专题3.8 轴对称与坐标变化（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题3.8轴对称与坐标变化（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）如果点和点关于直线（平行于y轴的直线，直线上的每个点的横坐标都是1）对称，则的值是（）A． B．1 C． D．52．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）已知点与点关于y轴对称，则的值为（

）A． B．5 C．2 D．33．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）已知在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为（精确到）（）A． B． C． D．4．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知点P的坐标是，过点P作x轴的垂线l，则点关于直线l对称的点N的坐标是（）A． B． C． D．5．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，已知正方形，顶点，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（

）A． B． C． D．6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（

）A．点在x轴上 B．点关于x轴对称的点是C．点在第四象限 D．点到y轴的距离是37．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（

）A． B． C． D．8．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点与点分别是直线及轴上的动点，则周长的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．9．（22-23八年级上·全国·期末）如图，已知正六边形的边长为2，，分别是和的中点，是上的动点，连接，，则的值最小时，与的夹角（锐角）度数为（

）A． B． C． D．10．（23-24七年级下·福建三明·期末）如图，长方形，E是的中点，点F在AD上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24八年级上·四川达州·期末）若点在轴上，则点关于轴对称的点为．12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是．13．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点的坐标为，另一个顶点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标为．14．（2021·山东济宁·一模）如图，在△ABC中，点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，1），点C的坐标为（﹣2，3），如果要使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等（点D不与点C重合），那么点D的坐标是．15．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，是直线上的两点，点P是x轴上的一个动点，则的最小值为．16．（21-22九年级下·上海·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，则的最小值为．17．（22-23八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是则经过第2022次变换后所得的点的坐标是．

18．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点的坐标分别是，，，点与点关于轴对称，顺次连接，，，四点得到四边形，点是四边形边上的一个动点，连接，若将四边形的面积分为1：4的两部分，则点的坐标为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24八年级上·四川达州·期末）如图的平面直角坐标系中：（每个小正方形的边长为单位“1”）．（1）请画出关于x轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点、、．（2）请写出：点A关于y轴对称的点的坐标________；点B关于y轴对称的点的坐标________；点C关于y轴对称的点的坐标________；（3）试计算：的周长．20．（8分）（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线经过和B−2,0两点．（1）在同一坐标系中描出点，直接写出点关于轴的对称点的坐标______；（2）点在坐标轴上，且与全等，则点的坐标为______；（3）若已知点，则的面积为______．21．（10分）（23-24七年级下·天津河西·期末）在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，其中，其中．（1）当时，①在图中描出A，B，C，D，再连接，，，，；②直接写出线段的长度__________；的长度__________；③求出四边形的面积；（2）若有点，且，使得四边形的面积是四边形面积的，求点M的坐标．22．（10分）（22-23七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边、上的动点．

（1）画图说明，当最小时，找出P和Q的位置．（2）记，，当最小时，求的值．23．（10分）（22-23八年级上·浙江湖州·阶段练习）（1）呈现：如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作于，于，则有．请你证明这个结论；（2）应用：如图2，已知，，把线段绕点顺时针方向旋转后得到线段，求点的坐标；（3）拓展：如图3，直线直线，垂足为，点A是直线上一定点，且，点在直线上运动，以为边作等腰，（点呈顺时针排列），当点在直线上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．

