2022-2023学年原创全国高中数学真题模拟训练- 导数与极限

2022-2023学年届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限

三解答题（第一部分）

L（广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末

联考)设函数/(%)=Inx-px+1

(I)求函数/⑶的极值点；

(n)当p>0时，若对任意的x>0,恒有八幻《0,求P的取值范

围；

/TTT\口口.In22In3"Inn~2—n—1..

(HI)证明：—5-+—++—5-<---------(neN,Tn>2).

2232n22(/7+1)

解：(1)•.•/(力=11^-0小+1,「./(力的定义域为(0,+8),

fXx)=--p=匕在当p«0H寸，f(x)>0J(x)在Q”)上无极值点

XX

当P>0时，令/（X）=（），.•.X」£（O,”）/（X）、f（x）施的变化情况如

P

下表：

X(0,与(-,+?)

ppp

f\x)+0-

f(x)极大值

从上表可以看出：当P>O时，/*）有唯一的极大值点％

P

（n）当P>O时在X』处取得极大值/d）=Iniz此极大值也是

PPP

最大值，

要使/（X）£o恒成立，只需fd）=In-?0,・・.p3I

PP

・•.P的取值范围为［1，+8)

(m)令p=i,由(n)知,Inx-x+1<0,/.Inx<x-LvA?Gn>2

InA?2<w2-1,

=（"1）一（涯+”+…+记）

+----

2n-n-1

2(〃+1)

••・结论成立

2、（江苏省启东中学2022-2023学年年高三综合测试一）已知

/*）=/+加+仃+3在（—0,0］上是增函数,在［0,2］上是减函数,且

/（x）=0有三个根以2,以a42训0

（1）求。的值，并求出〃和〃的取值范围。

（2）求证/⑴22。

（3）求|4-al的取值范围，并写出当R-al取最小值时的/⑴的

解析式。

解：（1）・・・/a）在（-8,0］上是增函数,在（0,2］上是减函数

.•”二0是/(幻=0的根

又f\x)=3x2+2bx+c

"'(0)=0

/.c=0

又:/。)=0的根为/2,夕

・••A2)=0

.•.8+4gd=0

Xv/X2)<0

.\12+4Z?<0

/.Z?<-3

又d二一8—4力

:.d>4

(2)•.・/⑴=l+b+d/(2)=0

，d=—8-46且bW-3

.•J⑴=1+匕一8-46

=-l-3b

>2

(3)・・・/3)=0有三根圆2,夕

f(x)=(x-a)(x-2)(x-P)

二d-g+夕+2).x2-lap

a++2=-b

,|£一2|2=(。+6)2—4羽

=3+2)2+21

=〃+48+4—16—汕

=b2-^b-U

=(Z?-2)2-16

5L,：b<-3:.\/7-a|>3

当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4

/(X)=X3-3X2+4

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知函数f(x)=x3+ax2+b的图

象在点P(l,0)处的切线与直线3x+y=0平行,

(1)求常数a、b的值；

(2)求函数f(x)在区间［0用上的最小值和最大值。(t>0)解：(1)a二

-3,b=2;(2)当2<t<3时,f(x)的最大值为f(0)=2;当t>3时,

f(x)的最大值为f(t)=t3-3t2+2;当x=2时,f(x)的最小值为f(2)=-

2。

5、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知/(x)=丁+；/_2/工一4

()为常数，且6>0)有极大值-|,

(I)求)的值；

(n)求曲线y=/(x)的斜率为2的切线方程.

解：(I)f\x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m)=0

则x=一m,x=—m

3

由列表得：

/2、22、

X(-00,-w)-m—m(―m,+oo)

333

f\x)4-0一0+

极大极小

f(x)

值值

f(-ni)=-w3+-w3+27n3-4=——,/n=1.

