第4章 连续信号与系统的复频域分析

信号与系统信号与系统——多媒体教学课件长沙理工大学电气学院电子信息工程系X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析q4.1

拉普拉斯变换q4.2

单边拉氏变换的性质q4.3

单边拉氏逆变换q4.4

连续时间系统的复频域分析q4.5

系统微分方程的复频域解q4.6

RLC系统的复频域分析q4.7

连续系统的表示和模拟q4.8

系统函数与系统特性X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析第4章

连续信号与系统的复频域分析频域分析以虚指数信号ejw

t为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和，使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2te

(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率

s=s

+

jw，以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率

s

，故称为s

域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换4.1.1

从傅氏变换到拉氏变换傅里叶反变换傅里叶变换f

(t)e-s

t

F

F

(s)ù=-1é+¥ëbû[

]

òFf

(t)=f

(t)e-

jw

tdt-¥1+¥ò==F

(s)e

dwjwtpb为满足傅里叶变换存在的充分条件，用衰减因子e-

与

相乘212p-¥+¥òF

(

j

)e

ds

+

w

jwtws

t

f(t)b-¥(

)

()F

s

F=

s

+

w

=

Fj[

f

(t)e-s]t两端同乘以es

tbb+¥ò===[

f

(t)e-st]×e

j

t

dt-

w12p1p2

j-¥+¥+¥òs

+

wF

(

j

)e(s

+

jw)tdf

(t)==wòf

(t)e-(s

+

jw

)tdtb-¥-¥+¥s

+

j¥òF

(s)estdsòf

(t)e-

stdtbs

-

j¥-¥双边拉普拉斯逆变换双边拉普拉斯变换X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换4.1.2

双边拉氏变换的收敛域¥òFb

(s)=f

(t)e-st

dt双边拉普拉斯变换对-¥1p2

js

+

j¥ò=F

(s)e

d

sstf

(t)bs

-j¥Fb(s)称为

f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)

的双边拉氏逆变换（或原函数）。jω收敛域：使Fb(s)存在的s的区域称为收敛域。s的虚部jw确定振荡频率，收敛与否完全由s的实部s决定，即收敛域的边界是平行于s平面虚轴jw的直线。σσ0O下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换例1

求因果信号

f

(t)=e-

(t)

(

>0)和反因果信号

f

(t)=-e

(-t)a

te

a-b

te2(b

>0)的双边拉普拉斯变换。-

+a3e-(s+b

)t+

b

-¥(s

)e

(s

)t0ò¥=

-

-b-=tst0òF3b

(s)e

e

d

t=e

e

d

t-at

-st

=¥0解：F2b

(s)-¥(s

)-

+a011=[1

lim

e

(--

s

+b)te

j

t

]-

w=[1

lim

e--(s

+a

)t

-

jw

te

](s

+

b

)t®

-¥(s

+a)ì

1s

+a=

不定

，t®

¥ì

1,

Re[s]

=

s

<

-b,

Re[s]

=

s

>

-aïï(s

+

b

)ïïï=

不定

，s

=

-bs

>

-bs

=

-as

<

-aííïï无界

，无界

，ïïïîîjwjω对于因果信号，仅当Re[s]=s

>-a时，其双边拉氏变换存在；对于反因果信号，仅当Re[s]=s

<-b时，其双边拉氏变换存在，收敛域如图所示。-b

O

σ-aOσX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换由上例可知，不同信号的双边拉氏变换可能相同(这时它们的收敛域一定不同)，即信号和它的双边拉氏变换不是一一对应的，而是和它的双边拉氏变换连同收敛域才是一一对应的。因此双边拉氏变换必须要标出收敛域。例4.4

求如下非时限双边信号的双边拉普拉斯变换。=a

t

e

-

b

t

e

-f

(t)

e

(t)

e

(

t)0,

0,a

>

b

>

b

>

a4解：其双边拉普拉斯变换为¥11-

bò=f

(t)e

dt-

st=+a

<Re[s]<

bF4b

(s)4-a(s

)