24．（12分）（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”．【问题描述】如图，在直线上找一点使得最小？【问题解决】作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短）【应用模型】（1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？（3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？【拓展延伸】如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为0,4，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________．参考答案：1．A【分析】本题考查轴对称的坐标变换，掌握关于平行于y轴的直线对称点的坐标变换规律是解题的关键．根据轴对称的性质可得关于直线对称的两点，到直线的距离相等，纵坐标相等．据此得到，，即可求得a、b值，即可求解．【详解】解：∵点和点关于直线对称，∴，，解得：，∴，故选：A．2．B【分析】本题考查对称的坐标特点，以及代数式求值，根据点与点关于y轴对称，可知点与点横坐标相反，纵坐标相同，进而得到、的值，即可算出的值．【详解】解：点与点关于y轴对称，，，，故选：B．3．D【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而求出答案．【详解】解：点与点关于轴对称，，，解得：，，则．故选：D．4．B【分析】本题考查了关于坐标与图形变化对称，利用轴对称的性质求解是解题的关键．利用关于直线对称的点的坐标特征即可求解．【详解】解：如图：点的坐标为，过点作轴的垂线1，直线为，点，点、点关于直线对称，．故选：B．5．C【分析】本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化平移，关键是能发现图形变换的规律．由题目规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的的坐标．【详解】解：由题意知正方形的边长是2，是正方形对角线的交点，可得的坐标是，正方形连续经过2023次变换后，向左平移2023个单位长度，正方形连续经过2023次变换后，横坐标是，翻折一次后纵坐标是，翻折二次后纵坐标是2，翻折三次后纵坐标是，翻折四次后纵坐标是2，翻折奇数次后纵坐标是，正方形连续经过2023次变换后，纵坐标是，连续经过2023次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为．故选：C6．B【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特点，关于坐标轴对称的点的坐标变化．分别根据坐标系中点的坐标特点判断选项A、C、D，根据关于坐标轴对称的点的坐标变化判断选项B．【详解】A选项：点在y轴上，故本选项错误；B选项：点关于x轴对称的点是，故本选项正确；C选项：点在第二象限，故本选项错误；D选项：点到y轴的距离是2，故本选项错误．故选：B7．C【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可．【详解】解：如图，过B点作轴于点，则，∴，∵平分，∴，又∵，∴∴，∴，即，，∴，∴关于轴的对称点的坐标为，故选：C．8．D【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，则，，当点、、、在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长，根据点，可知点在直线上运动，据此解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交直线于点，交轴于点，，则，，的周长，当点、、、在同一直线上时，的周长最小，周长的最小值为的长，点，点在直线上运动，令直线于轴交于点，交轴于，连接，在中，当时，，当时，，解得，，，，是等腰直角三角形，，由轴对称的性质可得：，，，，，，，，，，，故选：D．9．C【分析】连接，，交于点，连接，首先证明当点与点重合时，的最小值，利用等腰三角形的性质求出即可解决问题．【详解】解：如图，连接，，交于点，连接．正六边形中，，分别是和的中点，所在直线是正六边形的对称轴，，，，当点与点重合时，的值最小，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查正多边形与轴对称的最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的性质以及三边关系解决最短问题，属于中考常考题型．10．D【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题；取的中点M，连接、，可得首先证明和得，根据，当E，H，M三点共线时，的值最小，再根据G是的中点，M是的中点，得，即可得出周长的最小值。【详解】取的中点M，连接、，在和中，，在和中，，,，四边形是长方形，E是的中点，M是的中点，四边形是长方形，，.，当E，H，M三点共线时，的值最小，最小值为，G是的中点，M是的中点，，,周长的最小值是，故选：D.11．【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，从而求得点A的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：∵点在x轴上，∴，解得，∴，，∴点A的坐标为，∴点A关于x轴对称的点为．故答案为：．12．【分析】本题主要考查了点的平移和关于轴的对称点的坐标特点，首先根据横坐标右移加，左移减可得点坐标，然后再关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】解：点向右平移个单位长度得到的的坐标为，即，则点关于轴的对称点的坐标是：．故答案为：．13．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关于轴对称点的坐标特征，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据余角的性质，得到，根据全等三角形的判定与性质，得到，，由此得到答案．【详解】如图，作轴，轴，，，，又，，在和中，，，，，，，点关于轴对称点的坐标为：．故答案为：．14．（﹣2，﹣1）或（4，3）或（4，﹣1）【分析】分三种情况画图，即可分别求得．【详解】符合题意的有3个，如图，∵点A、B、C坐标为（﹣1，1），（3，1），（﹣2，3），∴D1的坐标是（﹣2，﹣1），D2的坐标是（4，3），D3的坐标是（4，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）或（4，3）或（4，﹣1）．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和画法，分类讨论是解决本题的关键．15．【分析】本题考查了线段和最小值问题，两点间连线段最短，点关于坐标轴对称，勾股定理；作关于轴的对称点，连接交轴于，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；利用两点间连线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．【详解】解：作关于轴的对称点，连接交轴于，由对称得：，，此时取得最小值，，，故答案：．16．【分析】作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时最短，最小值，由勾股定理求出，即可求解．【详解】解：作点关于轴的对称点，作A点关于直线的对称点，连接交轴于点，交直线于点P，连接，如图，∵点关于轴的对称点，∴，，∵A点关于直线的对称点，，∴，，∴，此时，值最小，最小值，∵，，∴．∴最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键．17．【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵点第一次关于轴对称后在第四象限，坐标为点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为点第三次关于轴对称后在第二象限，坐标为点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，坐标为∴每四次对称为一个循环组依次循环，∵，∴经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限．故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．18．或【分析】先根据各坐标求出四边形的面积，再分情况讨论当点在上和上的点坐标．【详解】解：作于，点与点关于轴对称，点，点坐标为，点，点的坐标分别是，，，，，，，，，如图1，当点在上时，，，，，，点坐标为：，；