(口)由(I)知/(工)=/一21一4,贝[]:(幻=3/+工-2=2

「•x=1或x=

由/⑴=-|,八一$=一称,

所以切线方程为：y+|=2(x-l)BP4x-2y-13=0；

或)，+1^=2(x+*[l54x-27y-4=0

4、(安徽省皖南八校2022-2023学年届高三第一次联考)已知函数

/(%)=#一1工2+2%+1且A，z是/(x)的两个极值点，0<^1<1<x2<3,

(1)求。的取值范围；

2

(2)^|Xj-x2|>m-2Z?/n-2，对be［-1』恒成立。求实数机的取

值范围；

解：(1)ff(x)=x2-ax+2，由题知：<‘")」"+2<°=3<〃<?；

//(3)=9-3^+2>03

(2)由(1)知：|项一工21=da2-8>1,

2

."2_2"L2Kl对。£［-川恒成立，所以：卜+2/71-3~°^>-1</«<1

m2-2/n-3<0

5、(江西省五校2022-2023学年届高三开学缺考)已知函数

3

/(x)=ln(2+3x)--x2.

(I)求在［0,1］上的极值；

(II)若对任意不等式-lnx|+ln［尸(x)+3x］>。成立，求实数3

的取值范围；

(III)若关于X的方程/(x)=-2x+b在［0,1］上恰有两个不同的实根,

求实数6的取值范围.

3与3(xi1)(3X1)

解：⑴f\x)=-----3x=---------------

2+3x3x+2

令/«)=o得x==-1(舍去)

：.^)<x<g时,r(%)>oj(x)单调递增；

当;<XV1时J'(x)<O,/(A)单调递减.

.•./(9=In3-3为函物(幻在［0,1］上的极大值

(II)由|a-lnx|+ln"(x)+3x］>0得

33

a>Inx-In-----或avlnx+ln—:——.......①

2+3x2+3x

-^-=10^1

设h(x)=Inx-In

2+3x3

33x

g(x)=lnx+ln---------=In----------,

2+3x2+3x

依题意知a>/z(x)或。v85)在1e[若上恒成立,

_2+3x3(2+3x)-3x-3_2

>0

~(2+3x)2--x(2+3x)

h\x)=-J,(2+6x)=2+6>0,

22、

2x+3x32x+3x

.♦.g(X)与/心)都出上单增，要使不等式①成立，

63

当且仅当a>/?(』)或a<g('),即a>In-^a<In—.

3635

(III)由f(x)--2x+b=>ln(2+3x)--x24-2x-Z?=0.

2

QQGTC2

:

令0(x)=ln(2+3x)--x2+2x-ZJ,则(p'(x)=一---3x+2=.......-

22+3x2+3x

当xw[0,"0）＞0,于是°。）在［0,1『］上递增；

当xe［丁-1］时,°'（x）＜0,于是9（x）在［丁-J］上递减

/y/y

而。（半＞。（。）,。（学＞以1）；

.­./«=-2x+卿Mx）=0在［0J］恰有两个不同实根等价于

8(0)=In2-Z?<0

79fl

ln(2+V7)--+--b>0

66

9⑴=ln5+-^-Z?<0

/.ln5+-<b<ln(2+V7)--+—

263

6、（安徽省蚌埠二中2022-2023学年届高三8月月考）求下列各式的

的极限值

①lim西正1②lim(

答：①g②5

7、(四川省巴蜀联盟2022-2023学年届高三年级第二次联考)设Kx)

="、八+1(3>0)为奇函数，且|f(X)|min=2及，数列&｝与｛bn｝

x+c

满足如下关系：ai=2,%+尸驾口，"二2二|.

2%+1

(1)求£(乂)的解析表达式；

(2)证明：当nwN*时，有bn4(；)〃.

解：(1)由f(x)是奇函数，得b=c=0,由|f(x)mm|=2收，得a=2,

」——12

。“+1—1=2%=4；-+1

4+1+1a：+11］晨+2凡+1

•.也二。,3=…二环,而Z?i=1,••也二(；/

当n=l时，也二；,命题成立，

当n>2时，=2门t=(1+1)n-1=1+c,^+c3+…+c：二;>

1+cLkn

'<夕'即bn4（；）〃.

8、（四川省成都市新都一中高2022-2023学年级一诊适应性测试）

qp

设=px---2历*，且〃e）=qe---2（e为自然对数的

xe

底数）

（1）求夕与q的关系；

（2）若尸（M在其定义域内为单调函数，求夕的取值范围；

qp

解：⑴由题意得/（e）=pe---2/ne=qe---2

11

P（夕-q）（e+一）=0而e+一工0

:・p=q......4分

p

（II）由（I）知二夕x--2/nx

X

p2px2-2x+p

令/7（A）=a2-2x+夕，要使f⑻在其定义域（0,+¥）内为单调函

数，只需/XM在（0,+¥）内满足：/7（A）>0或/7（A）<0恒成立.

