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文档简介
3.1.1两角和与差的余弦公式8/29/2024其中θ∈[0,π
]两个向量的数量积温故知新!8/29/2024一、新课引入问题1:cos15°=?cos75°=?问题2:cos15°=cos(45°-
30°)=
cos45°-
cos30°
?cos75°=cos(45°
+30°)=cos45°+
cos30°?
cos(α-β)=cos(α+β)=??8/29/2024探究:如何用任意角α,β的正弦、余弦值表示?思考1:设α,β为两个任意角,你能判断cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗?例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°因此,对角α,βcos(α-β)=cosα-cosβ一般不成立.8/29/2024〖探究1〗cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系
?发现:cos(α-β)公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系
令则令则令令则则8/29/2024sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°-60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°-30°)思考2:我们知道cos(α-β)的值与α,β的三角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有什么发现?8/29/2024从表中,可以发现:cos(60°-
30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°-
60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在,我们猜想,对任意角α,β
有:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ8/29/2024xyPP1MBOAC+11〖探究2〗借助三角函数线来推导cos(α-β)公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ又OM=OB+BMOM=cos(α-β)
OB=cosαcosβBM=sinαsinβ8/29/2024-111-1α-β
BAyxoβα∵
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ8/29/2024思考:以上推导是否有不严谨之处?当α-β是任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0,2π),使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0,π],则若θ∈[π,2π),则2π-θ∈[0,π
],且cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)8/29/2024〖探究3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征?注意:1.公式的结构特点:等号的左边是复角α-β的余弦值,等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角,公式的应用要讲究一个“活”字,即正用、逆用、变形用,还要创造条件应用公式,如构造角β=(α+β)-α,β=等.上述公式称为差角的余弦公式,记作简记“余余正正号相反”8/29/2024〖公式应用〗引例:求cos15°的值.分析:将150可以看成450-300而450和300均为特殊角,借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos(450-300)=cos450cos300+sin450sin300=×+×=8/29/2024运用公式求值8/29/20248/29/20248/29/20248/29/2024给值求值
8/29/20248/29/20248/29/20248/29/20248/29/202
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