八年级数学人教版（上册）14.3因式分解

第十四章整式的乘法与因式分解14．3因式分解第2课时用平方差公式分解因式用平方差公式进行因式分解想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：精彩回放1．平方差公式：a2－b2＝___________________．即两个数的平方差，等于_________________________________________．2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都_________________为止．(a＋b)(a－b)这两个数的和与这两个数的差的积不能再分解基础检测

aabb(

+)(-)a2

-b2=解:(1)原式=2x32x2x33(2)原式=[(x+p)+(x+q)]

[(x+p)-(x+q)]ab例题精讲方法总结：

公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.利用平方差公式分解因式1．(3分)(2017·金华)分解因式：x2－4＝___________________．2．(3分)(长沙中考)分解因式：x2y－4y＝_______________________．(x＋2)(x－2)y(x－2)(x＋2)同步练习3分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.＝(4m＋2n)(2m＋4n)解：(1)原式＝(a＋

b＋

2a)(a＋b－

2a)＝(3a＋b)(b－a)；(2)原式＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝4(2m＋n)(m＋2n)4．(12分)分解因式：(1)x3y2－4x；解：原式＝x(xy＋2)(xy－2)(2)36－x2；解：原式＝(6＋x)(6－x)(3)－1＋25x2；解：原式＝(5x＋1)(5x－1)(4)4(x＋2y)2－9(x－y)2.解：原式＝(5x＋y)(－x＋7y)5分解因式：解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).6分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.＝(a＋2b)(a－2b－1).＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；解：(1)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)

(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)1．(4分)(洛阳期末)下列各式中不能用平方差公式分解因式的是()A．－x2＋y2

B．－1－m2C．a2－9b2

D．4m2－12．(4分)分解因式x3－xy2，正确的结果是()A．(x＋xy)(x－xy)B．x(x2－y2)C．x(x－y)2

D．x(x＋y)(x－y)DB6选择题3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(

)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋9D4.分解因式(2x+3)2

-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3)B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)

D6.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21B．21C．-10D．10A5．(4分)下列因式分解中正确的是()A．－4x2－1＝(4x＋1)(4x－1)B．－m2＋9＝(m＋3)(m－3)C．x4－16＝(x2－4)(x2＋4)D．4－(2m－n)2＝(2＋2m－n)(2－2m＋n)D7已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x－y＝－2②.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得方法总结：

在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.8计算下列各题：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4(53.52－46.52)=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：

较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.9．(6分)利用因式分解计算：(1)50.12－49.92；解：原式＝(50.1＋49.9)×(50.1－49.9)＝20(2)3.14×562－3.14×442.解：原式＝3.14×(562－442)＝3.14×(56＋44)(56－44)＝376810

求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，方法总结：

解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．11.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)因为992-1=(99+1)(99-1)=100×98，所以，(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？所以992-1能否被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)×2(n-2)=4(n+3)(n-2).12、选择题(每小题4分，共12分)1．(三门峡月考)若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于()A．11B．22C．11或22D．11的倍数2．已知a，b，c是△ABC的三边，则(a－c)2－b2的值为()A．正数B．负数C．非正数D．非负数AB13.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=_________________;(2)(a+b)2-(a-b)2=_________________;

(3)9xy3-36x3y=_________________;(4)

-a4+16=_________________.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.413．观察下列等式：42－12＝3×5；52－22＝3×7；62－32＝3×9；72－42＝3×11……则第n个(n是正整数)等式为______________________________．6(n＋3)2－n2＝3(2n＋3)15.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．原式=-40×5=-200．解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，三、解答题(共40分)16．(16分)将下列各多项式分解因式：(1)(x＋2y)2－y2；解：原式＝(x＋3y)(x＋y)(2)x2(a－1)＋y2(1－a)；解：原式＝(a－1)(x＋y)(x－y)(3)－(x＋1)2＋9(x－2)2；解：原式＝(4x－5)(2x－7)(4)(7x2＋2y2)2－(2x2＋7y2)2.解：原式＝45(x2＋y2)(x＋y)(x－y)【综合运用】17．(14分)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22－02；12＝42－22；20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2020