2x

①当夕=0时，，（M=-2x.：x>0，二/XM<0,（M=--

<0,

."（M在（0,+¥）内为单调递减，故夕=0适合题意.

②当夕＞0时，/XM=夕*2-2x+夕，其图象为开口向上的抛物线,

11

对称轴为X=-£(0,+¥),p--

PP

1

只需夕—一之1,即合1时力⑶“，r

p

."(M在(0,+¥)内为单调递增，

故夕21适合题意.

③当夕＜0时，从册=px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线,

1

对称轴为X二一1(0,+¥)

P

只需"0)40,即p＜0时/7(A)＜0在(0,+¥)恒成立.

故夕＜0适合题意...........故分

综上可得，行1或后0......12分

另解：(II)由(I)知f(吊=px---2/nx

p212

fM=p+—■一=p(l+w).一

%2%%2x

要使f(K在其定义域。+¥)内为单调函数，只需/(M在(0,+¥)

内满足：f(A)>0或f(A)<0恒成立..........6分

A12A2A2

由f(A)>0U/?(l+-)>0Up>-Up>(-)max,x>

XX，，

x+~x+一

XX

0

222

..--<----7==1,且X=1时等号成立，故(--)max=

1

.•.P>1......9分

人12A2x2x

由/(Mwou夕Q+工)-：woupwup<(--

x>0

2x2x

而:一~>0且x—0时，——~—0,故p<0.......11

2

%+1x2+1

分

综上可得，行1或夕40

9、(四川省成都市一诊)已知函数/㈤=Inx,g(x)=4a>0),设

x

产⑶"3+以力.

(I)求函数FQ)的单调区间；

(n)若以函数)，=尸(幻(工£(0,3])图像上任意一点尸(为,)，。)为切点的

切线的斜率”3恒成立，求实数。的最小值；

(m)是否存在实数m,使得函数,v=g(含)+m-1的图像与函数

),="+号的图像恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值

范围；若不存在，说明理由。

解：(I)r(x)=/(x)+^(x)=lnx+^(x>0),尸(力=：一£=^^(x>o)

./a>0,由尸(x)>O=xw(a,+oo),/(x)在(a,+co)上单调递增。

由?(x)vO=>xw(O,a)一,•尸(x)在(0,。)上单调递减。

.•.F(x)的单调递减区间为(0M),单调递增区间为侬”)。

(H)尸(力=亨(0­«3),

左=尸(%)=/«3)1§^立oa2(—〈片+/

%'I2/max

当天=1时，-;片+/取得最大值;o

・J•-1

••。之],••〃min=-

(III)若y=?(："]।利1=|利|的图象与

\x+ij22

y=/(l+x2)=ln(x2+l)的图象恰有四个不同得交点,即

gf+m_g=]n(x2+i)有四个不同的根亦即加=]n(f+g有四个

不同的根。

令G(x)=ln(x2+1)_L2+,，

22

3

贝"。)=言yr=2x-x-x-x(x+l)(x-l)

i二;

X+1X+1

当X变化时，G[x)、G(x)的变化情况如下表:

X(-00,-1)(T0)(0,1)(1,+co)

&(冗)的符号+-+-

G")的单调//

性

由表格知：G(x)极小值=G(0)=g,G(%)极大值=G6=G(—l)=ln2>0

画出草图和验证G⑵=G(-2)=ln5-2+g<g可知，当/〃Ln2卜寸，

y=G(x)与y=相恰有四个不同的交点。

当/nefiln21时,y=g-^―+〃1=；/+加一；的图象与

y=/(l+x2)=ln(x2+1)的图象恰有四个不同的交点。

10、(四川省乐山市2022-2023学年届第一次调研考试)已知函数

/(x)=lnx,g(x)=~ax2-bx,a^Q

①若函数火x)=/(x)+g(x)在处取得极值-2,试求0"的值；

②若。=2时，函数以x)=/(x)+ga)存在单调递减区间,求实数。的

取值范围；

③设/(X)的图象a与g(x)的图象G交于p,Q两点，过线段PQ

的中点作平行于y轴的直线，分别与％C?交于M、N两点,试判断

G在M的切线与c2在N的切线是否平行？

答：①《二2;②〃的范围是》0或-1<°<0;③略，G在M的切线与c?