(s

)0f4

(t)jw仅当b

>a

时，其收敛域为

a

<Re[s]<b的一个带状区域，如图所示。eate(

)tab1σOtO-ebt(

t)e

--1X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换现实中的信号通常为有起始点的信号，不妨设起始点为

t

=0。这样，t<0时，f(t)=0。从而双边拉氏变换式写为¥考虑到

t=0时刻可能存在奇异信号，下限定义为0-òF(s)=f

(t)e-stdt0-上式称为单边拉普拉斯变换，简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>a

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。任意信号f(t)(包括4.1.3

单边拉氏变换非因果信号)的单边拉氏变换就是f(t)e(t)的拉氏变换def¥ò象函数：F(s)=-st=f

(t)e

dt

L

[

f

(t)]0-ì

0

,t

<

0ïdef-=

L1[F(s)]f

(t)=

í

1原函数：s

+j¥òst>F(s)e

d

s,

t

0ï2p

jîs

-j¥简记为：

f(t)

⇔

F(s)X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换关于拉普拉斯变换：（1）傅里叶变换F(

jw)的自变量w具有明确的物理含义(角频率)，故F(

jw)描述了信号的频域分布（频谱）。但象函数F(s)的自变量s的物理含义不明显，拉普拉斯变换通常没有“谱”的概念。（2）拉普拉斯变换是信号由时域到复频域的变换（映射），虽然它与傅里叶变换具有某种联系，但该变换不是一个正交变换，其变换基底不是正交的（完备但有冗余）。（3）拉普拉斯变换通常作为系统分析的数学工具，而较少作为信号分析工具使用。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.1

拉普拉斯变换4.1.4

常用信号的单边拉氏变换d

(t)

Û

1,

Re[s]>

-¥(1)单位冲激信号d(n)Ûn>

-¥推论：

(t)

s

,

Re[s]1e(t)

Û

,

Re[s]>

0(2)阶跃信号s1-ate

Ûe

(t),

Re[s](

>0)>

-a

a(3)复指数信号s

+a1e

(t)ate

Û,

Re[s]

(

>0)>

a

as

-a-at

-

st

=

-e

e

dt¥-(s+a

)te1¥ò-ate

=证明：L

[e

(t)]=Re[s]>

-as

+as

+a001sw

=jw

t+-

jw

tÛcos

t

(e

e

)(4)正弦信号000s2+

w2021ww

=sin

t

(e

e

)jw

t--

jw

tÛ0000s2+

w022

jX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析4.2

单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质与傅里叶变换性质有许多相似之处，大部分可相互转换，注意类比学习。1.

线性性质若

f

(t)

⇔

F

(s)

Re[s]>s

,

f

(t)

⇔

F

(s)

Re[s]>s111222则

a

f

(t)+a

f

(t)

⇔

a

F

(s)+a

F

(s)

Re[s]>max(s

,s

)1

12

21

12

21

2例如：d

(t)+e

(t)

⇔

1+

1/s，

Re[s]>02.

尺度变换若

f(t)

⇔

F(s),Re[s]>s0，且有实数a>0

，1

sf

(at)

Û

F(

),

Re[s]

>

as则0a

at

=at11

s¥¥[

]

òò-

s

t证明：Lf

(at)=f

(at)e

dt-st=f

(

)e

dt(

)

t

=F(

)a0-a0-a

aX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质e-s=-

-(1

e

se

)-s-s例1：如图信号

f(t)的拉氏变换F(s)s2求图中信号

y(t)的拉氏变换Y(s)。y(t)=4f(0.5t)解：Y(s)=4×2F(2s)-2s8e=(1

e

2se

)--2s--2s(

)22s2

e-2s=(1

e

2se

)--2s--2ss23.时移性质若因果信号

f(t)

⇔

F(s),Re[s]>s

，且有实数

t

>0,00则

f(t-t

)e(t-t

)

⇔

e-st

F(s),Re[s]>s0000收敛域不变时移结合尺度变换æ

ösb1-

s[](

)a>

0,b

>

0

,

Re(s)

>

asL

f

(at

-

b)e(at

-

b)

=

Fe

aç

÷0a

è

a

øX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质f1(t)例2：求如图所示信号的单边拉氏变换。=

e

-

e

-

=

e

+

-

e

-1解：f

(t)

(t)

(t

1),

f

(t)

(t

1)

(t

1)121F1(s)=

L[

f

(t)]

(1

e

)=

-

-s√×O1t于是1s1

1f2

(t)F2

(s)=

L[

f

(t)]

e=

-se-s12s

s正解：

F

(s)

=

L

[

f

(t)e(t)]

=

F

(s)221¥åf

(t)＝

d

-(t

nT)-1O1

t例3：已知T为周期，求F(s)。n=0¥¥åå[

(t

nT)]=

L

d

-=e-nTs解：

F(s)n=0n=01=

+

-Ts

+L+1

e+L

=>,

Re[s]

