2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直素养检测含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养检测二十九直线与直线垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论肯定正确的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故解除A,2.设P是直线l外肯定点,过点P且与l成30°角的异面直线 ()A.有多数条 B.有两条C.至多有两条 D.有一条【解析】选A.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的全部母线都与l成30°角.3.如图是一个正方体的平面绽开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为 ()A.相交 B.平行C.异面而且垂直 D.异面但不垂直【解析】选D.将绽开图还原为正方体,如图所示.4.(多选题)如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1A.EF⊥BB1 B.EF⊥BDC.EF与CD异面 D.EF与A1C1【解析】选ABC.连接A1B,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以EF是△A1BC1的中位线,所以EF∥A1C1二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线;以上四个说法中,正确说法的序号是__________.

【解析】在①中,直线BM与ED为异面直线,故①不正确.在②中,由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线,故②正确.在③中,由条件可得四边形BCNE为平行四边形,故CN与BE平行,故③不正确.在④中,由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线,故④正确.综上②④正确.答案:②④6.(双空题)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满意条件________时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满意条件________时,四边形EFGH是正方形.

【解析】易知EH∥BD∥FG,且EH=QUOTEBD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=QUOTEAC=HG,明显四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满意EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满意EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BDAC=BD且AC⊥BD三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.【解析】如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别为BC,AD的中点,AB=CD,所以EG∥CD,GF∥AB,且EG=QUOTECD,GF=QUOTEAB.所以∠GFE就是EF与AB所成的角,EG=GF.因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°.所以△EFG为等腰直角三角形.所以∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1.【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2QUOTE,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=QUOTEAC.因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2QUOTE,∠ABC=120°,所以AC=2QUOTE×sin60°×2=6,所以AD1=QUOTEAC=3QUOTE,所以AA1=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成θ角的取值范围是 ()A.0°<θ<90° B.0°<θ≤90°C.0°≤θ≤60° D.0°<θ≤60°【解析】选D.如图,连接CD′,则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP,由图可知,当P点与A点重合时,θ=60°,当P点无限接近D′点时,θ趋近于0°,由于是异面直线,故θ≠0°.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选D.过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=QUOTEa,ME=QUOTEa,A1E=QUOTEa,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为QUOTE.则QUOTE的值为 ()A.3 B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选A.连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1∠A1BC1.令AA1=t,则A1B=BC1=QUOTE,A1C1=QUOTE.cos∠A1BC1=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以t2=9,t=3,即AA1=3.所以QUOTE=3.4.(多选题)一个正方体纸盒绽开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是 ()A.AB⊥EFB.AB与CM所成的角为60°C.EF与MN是异面直线D.MN∥CD【解析】选AC.把正方体平面绽开图还原为原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为________【解析】如图,连接A1N,则A1N∥BM,所以∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,所以A1N=C1N=QUOTE,在△A1NC1中,由余弦定理可得:cos∠A1NC1=QUOTE=QUOTE.即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为QUOTE.答案:QUOTE6.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为________【解析】如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.因为△DBB1为直角三角形,所以tan∠BB1D=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线共有________【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1答案:88.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C,EG∥BC,EG=QUOTEBC,故∠EFG即为EF与C1C在Rt△EFG中,cos∠EFG=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.正四棱锥P-ABCD的全部棱长均相等,E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.【解析】连接AC,BD相交于O,连接OE,则O为AC的中点,因为E是PC的中点,所以OE是△PAC的中位线,则OEQUOTEPA,则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,设四棱锥的棱长为1,则OE=QUOTEPA=QUOTE,OB=QUOTEBD=QUOTE,BE=QUOTE,则cos∠OEB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD求证:CD1⊥EF.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG