2019-2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.3.1圆柱、圆锥、圆台练习(含解析)新人教B版必修2

PAGE1-第1课时圆柱、圆锥、圆台对应学生用书P7知识点一旋转体的有关概念1．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的答案D解析两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆以直径所在直线为轴旋转才形成球体，故B错误；C不符合棱台的定义．所以应选D．2．下列命题正确的是()A．梯形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆台B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱C．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台D．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台答案D解析绕梯形的一边所在直线旋转得到的旋转体也可能是组合体．当夹在圆柱的两个平行截面不与圆柱的底面平行时，不是圆柱．用与棱锥的底面不平行的平面截去一个小棱锥后，剩余部分不是棱台．圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而成的，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．知识点二圆柱、圆锥、圆台的结构特征3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是()A．10B．20C．30D．40答案B解析如图轴截面为矩形，所以面积为(2＋2)×5＝20．4．下列说法中，不正确的是()A．圆桂的侧面展开图是一个矩形B．圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形C．等腰直角三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台中平行于底面的截面是圆面答案C解析等腰直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周才能形成圆锥，此处必须说明是绕它的一条直角边所在的直线．若换成直角三角形的斜边，则旋转后产生的几何体不是圆锥，而是两个圆锥的组合体，且这两个圆锥同底．5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm，即A′O′＝xcm，AO＝3xcm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D．在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2xcm，所以A′D＝AD＝2xcm，又S轴截面＝eq\f(1,2)(A′B′＋AB)·A′D＝eq\f(1,2)×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7．综上，圆台的高OO′＝14cm，母线长AA′＝eq\r(2)OO′＝14eq\r(2)cm，上、下底面的半径分别为7cm和21cm．对应学生用书P7一、选择题1．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③矩形的任意一条边所在直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱；④矩形绕任何一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1B．2C．3D．4答案B解析根据圆柱的定义可知命题①③正确，命题②④错误．2．一个圆锥的母线长为2，圆锥的轴截面的面积为eq\r(3)，则母线与轴的夹角为()A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或75°答案C解析设圆锥的高为h，则底面圆的半径为eq\r(4－h2)，由题意，得S＝eq\f(1,2)h×2eq\r(4－h2)＝eq\r(3)，平方整理得h4－4h2＋3＝0，解得h2＝1或h2＝3，∴h＝1或h＝eq\r(3)．母线与轴的夹角为30°或60°．3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A．4B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2eq\r(6)答案D解析设圆台的母线为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，则满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，根据题意可得h＝2eq\r(6)，即两底面之间的距离为2eq\r(6)．4．“两底面直径之差等于母线长”的圆台()A．是不存在的B．其母线与高线必成60°角C．其母线与高线必成30°角D．其母线与高线所成的角不是定值答案C解析设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，母线长为l，则由题意可得2r2－2r1＝l，∴eq\f(r2－r1,l)＝eq\f(1,2)，再设母线与高线所成的角为θ，∴sinθ＝eq\f(1,2)，θ＝30°．5．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比为1∶3，则截面把圆锥的母线分为上下两段的比是()A．1∶3B．1∶9C．1∶eq\r(3)D．(1＋eq\r(3))∶2答案D解析圆锥的上底面半径与下底面半径之比为1∶eq\r(3)，故截去小圆锥的母线与大圆锥的母线之比为1∶eq\r(3)，截面把圆锥的母线分为上下两段的比是1∶(eq\r(3)－1)＝(1＋eq\r(3))∶2．二、填空题6．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形的最大面积为2，则圆锥的母线长为________．答案2解析对于该圆锥，过顶点的截面三角形中面积最大的三角形为等腰直角三角形，其腰为母线，所以母线长为2．7．用一张(6×10)cm2的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积等于________，轴截面的周长等于________．答案eq\f(60,π)cm212＋eq\f(20,π)cm或20＋eq\f(12,π)cm解析若圆柱的母线长为6，则底面直径为eq\f(10,π)，轴截面的面积为eq\f(60,π)cm2，周长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(20,π)))cm；若圆柱的母线长为10，则底面直径为eq\f(6,π)，轴截面的面积为eq\f(60,π)cm2，周长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20＋\f(12,π)))cm．8．给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是________．答案②④解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．三、解答题9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱，已知某等边圆柱的轴截面面积为16cm2，求其底面周长和高．解如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r．由题意可得轴截面的面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16，解得r＝2．所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4(cm)．10．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A．求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f(x)的最大值．解将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，∴L＝2πr＝2π．∴∠ASM＝eq\f(L,2πl)×360°＝eq\f(2π,2π×4)×360°＝90°．(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝eq\r(x2＋16)(0≤x≤4)．∴f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，∵S△