两角和与差的余弦公式

3.1.1两角和与差的余弦公式8/29/2024其中θ∈[0，π

]两个向量的数量积温故知新!8/29/2024一、新课引入问题1:cos15°＝？cos75°=？问题2:cos15°＝cos（45°－

30°）＝

cos45°－

cos30°

?cos75°＝cos（45°

+30°）＝cos45°+

cos30°？

cos(α-β)=cos(α+β)=??8/29/2024探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？思考1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.8/29/2024〖探究1〗cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系

？发现：cos（α-β）公式的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系

令则令则令令则则8/29/2024sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？8/29/2024从表中,可以发现:cos(60°－

30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－

60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想，对任意角α，β

有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ8/29/2024xyPP1MBOAC+11〖探究2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)

OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβ8/29/2024-111-1α-β

BAyxoβα∵

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ8/29/2024思考：以上推导是否有不严谨之处？当α-β是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0，2π），使cosθ=cos(α-β)若θ∈[0，π]，则若θ∈[π,2π)，则2π-θ∈[0，π

]，且cos(2π–θ)=cosθ=cos(α-β)8/29/2024〖探究3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式中的α,β是任意角，公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝等．上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”8/29/2024〖公式应用〗引例:求cos15°的值.分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=8/29/2024运用公式求值8/29/20248/29/20248/29/20248/29/2024给值求值

8/29/20248/29/20248/29/20248/29/20248/29/202