0e-nTs-Ts1

e-¥1åd

(t

-

nT)

Û,

Re[s]>

0常用单边拉氏变换对1

e-Ts-n=0e2例4：求

f(t)=e-2(t-1)

e(t)

⇔

F

(s)=?,

Re[s]

>

-2s

+

2X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质4.复频移性质若

f(t)

⇔

F(s),

Re[s]>s

，且有复常数

s

=s

+jw

,1000则

es

t

f(t)

⇔

F(s-s

),

Re[s]>s

+s0001s例5：已知因果信号

f(t)的象函数

F

(s)=，2+s

1求e-t

f(3t-2)e(3t-2)的象函数。21

s-

s-

e

-

Û解：由

f

(3t

2)

(3t

2)F(

)e3

33得+21

s

1-

(s+1)e-f

(3t

2)e(3t

-

2)

Û-F(

)et33

3s

1+2-

(s+1)L

[e

f

(3t

2)

(3t

2)]-

e

-

=-te3+2+(s

1)

9例6：f(t)=cos(2t–p/4)

⇔

F(s)=?解：cos(2t–p/4)

=cos(2t)cos(p/4)

+sin(2t)sin(p/4)s

2

2

2

2

s

+

2F(s)

=+=2+2+2+s

4

2

s

4

2

2

s

4X长沙理工大学

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单边拉氏变换的性质5.卷积性质若

f

(t)

⇔

F

(s)

Re[s]>s

,

f

(t)

⇔

F

(s)

Re[s]>s

,

则有111222时域卷积定理是系统复频域分析的主要基础(1)时域卷积定理f

(t)*

f

(t)

Û

F

(s)F

(s)

，Re[s]

>

m

ax(s

,s

)121212(2)复频域卷积定理1p2

j12

jpc+

j¥òf

(t)

f

(t)

ÛF

(s)*

F

(s)

=F

(h)*

F

(s

-h)dh121212c-

j¥Re(s)

>

s

+s

,

s

<

c

<

Re(s)

-s12126.

时域微分性质若

f(t)

⇔

F(s),

Re[s]>s0

,

则有f(1)(t)⇔

sF(s)–f(0-)

,

Re[s]>s0若

f(t)为因果信号，则

f(n)(t)⇔

snF(s)f(2)(t)⇔

s2F(s)–sf(0-)–f(1)(0-)

,

Re[s]>s0n-1åf

(t)

s

F(s)

s

f

(0

)

,

Re(s)>

s(n)Ûn-n-1-i(i)-0i=0X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质7.

时域积分性质若

f(t)

⇔

F(s),

Re[s]>s

,

则有01sntò(-n)=nt

t

Ûf

(t)

(

)

f

(

)dF(s)f(t)为因果信号0-11tòf(t)为非因果信号

(-1)=t

t

Ûf

(

)d+(-1)-f

(t)F(s)

f

(0

)ss-¥s

n?例7:

d

(n)(t)⇔ds2ds2e

ÛÛ[cos

2t]

?-1例8:

[cos

2t

(t)]

?d

ts2+

4

dts2+

42s32e

Ût

(t)

?11tòe(t

)dt

=

te(t)

Ûe(t)

Û解：已知故0-s2s2t1ttòò2e

t

t

=

te

t

t

=

e

Û(

)

(

)d(

)d(t)--2s300X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质8.

复频域(s

域)微分和积分性质若

f(t)

⇔

F(s),

Re[s]>s0

,

则有d

F(s)dn

F(s)微分

-Û-Û,

Re[s]>

s(

t)

f

(t),

(

t)

f

(t)n0d

sd

snf

(t)¥ò积分Ûh

h>sF(

)d

,

Re[s]

max(0,

)0ts2sint1-2te

Ûe(t)

Û

?2arctan例9:

t

e

(t)

?(s

+

2)3st1+s

21-2te

Û解：已知

e

(t)e

Û,

sint

(t)2+s

12d

12+2

-2te

Ût

e

(t)(

)=则2+3d

s

s

2

(s

2)sin

t1+p1¥òe(t)

Ûdh

=

arctanh¥s=

-

arctan

s

=

arctanh212stsX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质10.初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求

f(0+)和

f(∞)，而不必求出原函数

f(t)。初值定理设

f(t)不含d

(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），且

f(t)

