2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测五十二第五章三角函数5.5.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二含解析新人教A版必修第一册

PAGE课时素养检测五十二两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知tan(α+β)=QUOTE,tanβ=QUOTE,则tanα= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为tan(α+β)=QUOTE,tanβ=QUOTE,所以tanα=tan[(α+β)-β]=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.已知sinβ=QUOTE,且sin(α+β)=cosα,则tan(α+β)=()A.1 B.2 C.-2 D.QUOTE【解析】选C.因为sinβ=QUOTE,QUOTE<β<π,所以cosβ=-QUOTE,所以sin(α+β)=cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=-QUOTEcos(α+β)+QUOTEsin(α+β),所以QUOTEsin(α+β)=-QUOTEcos(α+β),所以tan(α+β)=-2.3.已知θ为其次象限角,且sinθ=QUOTE,则tanQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.由θ为其次象限角而且sinθ=QUOTE,得cosθ=-QUOTE=-QUOTE,tanθ=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.4.已知A+B=QUOTE,则tanA+tanB+QUOTEtanAtanB-QUOTE的值等于 ()A.-2QUOTEB.2QUOTEC.0D.1-QUOTE【解析】选C.tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)=QUOTE(1-tanAtanB),所以tanA+tanB+QUOTEtanAtanB-QUOTE=0.5.在△ABC中,角C=120°,tanA+tanB=QUOTE,则tanAtanB的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.tan(A+B)=tan(180°-120°)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故1-tanAtanB=QUOTE,即tanAtanB=QUOTE.6.已知方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ,且α,β∈QUOTE,则α+β= ()A.QUOTEπ或-QUOTEπ B.-QUOTE或QUOTEC.QUOTE D.-QUOTEπ【解析】选D.因为方程x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ,所以tanα+tanβ=-3a,tanαtanβ=3a+1,所以tan(α+β)=QUOTE=1.又因为α,β∈QUOTE,a>1,则tanα+tanβ=-3a<0,tanαtanβ=3a+1>0,所以tanα<0,tanβ<0,所以α,β∈QUOTE,所以α+β∈QUOTE,结合tan(α+β)=1,所以α+β=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若tanα=2,则tanQUOTE的值是________.

【解析】因为tanα=2,tanQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,如图所示的“勾股圆方图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若小正方形面积为1,大正方形面积为25,直角三角形中较大的锐角为θ,则tanQUOTE=________.

【解析】设直角三角形较短的直角边长为a,则较长的直角边长为a+1,斜边长是5,依据勾股定理得a2+(a+1)2=25,解方程得a=3,直角三角形中较大的锐角为θ,tanθ=QUOTE,则tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列各式的值:(1)QUOTE.(2)(1+tan25°)(1+tan20°).【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=-QUOTE.(2)原式=1+tan20°+tan25°+tan25°tan20°=tan(20°+25°)(1-tan20°tan25°)+1+tan25°·tan20°=2.10.已知tanα=QUOTE,tanβ=-2,且0<α<QUOTE<β<π,求(1)tan(α-β)的值.(2)角α+β的值.【解析】(1)tan(α-β)=QUOTE=QUOTE=7.(2)因为tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-1,又0<α<QUOTE,QUOTE<β<π,所以QUOTE<α+β<QUOTEπ,所以α+β=QUOTEπ.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若tanQUOTE=QUOTE,则tanα= ()A.2 B.-2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.tanα=tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.2.当θ∈QUOTE时,若cosQUOTE=-QUOTE,则tanQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.因为θ∈(0,π),所以-θ∈(-π,0),所以QUOTE-θ∈QUOTE,因为cosQUOTE=-QUOTE<0,所以QUOTE-θ∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=-tanQUOTE=-QUOTE=QUOTE.3.在△ABC中,若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值是 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.由tanAtanB=tanA+tanB+1,得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),所以tan(A+B)=QUOTE=-1,因为tan(A+B)=-tanC.所以tanC=1.又因为0<C<π,所以C=QUOTE,cosC=cosQUOTE=QUOTE.4.(多选题)关于函数f(x)=QUOTE,下列说法正确的是 ()A.函数的最小正周期为πB.函数图象关于点QUOTE对称C.函数图象关于直线x=QUOTE对称D.函数的定义域为QUOTE【解析】选A、B、D.因为函数f(x)=QUOTE=tanQUOTE,所以函数的最小正周期为π,A正确.由x+QUOTE=QUOTE,k∈Z⇒x=QUOTE-QUOTE,k∈Z,所以函数的图象关于点QUOTE,k∈Z对称,B正确.正切函数的图象没有对称轴,C不正确.由x+QUOTE≠QUOTE+kπ,k∈Z,得x≠QUOTE+kπ,k∈Z,所以函数的定义域为QUOTE,D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°=________.

【解析】tan20°+tan40°+QUOTEtan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+QUOTEtan20°tan40°=QUOTE.答案:QUOTE6.若α+β=QUOTE,则(1-tanα)(1-tanβ)=________.

【解析】(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanα·tanβ.又tan(α+β)=tanQUOTE=-1=QUOTE,所以tanα+tanβ=tanαtanβ-1,所以(1-tanα)(1-tanβ)=1+1-tanαtanβ+tanαtanβ=2.答案:27.若0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,且tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE,则α+β的值为________.

【解析】由tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE得tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=1,因为0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,所以0<α+β<π,则α+β=QUOTE.答案:QUOTE8.已知锐角α,β满意α+2β=QUOTEπ,若tanQUOTEtanβ=2-QUOTE,则α=________,β=________.

【解析】由锐角α和β,α+2β=QUOTEπ,得QUOTE+β=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE.由tanQUOTEtanβ=2-QUOTE得tanQUOTE+tanβ=3-QUOTE.所以tanQUOTE,tanβ是方程x2-(3-QUOTE)x+2-QUOTE=0的两个根,解得x1=1,x2=2-QUOTE.因为0<α<QUOTE,则0<tanQUOTE<1,所以tanQUOTE≠1,即tanQUOTE=2-QUOTE,tanβ=1.又因为0<β<QUOTE,则β=QUOTE,代入α+2β=QUOTE,得α=QUOTE,所以锐角α=QUOTE,β=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=QUOTE,求QUOTE的值.【解析】因为sin(α+β)=QUOTE,所以sinαcosβ+cosαsinβ=QUOTE. ①因为sin(α-β)=QUOTE,所以sinαcosβ-cosαsinβ=QUOTE. ②由①,②解得sinαcosβ=QUOTE,cosαsinβ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=5.10.在△ABC中,求证:tanQUOTEtanQUOTE+tanQUOTEtanQUOTE+tanQUOTEtanQUOTE=1.【证明】因为A+B+C=180°,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=90°.所以QUOTE=90°-QUOTE.所以tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.所以tanQUOTE·tanQUOTE=1.所以QUOTE=1,所以tanQUOTEtanQUOTE+tanQUO