如图2，当点在上时，，，，，，点坐标为：

综上，点坐标为或，故答案为：或．【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点的位置是解题关键．19．(1)见解析(2)，，；(3)【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，勾股定理，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键．（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，先找到点，，的对称点的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可；（3）利用勾股定理求出三边的长即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：点关于轴对称的点的坐标为−1,1；点关于轴对称的点的坐标为−3,2；点关于轴对称的点的坐标；故答案为：−1,1，−3,2，；（3）解：∵，∴，，，∴的周长．所以的周长20．(1)图见解析，(2)或(3)4【分析】本题考查轴对称的性质，坐标与图象的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用分割法求三角形的面积．（1）利用描点法以及轴对称的性质即可解决问题；（2）利用全等三角形的判定和性质即可解决问题；（3）利用分割法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：点的坐标如图1中所示，点关于轴的对称点的坐标为；故答案为：；（2）解：点在坐标轴上，且与全等，观察图1所示，满足条件的点的坐标为或故答案为：或；（3）解：如图2中，，故答案为：4．21．(1)①见详解

②，4．③(2)【分析】（1）①根据点的坐标，描点，连线即可．②根据两点之间的距离公式即可求解．③设与相交于点E，根据点B与点D的坐标可知，点B与点D关于对称，从而可得出，根据代入求解即可．（2）由题意可得出四边形的面积为，又四边形的面积为，根据四边形的面积是四边形面积的为等量关系，列出关与t的一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：①当时，则，∴按照题意画图如下：②，，故答案为：，4．③设与相交于点E，根据点B与点D的坐标可知，点B与点D关于对称，∴，∴（2）∵四边形的面积为的面积加上的面积，即又四边形的面积为，∴由题意得：，解得：，∴．【点拨】本题主要考查了基本作图，两点之间的距离，以及轴对称的性质，一元一次方程的应用等知识，画图图形是解题的关键．22．(1)见详解(2)【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，点，，Q，四点共线，即两点间线段最短，则最小，作图即可；（2）根据轴对称的性质和三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．【详解】（1）解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，如图所示：

（2）解：由（1）知M关于的对称点，N关于的对称点，∴，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查轴对称−最短问题、三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．（1）见解析（2）（3）的最小值为【分析】（1）根据，，三角形是等腰直角三角形证明即可；（2）过A点作轴，分别过B、C作，，根据（1）中结论即可求解；（3）过A点作，分别过B、C作，，作点A关于的对称点，连接，则点在直线l上，当O，C，三点共线时，有最小值．【详解】（1）解：∵，，三角形是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，，，∴；（2）解：过A点作轴，分别过B、C作，，如图，

由（1）得：，∵，，设，∴；（3）解：过A点作，分别过B、C作，，如图，

，，，∵，，，∴，，∵，，作点A关于的对称点，连接，则点在直线l上，，，，∴当O，C，三点共线时，有