⇔

F(s),

Re[s]>s0

,

则+==f

(0

)

lim

f

(t)

lim

sF(s)+s®

¥®t

0终值定理若

f(t)当t→∞时的极限存在，并且

f(t)

⇔

F(s),Re[s]>s0(s0<0)，则f

(¥

)

=

lim

f

(t)

=

lim

sF(s)t®

¥s®

0X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.2

单边拉氏变换的性质s2例10：已知

f

(t)

Û

F(s)=，求

f(0+)和

f(∞)。2+

+s

2s

22s

+

2s

2s

2解：将F(s)化为真分式

F(s)

=

1-=

1+

F1(s)2+

+(

)

(

)f

t

中有d

t

项-2s

2s2-+===

-2f

(0

)

lim

sF

(s)

lim12+

+s

2s

2s®

¥s®

¥s3s

2s

2f

(¥

)

=

lim

sF(s)

=

lim=

02+

+s®

0s®

0常见信号的单边拉氏变换

和

单边拉氏变换的性质，见教材164页

表4.1、表4.2！X长沙理工大学

电气与信息工程学院第4章

连续信号与系统的复频域分析信号与系统4.3

单边拉氏逆变换直接利用定义式求反变换，即求复变函数积分，比较困难。三种主要方法：(1)

查表法；(2)围线积分法(利用留数定理)；(3)部分分式展开法4.3.2部分分式展开法若象函数F(s)是s的有理分式，表示为m+....

b

s

bm-1

+

+

+B(s)

b

s

b

sF(s)==mm-110n+n-1

+

+

+A(s)

s

a

s

...

a

s

an-110若m≥n（假分式），可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式N(s)与有理真分式之和。D(s)A(s)F(s)

=

N(s)+4+3+2+

+s

8s

25s

31s

152+

+2s

3s

3如

：F(s)

==

s

+

2

+3+2+

+s

6s

11s

63+2+

+s

6s

11s

6由于L

-1[1]=d

(t)，L

-1[sn]=d

(n)(t)，故N(s)的拉氏逆变换由冲激函数构成。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换下面主要讨论有理真分式的情形。若F(s)是

s的实系数有理真分式(m<n)，则可写为m+....

b

s

bm-1

+

+

+B(s)

b

s

b

sF(s)==mm

1-10A(s)

(s

-

p

)(s

-

p

)...(s

-

p

)...(s

-

p

)12in式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程

A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根

pi

称为F(s)的极点。可能为单极点或重极点，也可能为实极点或复极点而方程

B(s)=0的根称为F(s)的零点。用部分分式法求拉普拉斯逆变换的一般步骤：（1）求出F(s)的极点；（2）将F(s)展开为部分分式之和；（3）求每个部分分式的拉氏逆变换；（4）

f(t)=各部分分式拉氏逆变换之和。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换1.

F(s)仅有单极点若A(s)=0仅有

n个单根

pi

(i=1,2,…,n)，则F(s)可展开为B(s)

kA(s)

s

-

p

s

-

pk2kis

-

pikns

-

pnF(s)

==++

....++

...+112其中

k

=

(s

-

p

)F(s)s=

piiin1åp

tif

(t)=

L

-1[F(s)]

k

e

(t)=eÛe

(t)

得p

te由iis

-

pii=13+2+

+s

5s

9s

7=例1：已知

F

(s)解：由长除法得，求原函数

f(t)。2+

+s

3s

2s

+

2s

3

s

2

s

5s

9

s

72+

+3+2+

+s

+

3F(s)

=

s

+

2

+3+2+s

3

s

2

s(s

+

1)(s

+

2)k

k2+

+2

s

7

s

7=

s

+

2

++2++122s

６

s

４s

+

1

s

+

2s

+

3X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换s

+

3+

+(s

1)(s

2)k1

=

(s

+

1)×=

2其中s=-1s

+

3(s

1)(s

2)+

+k2

=

(s

+

2)×=

-1s=

-221于是

F(s)

=

s

+

2

+-s

+

1

s

+

2f

(t)

'(t)

2

(t)

(2

e

e

)

(t)所以

=

d

+

d

+-t--2te2.