S=3

在N的切线不可能平行。

11、(四川省成都市新都一中高2022-2023学年级12月月考)设函数

/(x)=-cos2x-4rsin^cos-1+4r3+z2-3^+4,xeR,

其中|仁1,将/w的最小值记为帅.

⑴求的表达式；

⑵对于区间［-1,1］中的某个t,是否存在实数a,使得不等式帅

4a

4丁二成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t;如果不存

1+a2

在，请说明理由.

解析：(1)/(x)=-cos2x-4/sin^cos-^+4r3+r2-3r+4

=sin2x—l-2，sin+4/+r—3/+4=sin2x—2fsinx+产+4尸-3/4-3

=(sinx-r)2+4/3-3t+3.

由(sinx-1)2>0,|t|<l,故当sinx=t时，f(x)有最小值g(t),即

g(t)=4t3-3t+3.

(2)我们有g'⑴=12产-3=3(2/+l)(2r-l),-l<?<l.

列表如下：

1

(-2-

1111

t(-i，W(”)

-212

5)

g'⑴+0-0+

极大值g（-

1

G(t)/1极小值g（­）/

1111

由此可见，g（t）在区间（-1,-5）和£,1）单调增加，在区间（-5,5）

1

单调减小，极小值为g（5）=2,

又/-1）=-4-（-3）+3=2

故成。在［-1,1］上的最小值为2

4d4

注意到：对任意的实数3,^―=—7G[-2,2]

1+/1

a+~

a

4a1

当且仅当a=l时，心=2,对应的—I%,

14a

故当t=-1或彳时，这样的3存在，且8=1,使得成立

Z£+3^

1

而当3(-1,1］且t巧时，这样的3不存在.

12、(安徽省淮南市2022-2023学年届高三第一次模拟考试)已知函

数八M=ln(2+3M-浮..

(1)求f(M在［0,1］上的极值；

(2)若对任意痣匚,不等式|a--1”U(M+3M>0

63

成立，求实数d的取值范围；

(3港关于x的方程f(M=-2x+6在［0,1］上恰有两个不同的实根,

求实数b的取值范围.

解：(1)(3--3(x+l)(3x-l)

2+3x3x+2

令广(X)=。得X=：或1=-1(舍去)

.•.却WXVg时J'(x)>0,/(A-)单调递增；

当gvx41时，/(幻<0J(x)单调递减.

・•・函数/(外在［0,1］上有极大值/('=ln3--

66分

(2)由|a-lnx|-ln"，(x)+3x]>0得

33

avInx-In—:——或。>Inx+ln—:——...............①

2+3x2+3x

设h(x)=Inx-In---=In2'+标

2+3x3

33x

g(x)=Inx+ln-----=In------

2+3x2+3x

依题意知a<力（X）或4>ga）在XG［*］上恒成立,

63

2+3x3(2+3x)-3x-3

gfM

3x(2+3x)2

32i6x

"(x)=•—(2+6x)=>0

2x+3x232x+3x2

.•.g(x)与力⑶都在上单增,要使不等式①成立，

63

当且仅当a<力(工)或a>gd),即a<In色或a>In-..........10分

63363

(3)由f(x)=—2x+b=>ln(2+3x)--x2+2x-b=0.

QQ**7Cl2

令(p(x)=ln(2+3x)——/+2x-b,则(p'(x)=-------3x+2=....-

22+3x2+3x

当xE［0,4］时/（x）>0,于是0（X）在［0,（］上递增；

E万、

当xw附,d（x）<0,于是9（x）在［-yJ］上递减

.•./（x）=-2x+卿（p（x）=0在［0J］恰有两个不同实根等价于

9(0)=In2-Z?<0

<。(当=10(2+疗)_\+^^_方>0

(p(X)=ln5+^-Z?<0

所以,心+^―6+^^.

26

13、(安徽省巢湖市2022-2023学年届高三第二次教学质量检测)

设函数/(x)=(l+x)2-ln(l+x)2.

