九年级数学人教版（上册）24.2.1 点和圆的位置关系

24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系第二十四章圆1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.（重点）2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.（重点）3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.4.了解反证法的证明思想.知识目标目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入新课导入教学目标教学重点我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得

荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？新课导入讲授新课典例精讲归纳总结1知识点点与圆的位置关系探究：1.请你在练习本上画一个圆，然后任意做一些点，观

察这些点和圆的位置关系.2.量一量这些点到圆心的距离，你发现了什么？讲授新课

设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？点P在⊙O内

点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？讲授新课1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在

；点B在

；点C在

.

练一练：圆内圆上圆外2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP=，则点P在（）A.大圆内

B.小圆内C.小圆外

D.大圆内，小圆外oD讲授新课3.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝

OD＝3cm，在直线l上有P，Q，R三点，且有PD＝

4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三

点与⊙O的位置关系各是怎样的？

讲授新课要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求出相关点到圆心的距离．

解：如图，连接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，∴点P在⊙O上；∵QD＝5cm，∴点Q在⊙O外；∵RD＝3cm，∴点R在⊙O内．讲授新课要点归纳rPdPrd

PrdRrP点P在⊙O内

d<r点P在⊙O上

d=r点P在⊙O外

d>r

点P在圆环内

r≤d≤R数形结合：位置关系数量关系点与圆的位置关系讲授新课

如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？解：AD=4=r，故D点在⊙A上

AB=3<r，故B点在⊙A内

AC=5>r，故C点在⊙A外讲授新课例题1（2）若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围？（直接写出答案）3<r<5讲授新课变式：如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的坐标.讲授新课2知识点

确定圆的条件过一个已知点A如何作圆？过点A所作圆的圆心在哪里？半径多大？

可以作几个这样的圆？探究（一）A讲授新课过已知两点A、B如何作圆？圆心A、B两点的距离怎样？

能用式子表示吗？圆心在哪

里？过点A、B两点的圆有几

个？探究（二）AB讲授新课探究（三）过同一平面内三个点情况会怎样呢？1.不在同一直线上的三点A、B、C.定理：过不在同一直线上

的三点确定一个圆.2.过在同一直线上的三点A、B、C可以作几个圆？

OABCDEFG讲授新课不能作出有且只有位置关系定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.ABCDEGF●o归纳总结讲授新课

已知：不在同一直线上的三点A、B、C.

求作：⊙O,使它经过点A、B、C.作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3、以O为圆心，OB为半径作圆。所以⊙O就是所求作的圆.ONMFEABC练一练讲授新课现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？方法:1、在圆弧上任取三点A、B、C;2、作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心;3、以点O为圆心，OC长为半径作圆.⊙O即为所求.ABCO探究（四）讲授新课

某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？●●●BAC练一练讲授新课试一试：

已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO3知识点

三角形的外接圆及外心讲授新课1.外接圆⊙O叫做△ABC的________，△ABC叫做⊙O的____________.到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●OABC外接圆内接三角形三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三边中垂线的交点.性质：要点归纳讲授新课讲授新课下列说法中，正确的是()A．三点确定一个圆B．圆有且只有一个内接三角形C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．三角形有且只有一个外接圆练一练D画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O讲授新课

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.要点归纳讲授新课

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析例题2讲授新课(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在直角△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝

，AD＝2OD＝6，∴点A的坐标是(，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，∴△AOB外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．讲授新课

如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．解：连接OB，过点O作OD⊥BC.D则OD＝5cm，在Rt△OBD中即△ABC的外接圆的半径为13cm.讲授新课例题3思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？l1l2ABCP如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．知识点

反证法4讲授新课反证法的定义要点归纳先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．反证法的一般步骤假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理，得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确讲授新课讲授新课例题4

用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等”.如图，我们要证明：如果AB∥CD,那么∠1=∠2.

假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2.根据

“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.证明：总

结(1)反证法适用情形：①命题的结论的表述为“肯定”或“否定”，且用直接法证较困难；②证明一个定理的逆命题，用直接法证较困难．使用反证法的前提条件是“结论”的反面可列举出来．(2)反证法使用要经历：反设→归谬→结论这三步，反设是推理归纳的已知条件，即把反设作为已知条件进行推理；归谬是关键，是反证法的核心，其作用是：从命题结论的反面出发，推出与已知事理(定义、公理、定理、已知条件)矛盾；最后说明假设不成立，原结论成立．讲授新课当堂练习当堂反馈即学即用1.如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法?ABCO当堂练习

2.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A

；点C在⊙A

；点D在⊙A

.上外上3.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为（3,4），则点P与⊙O的位置关系为（）A.在⊙O内

B.在⊙O上

C.在⊙O外

D.在⊙O上或⊙O外B当堂练习4.判断：（1）经过三点一定可以作圆（）（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点（）（3）三角形的外心到三边的距离相等（）（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内（）√×××当堂练习5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径=

.

56.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________．70°当堂练习7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）MRQABCPA．点P B．点QC．点RD．点MB当堂练习8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形