F(s)有复极点若A(s)=0有复根，则必共轭成对，相应分式项系数亦共轭。B(s)F(s)=(s

+a

-

jb

)(s

+a

+

jb

)A2

(s)则F(s)可展开为根据其极点情况进一步展开k1k2B2

(s)F(s)

=++s

+a

-

jb

s

+a

+

jb

A

(s)2X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换k1k2F1

(s)

=+令sj

s+a

-

b

+a

+

bj=*1k

(s，且

=

+a

-

bj

)F

(s)式中，k

k211s

j=-a

+

b=jjk

k

e若设11=

éjj

(-a

+

jb

)t+k

e

e-

jj

(-a

-

jb

)tù

e(t)f

(t)

k

e

e则有ëû111=-atb

+j

e2

k

e

cos(

t

)

(t)12+s

3F(s)

=例2：已知，求其逆变换。2+

+

+s

3(s

2s

5)(s

2)2

+(s

+

1-

j2)(s

+

1+

j2)(s

+

2)k1

k2

k0s

+

1-

j2

s

+

1+

j2

s

+

2=解：F(s)=++X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换2+1

j2-

+1

j2-

-s

3+

+其中

=k=,

k

k=*1=1+2(s

1

j2)(s

2)55s=-1+

j22+s

375k

=０=(s

+

1+

j2)(s

+

1-

j2)s=

-21

2

1

2-

+

j

-

-

j75

5

5

5\

F(s)

=++s

+

1-

j2

s

+

1+

j2

5(s

+

2)é

1

2ë

5

51

2(-1+

j2)t

+

-

-7

ù-2t5

û=

-

+f

(t)

(j

)e(j

)e5

5(-1-

j2)t+ee

(t)因此êúìüé

1ë

52ù

7-2tû

5=-t-cos(2t)

sin(2t)-+e

ý

(t)eí

2eêú5îþX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换3.

F(s)有重极点若A(s)=0在

s=p

处有m重根，其余(n-m)个根

p

(j=m+1,…,n)1j为单根，则F(s)可按如下形式展开：kB(s)mk1inåå==+jF(s)-m(s

p

)-i-(s

p

)j=m+1(s

p

)

A

(s)i=1121j=

-m其中

k

(s

p

)

F

(s)1,m1=1s

pd=-[(s

p

)

F

(s)]mk1,m-11s

p=1ds1

dm-i=é

-(s

p

)

F(s)ùmk1,is=

p1ëû-m-i1(m

i)!

d

s11si11由故i-1e

Ût

(t)i-1

p

te

Ût

e

(t)得1(i

1)!---(s

p

)i(i

1)!1mkmkåå-1ep1te

Û(

)t1iti1i--(s

p

)i(i

1)!i=1i=11X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换s

-

2F

(s)

=例3：已知，求其逆变换。+3s(s

1)k11k12k13k2F(s)

=+++k2

=

sF(s)s

-

2解：++2+3s

0=(s

1)

(s

1)

(s

1)

ss

-

2==

-2=

+其中

k

(s

1)3F(s)==3(s

1)3+13s=-1ss=0s=-1ds

-

(s

-

2)×1k

=

[(s

+

1)3F(s)]

==

212s2dss=-1s=-11

d21

-42

s3=[(s

1)

F(s)]+3==2k112

ds2s=-1s=-12+2+3+１2因此

F(s)

=++－23(s

1)

(s

1)

(s

)

s3\f

(t)

(2

e

2t

e=-t+-t+-t

-

et

e

2)

(t)22X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换4.

F(s)有复重极点2s+F

(s)

=，求F(s)的原函数。例4：已知22(s

1)2sk11k12k21k22-F(s)

=解：=++++2-2++2-2(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)

(s

j)2s1212=

+其中

k

(s

j)

F(s)2==j,

k

k=*12=

-j12-(s

j)222s=-js=-

jdk

=

[(s

+

j)2F(s)]

=

0,

k21

=

k*11=

011dss=-

j-111因此

F(s)

=

j

[]+2-22

(s

j)

(s

j)由复频移和s域微分性质得1=

L-1[F(s)]=j[t

e-

jt

e(t)-

t

ejt

e(t)]f

(t)21=jt[e-

jt-

jt

]e(t)

=

t

sin

te

(t)e2X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.3

单边拉氏逆变换计算拉氏逆变换时需要注意的问题：u

采用部分分式展开法时，象函数F(s)必须为s的有理分式e-2ss

3s

2+

+例如：F(s)

=Û

?分解为有理分式和指数信号的乘积2e-2s1-1解：=F1(s)e-2s=+2+

+s

3s

2F1(s)++s

1

s

2=

L

-1éù

=

-

t

-

eF

(s)

(e

e

)

(t)-2t于是f1

(t)ëû1(

)