(I)求/⑶的单调区间；

(2)若当xedTe-l]时，设函数>，=/(幻图象上任意一点处的切

e

线的倾斜角为。，求8的取值范围；

(田)若关于I的方程/⑴”+…在区间[0,2]上恰好有两个相异

的实根，求实数〃的取值范围。

解：(1)函数的定义域为域8,-l)U(-l,+8)

/3=2[(x+])_7119k2x(x：2)..............2分

(x+1)2x+\

由尸(x)>0得-2vxv-l或r>0,由/(x)<0得xv-减-1vxvO.

所以函数/a)的递增区间是(-2,-1),(0,+8),递减区间是(-

%-2),(-1,0)…4分

(II)a〃(x)=/3=2(l+x)-；^-(xHT),则心力=2+->0，故M")为

1+x(1+x)

区间人."上增函数，所以3)=小)工2*2],根据导数的几何

eee

意义可知

tan^e[—-2^,2e--],0€[0,arctan(2e—2)]0[万一arc【an(2e-2),4)................9

eeee

分

22

(W)方程f(x)=x+x+arBPx-«+l-ln(l+x)=0

iB?(x)=x-«+l-ln(l+x)2,xG［0,2］,贝!Jg'(x)=［———=^—

t1+xx+\

由g'(x)>。得.vv-1或x>l,由g'(x)<0得-1vxvl

・•・g(x)在［0,1］上递减，在［1,2］递

增................................11分

为使&0=丁+…在［0,2］上恰好有两个相异的实根，只须式幻=0

在［0,1)和(1,2］上各有一个实根，于是有%⑴<。解得2-ln2<a<3-21n3.

g⑵20

14、(北京市朝阳区2022-2023学年年高三数学一模)设函数

f(x)=lnx+x2+6U：.

1

(I)若乂=］时，小)取得极值，求〃的值；

(n)若/⑴在其定义域内为增函数，求〃的取值范围；

(ni)设g(x)=/(x)-x2+1,当〃=-1时，证明g(x)£0在其定义域内

恒成立,并证明惇+惇+L+电工v二1(〃纳/2).

23〜n"2(〃+1)

缶刀.，、

用牛：f,\x/)=-1+c2x+a=-2-x-----+------+--1-,

XX

(I)因为时，/*)取得极值，所以八；)=。，

即2+1+〃=0,故a=—3.......................................................3分

(n)/⑴的定义域为(。+8).

方程2f+办+1=0的判别式△=.2_8,

(1)当AKO,即a时，4-ar+l>0,

f\x)之o在(a+⑹内恒成立，此时/⑴为增函数.

(2)当△>(),即。<-2显或〃>2夜时，

要使〃幻在定义域(。+8)内为增函数，

只需在(。+00)内有2』+ar+12o即可，

设h(x}=2x2+ar+l,

h(0)=1>0,

由，a得a>0,所以〃>2夜.

-----<0

2x2

由(1)(2)可知，若/⑴在其定义域内为增函数，〃的取值范围是

[―2\/2,4-oo).

………9分

(m)证明：g(x)=lnx+ax+1,当。=-1时，g(x)=lnx-x+1,其定

义域是(。+8),

令g4x)=L1=0,得<=1.则g(x)在％=1处取得极大值，也是最大

X

值.

而g⑴二0.所以g(x)£。在(a+oo)上恒成立因此Inx?x1.

因为〃纳,〃2,所以In/?/].则吧？勺1.1.

n~n~n~

r-r-piln22ln32Ini1、

所以亍+丁+fL+f?(l寸(Z11-+L(1-少

二(〃-D-百十L+少

<(〃-)-(---+----+L+------)

2仓电34n(n+1)

.八/I1、2〃〜-〃-1

=(n-1)-(-----------)=--------------,

2〃+I25+1)

所以结论成立.

15、(北京市崇文区2022-2023学年年高三统一练习一)已知定义在

/?上的函数73=x2(ax-3),其中a为常数.

(I)若是函数八")的一个极值点，求8的值；

(II)若函数/⑴在区间(-1,0)上是增函数，求d的取值范围；

若函数十)=/(幻+/。］在处取得最大值，求正

(III)0)/£2,X=0*

数5的取值范围.

