天津市河西区2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

PAGEPAGE15天津市河西区2024-2025学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共9小题）.1.假如，是两个单位向量，则与肯定（）A.相等 B.平行 C.方向相同 D.长度相等【答案】D【解析】【分析】依据，是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可推断答案．【详解】因为，是两个单位向量；所以其模长相等，方向不定；故选：D．【点睛】本题主要考查平面对量的概念和关系，还考查了理解辨析的实力，属于基础题。2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】解：因为选C3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看竞赛的状况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数01234567观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（）A.表中m的数值为8B.估计观看竞赛不低于4场的学生约为360人C.估计观看竞赛不低于4场的学生约为720人D.估计观看竞赛场数众数为2【答案】B【解析】【分析】由频率分布表的性质，求出m＝12,否定A;先由频率分布表求出观看竞赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看竞赛不低于4场的学生约为360人；出现频率最高的为3．即可作出选择.【详解】由频率分布表的性质，得：m＝100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2＝12，故A错误；∵观看竞赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%＝36%，∴估计观看竞赛不低于4场的学生约为：1000×36%＝360人，故B正确，C错误；出现频率最高的为3．故D错误；故选：B．【点睛】本题考查频率分布表以及利用频率分布表估计人数与众数，考查基本分析推断实力，属基础题.4.甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事务为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，依据并事务的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，依据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事务为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事务的理解，属于基础题.5.若为虚数单位，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为，即，因为为虚数单位，所以，故选C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.6.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30% B.10% C.3% D.不能确定【答案】C【解析】鸡蛋开支占食品开支，小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为7.设A、B是两个概率大于0的随机事务，则下列论述正确的是（）A.事务A⊆B，则P（A）＜P（B）B.若A和B互斥，则A和B肯定相互独立C.若A和B相互独立，则A和B肯定不互斥D.P（A）+P（B）≤1【答案】C【解析】【分析】依据事务的包含关系，对立事务与相互独立事务的概率与性质进行推断．【详解】若事务B包含事务A，则P（A）≤P（B），故A错误；若事务A、B互斥，则P（AB）＝0，若事务A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；若事务A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.8.设在中,角所对的边分别为,若,则的形态为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（肯定要留意探讨钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知向量，是两个不共线的向量，且向量m3与（2﹣m）共线，则实数m的值为（）A.﹣1或3 B. C.﹣1或4 D.3或4【答案】A【解析】分析】由向量共线可得存在实数k使得m3k[（2﹣m）]，整理，利用平面对量基本定理列关于k，m的方程组，解出即可.【详解】解：∵向量m3与（2﹣m）共线，∴存在实数k使得：m3k[（2﹣m）]，化为：（m﹣k）[﹣3﹣k（2﹣m）]，∵向量，是两个不共线的向量，∴，解得m＝3或﹣1.故选：A.【点睛】本题考查向量共线定理的应用以及平面对量基本定理的应用，是基础题.二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10.i是虚数单位，复数___________.【答案】4–i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.11.某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析】采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.12.将一颗质地匀称的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，其次次出现的点数为y．则事务“x+y≤3”的概率为_____．【答案】【解析】【分析】基本领件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事务“x+y≤3”包含的基本领件（x，y）有3个，由此能求出事务“x+y≤3”的概率．【详解】将一颗质地匀称的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，其次次出现的点数为y．基本领件总数n＝6×6＝36，事务“x+y≤3”包含的基本领件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共3个，则事务“x+y≤3”的概率为p．故答案为：．【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解实力，属基础题.13.在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=【答案】：2【解析】【详解】因为已知两边及其夹角，所以干脆用余弦定理得b=2.14.已知，是夹角为的两个单位向量，＝－2，＝k＋，若·＝0，则实数k的值为________．【答案】【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，，所以即为15.如图，在平面四边形中，，，，.若点为上的动点，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，，所以又因为，所以当时，取得最小值为．【点睛】本题主要考查平面对量基本定理及坐标表示、平面对量的数量积以及直线与方程．三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．16.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．依据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人日加工零件数落在区间（30，35]的概率．【答案】（1）n1＝7，f1＝0.28；n2＝2，f2＝0.08；（2）见解析（3）0.5904【解析】【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）依据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事务可求概率．【详解】（1）（40，45]的频数n1＝7，频率f1＝0.28；（45，50]的频数n2＝2，频率f2＝0.08；（2）分组频数频率频率/组距[25，30]30.120.024（30，35]50.200.04（35，40]80.320.064（40，45]70.280.056（45，50]20.080.016绘制频率分布直方图如图所示：（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事务A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事务，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，0.4096，∴，∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率0.5904．【点睛】本题考查频率分布表、频率分布直方图、求事务的概率，属于中档题.17.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）设事务A表示“甲猜对”，事务B表示“乙猜对”，求出，，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：，由此能求出结果．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果.【详解】（1）设事务A表示“甲猜对”，事务B表示“乙猜对”，则P（A），P（B），∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P（A）＝P（A）P（）+P（）P（B）（1）．（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：P（）＝P（）P（）＝（1）（1）【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事务概率乘法公式和互斥事务概率加法公式等基础学问，考查运算求解实力，是基础题.18.在△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B＝30°，b，c＝2，解这个三角形．【答案】a1，A＝15°，C＝135°或，A＝105°，C＝45°．【解析】【分析】依据正弦定理求得C，进而得到A，依据余弦定理求得a即可．【详解】解：由正弦定理可得sinCsinB，因为b＜c，则C＝135°或45°，所以A＝15°或105°；依据余弦定理可得cosB，即，解得a1或1，时，，时，．故该三角形a1，A＝15°，C＝135°或a1，A＝105°，C＝45°．【点睛】本题考查解三角形，确定选用公式的依次是解题关键．本题依据已知条件先用正弦定理求出，从而得角，然后由余弦定理求出．19.已知（2，1），（1，7），（5，1），设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）（1）求使取到最小值时的；（2）依据（1）中求出的点C，求cos∠ACB．【答案】（1）；（2）cos∠ACB．【解析】【分析】（1）依据题意设点，从而将数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；（2）依据（1）中的点C，可以求得，的坐标，利用向量的数量积即可求得cos∠ACB的值．【详解】（1）∵，则直线OP的方程为y，∵C是直线OP上的一点，则设点，∴，∴（1﹣x）（5﹣x）+（7）（1），∴当x＝4时，取到最小值，此时C（4，2），∴；（2）由（1）可知，C（4，2），∴，∴，故cos∠ACB．【点睛】本题考查向量数量积坐标表示、向量夹角坐标表示、二次函数最值，考查基本分析求角实力，属基础题.20.设z1是虚数，z2＝z1是实数，且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；（2）若ω，求证ω为纯虚数；（3）求z2﹣ω2的最小值．【答案】（1）|z1|＝1，取值范围为[，]．（2）见解析（3）1【解析】分析】（1）设z1代数形式代入z2，依据z2是实数，求得|z1|，再依据﹣1≤z2≤1，求得z1的实部的取值范围；（2）依据复数除法法则化简ω，再依据纯虚数概念推断证明；（3）先化简z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．【详解】（1）设z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），则z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）