(

)-

=

-(t-2)

-

e-2(t-2)

]e(t

-

2)f

t

f

t

2

[e所以=1u

F(s)无法展开为部分分式时，合理利用拉氏变换的性质1例4.15

已知

F(s)

=，求F(s)的单边拉氏逆变换。+-2s1

e解：见教材170页。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析4.4

连续系统的复频域分析yf

(t)

=

f

(t)*h(t)Yf

(s)

=

F(s)H(s)由系统零状态响应的时域求解公式两边取拉氏变换，由时域卷积性质得=

L通常称

H(s)

[h(t)]

为系统函数。利用上式能求连续系统零状态响应

yf(t)。在第2章曾利用时域法求解连续系统零输入响应

yx(t)，但比较复杂；第3章曾介绍频域分析法只能求解连续系统的零状态响应，不能求解系统的零输入响应；复频域法是求解系统零状态响应和零输入响应的最有效的分析方法。由于系统的模型可分别用输入输出方程（微分方程）、系统框图和信号流图等方法来描述，因此，下面从系统模型的几种描述方法来分别讨论连续系统全响应的求解过程。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析4.5

系统微分方程的复频域解描述n阶LTI系统的微分方程的一般形式为nmåå(i)=(

j)a

y

(t)b

f

(t)iji=0j=0设系统的初始状态为

y(0-),y(1)(0-),…,y(n-1)

(0-)。思路：对微分方程两边取单边拉普拉斯变换。åi-1(i)Ûi-i-1-

p

(

p)-由拉氏变换的微分性质，得

y

(t)

s

Y(s)

s

y

(0

)p=0若

f(t)在t=0时接入系统，则

f(j

)(t)

⇔

sj

F(s)s域的代数方程éù

éùni-1måååii-1-

p

(

p)-=j于是得

a

s

Y(s)－

s

y

(0

)b

s

F(s)êú

êû

ëúijëûi=0p=0j=0éù

éùéùi-1nnmåå

ååii-1-

p

(

p)-=j即a

s

Y(s)－

a

s

y

(0

)b

s

F(s)êú

êúêúiijëûëû

ëûi=0i=0p=0j=0X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统

4.5

系统微分方程的复频域解éùnni-1måå

ååi=i-1-

p

(

p)-=j=b

s

B(s)设

a

s

A(s);as

y

(0

)

M(s);êúiijëûi=0i=0p=0j=0则

A(s)Y(s)-

M(s)

=

B(s)F(s)M(s)

B(s)即

Y(s)

=+F(s)=Y

(s)+Y

(s)A(s)

A(s)xf其中，A(s):微分方程的特征多项式，仅与系数ai有关；(

p)-M(s):仅与系数a

和初始状态y

(0

)有关,与激励无关；iB(s)F(s):仅与系数bi和激励有关，与初始状态无关。M(s)记=Y

(s)，对应于零输入响应

y

(t)的象函数；xxA(s)B(s)F(s)

=Y

(s)，对应于零状态响应

y

(t)的象函数。ffA(s)[

]Y(s)=

L

-1

é+

+Y

(s)

Y

(s)

y

(t)

y

(t)ù于是全响应y(t)=

L

-1=ëûxfxfX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.5

系统微分方程的复频域解B(s)因为

Yf

(s)

=F(s)

=

H(s)F(s)它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。A(s)Yf

(s)B(s)def==故系统函数为

H(s)F(s)

A(s)例1

已知当输入

f(t)=e-te

(t)时，某LTI因果系统的零状态响应yf(t)=

(3e-t

-4e-2t

+

e-3t)e

(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。2s

+

8(s

1)(s

2)(s

3)+

+

+1s

+

1解：==Yf

(s)=

L[

yf

(t)]=F(s)

L

[

f

(t)]Yf

(s)+-++2(s

4)4+22s

82

+

+H(s)===+=F(s)

(s

2)(s

3)

s

2

s

3

s

5s

6++单位冲激响应为

h(t)=

(4e-2t

-2e-3t)

e

(t)于是

s2Y

(s)

+5sY

(s)

+

6Y

(s)

=2sF(s)+

8F(s)fff取逆变换

y

"(t)+5y

'(t)+6y

(t)

=2f

'(t)+

8f

(t)fff微分方程为

y"(t)+5y'(t)+6y(t)

=2f

'(t)+

8f

(t)X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统

4.5

系统微分方程的复频域解说明：系统完全响应可表示为y(t)

=

y

(t)

+

y

(t)xf=自由响应

+

强迫响应

=

暂态响应

+

稳态响应u自由响应

(固有响应)

仅取决于系统本身的特性，与输入信号的函数形式无关。准确地说，自由响应的具体形式完全取决于H(s)的极点性质，与F(s)的极点无关。因此，自由响应中除了包含零输入响应

y

(t)外，还包含了零状态响应

y

(t)

中的一部分。xfu强迫响应

是指完全由输入信号的性质决定的响应，确切地说是由F(s)的极点性质决定的响应。u暂态响应

是指在完全响应y(t)中暂时存在的响应分量。u稳态响应

是指在完全响应y(t)中始终存在的响应分量。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.5

系统微分方程的复频域解例2

描述某LTI系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)已知初始状态

y(0-)

=1，y'(0-)=-1，激励

f

(t)=5coste(t)，求系统函数H(s)和系统全响应

y(t)。解：(1)求微分方程的单边拉氏变换¢2----+--+=

+[s

Y(s)

sy(0

)

y

(0

)]

5

[sY(s)

y(0

)]

6Y(s)

(2s

6)F(s)整理后，得-+

¢sy(0

)

y

(0

)

5y(0

)

2s

6-+-+Y(s)

=+F(s)

=

Y

(s)+Y

(s)2+

+s

5s

62+

+s

5s

6xf(2)求激励的单边拉氏变换[5s]F(s)

=

L

5coste(t)

=2+s

1带入初始值(3)求全响应的象函数s

+

42

5sY(s)

=

Y

(s)+Y

(s)

=+xf(s

2)(s

3)

s

2

s

1+

++2+X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.5

系统微分方程的复频域解2s

+

62s

+

6系统函数为

H(s)

==2+

+++s

5s

6

(s

2)(s

3)部分分式展开得Yx

(s)Yf

(s)2-1

-4

2-

j

2

+

jY(s)

=++++s

+

2

s

+

3

s

+

2

s

-

j

s

+

j自由响应的象函数强迫响应的象函数(4)求得全响应=

L

-1=

é-

-2t--3t+-ù

ey(t)[Y(s)]

2e

e

4cost

2

jsint

(t)ëû零输入响应

yx

(t)零状态响应

yf

(t)=

éy(t)

2e

e-2t-

ù-3t

e

--2te

+(t)

4e

(t)

4cost

2

jsint

(t)[-]eëû自由响应强迫响应[]e暂态响应：

2e

2t

e-3t

e(t)

稳态响应：4cost

2

jsint

(t)é

---

ù-ëûX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析4.6

RLC系统的复频域分析由线性时不变元件如电阻、电感、电容和线性受控源、独立电源等组成的系统是线性时不变系统，简称RLC系统。其输入和输出关系用线性常系数微分方程来描述。4.6.1

KCL、KVL的复频域形式基尔霍夫定理推广ååi(t)

«

I(s),=

®KCL

:

i(t)

0I(s)

0=ååu(t)

«

U(s)，=

®KVL

:

u(t)

0U(s)

0=线性稳态电路分析的各种方法都适用。4.6.2

系统元件的复频域模型(1)电阻元件

R的

s域模型R

i(t)u(t)R

I(s)U(s)(

)

(

)u

t

=

Ri

t++U(s)U(s)

=

RI(s)或

I(s)=s域模型时域模型RX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析(2)电感元件

L

的

s域模型i

(t)L(

)di

t(

)u

t

=

L+u(t)dt时域模型取单边拉氏变换：(

)=--Li

0-U(s)

sLI(s)

Li

(0

)I

(s)sLLL+利用电源转换可以得到电流源形式的

s

域模型：+U

(s)U(s)

1s域串联模型=+i

(0

)-I(s)LsL

ssLI

(s)-=i

(0

)

0，若电感L上电流的初始状态L1(

)-i

0则U(s)

=

sL

I(s)U(s)sL+U

(s)I(s)

=sLs域并联模型X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析C(3)电容元件

C的

s域模型du(t)i

(t)+(

)i

t

=

Cu

t(

)dt时域模型取单边拉氏变换，得电流源形式：1I(s)

sCU(s)

Cu

(0

)=--I

(s)sCC电压源形式：1CuC

(0

)-1-=+I(s)

u

(0

)-+U(s)U

(s)CsCss域并联模型-=若电容电压的初始值

u

(0

)

