2019年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联赛试题及解答全国高中数学联合竞赛试题（A卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）若正数满足，则的值为________．

答案：设连等式值为，则，可得答案108

分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过设集合中的最大元素与最小你别为，则的值为______．

答案：，，均能取到，故答案为

分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

答案：零点分类讨论去绝对值，答案

分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过

数列满足，，则______．

答案：，迭乘得，，

乘以公比错位相减，得，故答案为．

分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前项和，集训队讲义专门训练并重点强调过

正四棱锥中，侧面是边长为1的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离是________．

答案：为公垂线方向向量，故距离为

分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过

设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点．若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为________．

答案：不妨设焦点在轴（画图方便），设，焦距为，，

可得△三边长为，过作高，利用勾股可得，进而可得答案．

分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关

设等边三角形的内切圆半径为2，圆心为．若点满足，则△与△的面积之比的最大值为________．

答案：，又两角和为60°，故只需最大，即与切于对称轴右侧

利用两角和、两角差正弦计算即可，答案

分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹

设是空间中四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．

答案：总连法64种，按由到最短路线的长度分类．长度为1，即连其余随意，32种；

长度为2，即不连，或连，其余随意，连8种，故共种

（一定注意同时连被算了2次，根据是否连有2种情形）；长度为3，两种情形

考虑，连、均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案

分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目

二、解答题（本大题共3小题，共56分）（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上的一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直．设直线与直线，轴的交点分别为．

（1）证明：是一个定点；

（2）求的最小值．

答案：（1）设，，，，

故两点均适合方程，利用垂直，可得，故交点为定点

（2）∵，故，设，则为锐角，，利用两角差

的正切公式，可得．

分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过

（本题满分20分）数列满足，．求正整数，使得

．

答案：由反函数值域，知，，

故

分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练

（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数，均有

．

答案：转换命题为计算存在使得相等时的充要条件

存在使得相等，记，，

则，故，

故；

若，令，其中，则，，

计算并代入，知．

综上，满足条件的为

二试一、（本题满分40分）设实数满足，．求证：．

答案：不妨设不妨设，则，．

，，，故有

，

由于，故，故原不等式成立．

方法2：不妨设，则，固定，设，

递增，，

，因为，故成立，

故递增，令增大至；

题目转化为，，记，

，由于，令，得，

时，时，故在或处有最大值，验证知

分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，

集训队讲义上两种方法都训练过．

NMGFEDCBA二、（本题满分40分）在锐角三角形中，，过点分别作三角形的外接圆的切线，且满足．直线与的延长线分别交于点．设与交于点，与交于点．证明：．

答案：设△三边为，则，先计算，

∵，

∴△∽△．由比例可知，

故，故，故由余弦定理知

，整理可得此式关于对称

故可知

分析：由于一旦三边确定则图形固定，

所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然

NMGFEDCBA三、（本题满分50分）设．求最大的整数，使得有个互不相同的非空子集，具有性质：对这个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．

答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共个，显然满足题意；

另外归纳证对于，任取个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的

当时，将7个非空子集分为三类：，，．任取四个必有两个同类．

假设时命题成立，当时，如果取出的个子集中至少有个不含，利用归纳假设知成

立；如果不含的不足，则至少有个含有，而含有的子集共个，可以配成

对，使得每对中除了公共元素外，其余恰为1到的互补子集，这样，如果选出个，则必有两

个除外不交，故命题成立．

综上，的最大值为．

分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过

四、（本题满分50分）设整数模2014互不同余，整数模2014也互不同余．证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余．

答案：不妨设，．下面对序列进行1007次调整从而构成序列：

若与模4028不同余，则不调整；否则，交换位置，．

下证，进行1007次调整后，得到的序列一定满足条件．

任意挑选一列，

只需证其与、、模4028不同余即可

由构造方法，与不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；

首先，对于不同的，与模4028不同余，否则会导致．

若均未调整，则，，故成立；

若均已调整，则，，故成立；

若只有一个被调整过，不妨设未调整、已调整，则，

，

若，则，矛盾，故同样成立．

综上，构造的序列满足条件．

2014高中联赛试题分析今年高中联赛刚刚比过，试题让许多人大吃一惊．我们先来看看近几年联赛试题的知识点分类：题号2014201320122011类别知识点类别知识点类别知识点类别知识点填空题1代数计算变形代数集合几何解析几何代数集合2代数集合几何解析几何代数三角函数代数函数值域3代数函数代数三角函数代数不等式代数计算变形4代数数列几何立体几何几何解析几何代数三角函数5几何立体几何代数函数几何立体几何组合计数6几何解析几何组合概率代数不等式几何立体几何7几何平面几何代数计算变形代数三角函数几何解析几何8组合概率计数代数数列组合概率数论组合数解答题9几何解析几何代数数列代数函数分析代数函数分析10代数数列几何解析几何代数数列代数数列11代数复数代数函数分析几何解析几何几何解析几何加试1代数不等式几何平面几何几何平面几何几何平面几何2几何平面几何代数数列数论整除其他数论与函数3组合组合最值组合组合最值组合组合几何代数数列综合4数论同余数论整除组合抽屉原理组合组合最值从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a，两个最大元素为b和c．本句话中到底是指a、b、c这3个数互不相同还是指且，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察