福建省福州民族中学2024-2025学年高二数学10月月考试题

PAGE12-福建省福州民族中学2024-2025学年高二数学10月月考试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．若,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知椭圆的一个焦点为，则的值为()。A、B、C、D、3．已知命题P：，则为（）A． B．C． D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2 B．3 C．6 D．95．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则（）A． B． C． D．6．直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法推断7.在椭圆＝1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（）A．9x﹣16y+7＝0 B．16x+9y﹣25＝0 C．9x+16y﹣25＝0 D．16x﹣9y﹣7＝08．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()。A、B、C、D、二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为()。A、B、C、D、10．下列命题中正确的是（）A．， B．，C．， D．，11．椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，以下说法正确的是（）A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为.B．椭圆上存在点，使得C．椭圆的离心率为D．为椭圆一点，为圆上一点，则点，的最大距离为.12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A． B．为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为 D．的面积为4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_____________．14.已知双曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，若直线的斜率为，则直线的斜率为______________．15．设F1，F2是双曲线C：x2﹣＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为______________．16．已知、是椭圆的两个焦点，满意的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知p：实数x满意不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满意不等式|x﹣5|＜3．（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（本小题满分12分）已知抛物线与双曲线在第一象限的交点为，斜率为的直线过点．（1）求双曲线的渐近线方程及离心率；（2）求直线被抛物线所截得的弦长．19．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.20.已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（，1），且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满意，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。22．（本小题满分12分）已知圆：，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。(1)求曲线的方程；(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？假如是，请赐予证明；假如不是，请说明理由。

福州民族中学2024-2025学年高二上10月月考数学答案1.【答案】A2.【解析】方程变形为，∵焦点在轴上，∴，解得，又，∴，解得则，故选D。3.【答案】C4.【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9+＝12⇒p＝6；故选：C．5.【解析】由题意，得．又因为，故直线AB的方程为，与抛物线联立，得，设，由抛物线定义得，，选C．6.【解析】由题知，直线恒过定点，将点代入可得，故在椭圆内，直线与椭圆相交故选：B点睛：点，椭圆标准方程为，若点在椭圆内，则；若点在椭圆上，则；若点在椭圆外，则.7.【解答】解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝2，y1+y2＝2．又，①，②①﹣②得：＝0又据对称性知x1≠x2，则＝﹣，∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k＝﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即9x+16y﹣25＝0．故选：C．8.【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，联立得：，令，得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为，故选C。9.【解析】两条渐近线的夹角为，∴或，又，，解得或，∴双曲线的标准方程为或，故选BC。10.11.12.【详解】过点向准线作垂线，垂足为，，设，如下图所示：A．因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B．假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，明显不成立，故结论错误；C．设直线的方程为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D．取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.14.【解析】由题可知，，设，则．设直线的斜率为，直线的斜率为，则，因为，所以．15.【解答】解：由题意可得a＝1，b＝，c＝2，∴|F1F2|＝2c＝4，∵|OP|＝2，∴|OP|＝|F1F2|，∴△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2＝16，∵||PF1|﹣|PF2||＝2a＝2，∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝4，∴|PF1|•|PF2|＝6，∴△PF1F2的面积为S＝|PF1|•|PF2|＝3，16.【解析】∵，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，∴，即，∴，即，又，∴【解答】解：p：实数x满意不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a．a＞0．q：实数x满意不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8．（1）当a＝1时，p：1＜x＜3．p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3．∴实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，解得：2≤a≤．∴实数a的取值范围是2≤a≤．18.【解析】（1）令，可得双曲线的渐近线方程为，（2分）双曲线的离心率．（4分）（2）将与联立，消去可得，解得（负值舍去），因为点位于第一象限，所以，（6分）因为斜率为的直线过点，所以直线的方程为，即，（7分）将代入，消去可得，设直线与抛物线交于，两点，则，，（10分）所以直线被抛物线所截得的弦长．（12分）19.20.【解答】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，由e＝得可转化为a2＝2b2，由以上两式解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为：．（2）存在这样的直线．当l的斜率不存在时，明显不满意，所以设所求直线方程l：y＝kx+3代入椭圆方程化简得：（1+2k2）x2+12kx+14＝0，①，②△＝（12k）2﹣4×14×（1+2k2）＞0，，设所求直线与椭圆相交两点A（x1，y1），B（x2，y2），由已知条件可得x2＝2x1③，综合上述①②③式子可解得符合题意，所以所求直线方程为：y＝．21.【解析】(1)设抛物线：()，则有()，1分据此验证个点知，在抛物线上，易求：，2分设椭圆：()，把点，代入得：，3分解得，，∴的方程为：；4分(2)设，，将代入椭圆方程，消去得：，5分∴，即，①6分由根与系数关系得，则，7分∴线段的中点的坐标为，8分又线段的垂直平分线的方程为，9分由点在直线上，得，10分即，∴，11分由①得，∴，即或，∴实数的取值范围是。12分22.【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，∴，又，∴，2分∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，3分∴、、，∴的轨迹方程为；4分(2)当轴