0

，C1(

)C1-则u

0I(s)

=

sCU(s)ssCI

(s)1+U(s)

=

I(s)U

s(

)sCs域串联模型X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析+uR

(t)例1：如图所示的RLC电路系统，ì

-E

t

<

0i

(t)RC+已知

e(t)

=

íe(t)E

t

>

0C

uC

(t)î(

)求t

³

0时的

u

t

。C（1）确定初始状态IC

(s)+(

)-u

0

=

-

ERC1UC

(s)sCEs（2）画s

域等效框图-u

(0

)C（3）列写s域方程sE=

RI

(s)+U

(s)CCs电路

s

域模型=

RC

ésU

(s)

u

(0

)

U

(s)--ù+ëûCCCX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析æ1öEæö-E-s+

RCu

(0

)ç÷ç÷Cè

RC

ø12s于是

UC

(s)

===

E

ç

-÷æ1ö11+

RCssç÷s

+s

s+ç÷èøRCè

RC

ø（4）求反变换æöt-(

)u

t所以

u

(t)

=

E

-

2E

e

,

(t

³

0)çRC÷CCèøEO总结：由电路图求响应的步骤t①

画0-等效电路，求初始状态；②

画

s域等效模型；③

列

s域方程（代数方程）；-

E电容电压响应④

解

s域方程，求出响应的拉普拉斯变换

U(s)或

I(s)；⑤

拉普拉斯逆变换求

u(t)

或

i(t)。例4.17

教材134页X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.6

RLC系统的复频域分析例2：图示电路，t<0时开关K闭合，电路稳定；t=0时K打开。求t>0时电路响应i

(t)和

i

(t)。12解：

t<0，开关K闭合，电路稳定-=-=i

(0

)

5A，i

(0

)

012I1(s)I2(s)t³

0，开关K打开，由s

域电路模型，有10

/

s+

1.5I

(s)

=

I

(s)

=12+++2

0.3s

0.1s

31.510

/

s=+0.4s+

5

0.4s+

520.8

1.5223.75=

-+=

-+s

0.4s

+

5

0.4s+

5

s

s+

12.5

s+

12.5==

-i

(t

)

i

(t

)

(2

2e-12.5

t+3.75e-12.5

t，

>)A

t

0所

以12X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统第4章

连续信号与系统的复频域分析4.7

连续系统的表示和模拟线性时不变系统的输入输出关系的描述方法有3种，即微分方程描述、方框图描述和信号流图描述，三者之间可以相互转换。微分方程的描述便于对系统进行数学分析和计算；方框图、信号流图的表示方式避开了系统的内部结构，而集中着眼于系统的输入输出关系，使对系统输入输出关系的考虑更加直观明了。另一方面，如果已知系统的微分方程或系统函数，要求用一些基本单元来构成系统，称为系统的模拟。系统的表示是系统分析的基础，而系统的模拟是系统综合的基础。4.7.1

连续系统的方框图表示方框图表示如右所示。可将几个系统的y(t)f

(t)h(t)组合连接构成一个复合系统，其中的每个系统又称为子系统。系统的组合连接方式有串联、并联及这两种方式的混合连接。X长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.7

连续系统的表示和模拟1.

连续系统的串联d

(t)h(t)h(t)

=

h

(t)*h

(t)*L*h

(t)(a)时域:12n(b)S域:

H(s)

=

H

(s)×

H

(s)×L×

H

(s)12nX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.7

连续系统的表示和模拟2.

连续系统的并联h(t)d

(t)h(t)

=

h

(t)

+

h

(t)

+L+

h

(t)(a)时域:(b)S域:12nH(s)

=

H

(s)

+

H

(s)

+L+

H

(s)12nX长沙理工大学

电气与信息工程学院信号与系统4.7

连续系统的表示和模拟例

4.18

某线性连续系统如图所示。其中h

(t)=d(t),h

(t)=d(t-1),12h3(t)=d(t-3)。

(1)试求系统的冲激响应h(t);

(2)若

f(t)=e(t)，

试求系统的零状态响应yf(t)。解：(1)

h(t)

=

h

(t)*h

(t)-

h

(t)

=

d

(t

-1)-d

(t

-

3)123=

LH(s)

[h(t)]

e

e=-s--3s111==-

s--3s=-s-e-3s(2)因为

Y

(s)

F(s)H(s)

(e

e

)

efsssyf

(t)=

L

-1=

e

-

-e

-[Y