

60

50-

40-

30-

20■

10-

~~0-1~23""45""6x

图3

由图3可看到：

王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；

张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分.水平上下波动，而且波动幅度较大；

赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高.

点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解

决实际问题的能力.通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋

势.

注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变

化特点.

变式训练

1.函数—4x+6,xW[1,5)的值域是.

答案：(2,11)

2.将长右。的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和

值域，作出函数的图象.

分析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x的函数，用

数学的方法解决，然后再回到实陆中去.

解：设矩形一边长为x,则另一边长为上。一2x),则面积y=/—2x)x=T+&x.又

〃2；>0得OVxV1即定义域为(0,9•由于产一^一5+十W和，如图4

所示，结合函数的图象得值域为(0,七病.

3.向高为〃的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图

5所示，那么水瓶的形状是(

ABCD

图6

解析：要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系,突出了对思维能力的考查.

观察图象，根据图象的特点发现：取水深仁祭注水量号,

即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半.

A中V<^,C、D中V=W，故排除A,C,D.

答案：B

知能训练

课本本节练习2,3.

【补充练习】

1.等腰二角形的周长是20・底边长y是一腰长，的函数.贝lj()

A.)，=10-x(0VxW10)

B.j=10-x(0<x<10)

C.y=20-2x(5WxW10)

D.y=20-2x(5<x<10)

解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式.

•・・2x+)，=20,・力=20一次则20-Zr>0....xV10.由构成三角形的条件(两边之和大于第

三边)可知2A>20-2x,得x>5,，函数的定义域为{M5<rV10}.

/.y=20-2x.(5<x<10).

答案：D

2.定义在R上的函数y=/(x)的值域为[小旬，则y=/(x+l)的值域为()

A.[a,h]B.[。+1,b+1]

C.[a-\,b-\]D.无法确定

解析：将函数y=/(x)的图象向左平移一个单位得函数y=/U+l)的图象，由于定义域均

是R,则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y=7U+l)的值域也是[a,b].

答案：A

3.函数段)一]；«。匕1<)的值域是()

A.(0,1)B.(0,1]

C.[0,1)D.[0,1]

解析：(观察法)定义域是R,由于则1+«21,从而OV*}W1.

答案：B

拓展提升

问题：变换法画函数的图象都有哪些？

解答：变换法画函数的图象有三类：

1.平移变换：

(1)将函数y=/)的图象向左平移。(。>0)个单位得函数y=/(x+m的图象；

(2)将函数y=/(x)的图象向右平移〃(4>0)个单位得函数)，=以一0的图象；

(3)将函数y=4r)的图象向上平移仪b>0)个单位得函数)，=凡0+力的图象；

(4)将函数y=«i)的图象向下平移8S>0)个单位得函数)，=/(x)—力的图象.

简记为“左加(+)右减(一)，上加(+)下减(一)”.

2.对称变换：

(1)函数y=/(x)与函数y=A一功的图象关于直线、=0即)，轴对称；

(2)函数丫=/)与函数)，=一%)的图象关于直线y=0即x轴对称；

(3)函数y=兀0与函数y=——x)的图象关于原责对称.

3.翻折变换：

(1)函数y=l/(x)|的图象可以将函数y=<x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上

方，去掉原x轴下方部分，并保留y=/U)的x轴上方部分即可得到.

(2)函数)，=贝国)的图象可以将函数y=/U)的图象位于y轴右边部分翻折到)，轴左边替代

原y轴左边部分并保留y=/(x)在y轴右边部分图象即可得到.

函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况

及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的

基础.另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函

数的不同表现形式.函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，

当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点.借助函数的图象来解决函数问题，函数的

图象问题是高考的热点之一，应引起重视.

课堂小结

本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表

示函数.

作业

课木习题L2A组7,8,9.

设计感想

本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成.本节的设计重点是函数的三种表

示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行

了总结以满足高考的要求.

第2课时

导入新课

思路1.当公>1时，/)=工一1：当xWl时，兀0=—x,请写出函数的解析式.这

个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题.

思路2.化简函数y=|x|的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①函数〃(%)={与兀o=x-i,ga)=/在解析式上有什么区别？

l-x十1,彳与一1

②请举出几个分段函数的例子.

活动：学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同

部分，有不同对应法则的函数.

讨论结果：①函数力(X)是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同.说明：分段

函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值

域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个

人所得税纳税额等等.

[0>A>0,

②例如：y=\l八等.

[1,x<0

应用示例

例1画出函数)，=因的图象.

活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；.②利用变换

法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式.

解法一：由绝对值的概念，我们有y=

所以，函数y=|x|的图象如图7所示.

解法二：画函数y=x的图象，将其位于x轴下方的部分对称到/轴上方，与函数y=x

的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图7所示.

点评：函数丁=40的图象位于x轴上方的部分和y=|/(x)|的图象相同，函数y=/(x)的图

象位于4轴下方的部分对称到x轴上方就是函数y=[/(x)|图象的一部分.利用函数y=.*x)的

图象和函数丁=[小)1的图象的这种关系，由函数)，=兀0的图象画出函数y=|/U)l的图象.

变式训练

x+4,x<0,

2

1.已知函数丁={冗-2x,0<x<4,

-x+2,x>4.

⑴求川以5)]}的值；

(2)画出函数的图象.

分析：本题主要考查分段函数及其图象.«1)是分段函数，要求。欢5)]},需要

确定/65)]的取值范围，为此又需确定人5)的取值范围，然后根据所在定义域,代

入相应的解析式，逐步求解.画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数

的图象.

解：(1)<5>4,・・・人5)=-5+2=—3.・・・一3<0,・・・欢5)]=7(—3)=—3+4=1.・・・0

<1<4,.，.A/W5)])=y(l)=l2-2X1=-1,即加(5)]}=—1.

(2)图象如图8所示：

2.课本本节练习3.

.2

3.画出函数产产+D的图象.

-x,x>0

步骤：①画整个二次函数y=(x+1)2的图象，再取其在区间(-8,0]上的图象，

其他部分删去不要；②画一次函数y=-x的图象，再取其在区间(0,+8)上的

图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如

图9所示.

例2某市“招手即停”公共汽车的票价按.卜一列规则制定：

(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；

(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，

如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式,

并画出函数的图象.

活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意.本例是一个实坏问题，有具体的实际意义,

由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数.

A

5°------

01~5~101520X

图10

解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得（0,20].

由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式:

20<rW5,

3,5<JrW10,

4,10<¥<15,

515<xW20.

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示.

点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力.生活中有很

多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解

析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式.

注意：

①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；

②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用

一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

变式训练

某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是