解：(I)/(x)=ax3-3x2,f\x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

丁x=1是/1(x)的一个极值点，.,・/⑴=0,二。=2；........................3分

(II)①当a=0时,〃%)=-3宇在区间(-1,0)上是增函数,.-.a=0

符合题意；

92

②当a*00寸,/(幻=3ax(x-£)留'(幻=0得：再=0,超=一；

aa

当8>0时，对任意xe(T,0),尸(x)>0,「.a>0符合题意；

当8<0时，当xWo)时—<。<0符合题意；

综上所述，42..................................................8分

(III)a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,xe[0,2].

g'(x)=3ax2+2(3a—3)x-6=3[ar2+2(a-l)x-2],.......................10分

令g")=o,即”2+2(a-l)x-2=0(*),显然有A=4〃+4>0.

设方程(*)的两个根为$，w，由(*)式得./=-2<0,不妨设罚v0<与.

a

当0<々<2时，g区)为极小值，所以g(x)在［0,2］上的最大值只能为

g(0)或g(2)；

当当之2时，由于g(x)在［0,2］上是单调递减函数，所以最大值为g(0),

所以在［0,2］上的最大值只能为g(o)或g⑵，

又已知以X)在x=0处取得最大值,所以g(0)Ng⑵,...............12

分

即0220a-24,解得〃］，又因为。>0,所以a£(0,1j.

16、(北京市东城区2022-2023学年年高三综合练习一)已知函数

人加卜〜〜”山，在后1处连续

Inx,x>1

(I)求B的值；

(II)求函数/⑴的单调减区间；

(III)若不等式+c对一切xwR恒成立，求C的取值范围.

解：(1)由/⑶祗=1处连续,

可得l-l+a=lnl,故a=0........2分

(H)由⑴得/a)」1-/："

Inx.x>1.

当1时J'(x)=3/-2x,4/Xx)<0,nJ^0<x<—.

当x>l时/")=1，>0.

x

所以函数7(X)的单调减区间为0。)........7分

(III)设g(x)=f(x)-x=<：一"

\nx-x,x>1.

2

当％<1时,g，(x)=3x-2X-19

令g，(x)>0,可得x<>1,即x<-1;

令g\x)<0,可得一g<x<l.

可得(-8,-g)为函数g(x)的单调增区间为函数g(x)的单调减区间

当了>1吐/(幻=！-1,

X

故当x>时,g'(x)〈0.

可得(1,+8)为函数g(用的单调减区间

又函数g*)在X=1处连续，

于是函猴(幻的单调增区间为-8,-单调减区间为-g,+8).

所以函麴(刈的最大值为g(-1)=-工-‘十,二工，

3279327

要使不等处(x)Wx+c对一珈wR恒成立，

即g(x)<c对一切xGR恒成立，

又g(x)得,

故C的取值范围为陛福.

17、(北京市东城区2022-2023学年年高三综合练习二)已知3为实

数，函数f(x)=a(%2-or+a).

(1)求((0)的值；

(n)若>2,求函数八工)的单调区间.

(1)解：由((X)=ex(x2-ax+a)+ex(2x-a),

可得(。)=，［丁_(々_2)幻，

所以((0)=0.................................................7分

(2)解：当a>2时，外幻>0,可得工<0取>”2.

令广")<0,可得0cx<〃-2.

可知函数/⑴的单调增区间为(-8,0),(3-2,+8),单调减区

间为(0,3-2).

18、(北京市丰台区2022-2023学年年4月高三统一练习一)

设函数f㈤=0+4一2ln(l+x).

(I)求尸⑴的单调区间；

(n)若当工工―］时，不等式恒成立，求实数m

e

的取值范围；

(m)若关于x的方程“］)=X2+X+4在区间［0,2］上恰好有两个

相异的实根，求实数3的取值范围.

解：(I)函数的定义域为(-L+

8)................................................1分

「/(x)=2l(x+l)—!-]=2>¥),

x+1x+1

由r(x)>0，得A>0；由f,(x)<0,得

-l<x<0.............................3分

:1(M的递增区间是(0,+oo),递减区间是(・L

0)....................4分

(n)・.曲/")=至2=0,得x=0,x=-2(舍去)

JV+1

由(I)知f(M在［幻,。1上递减，在［。，ef上递增.

e

高三数学(理科)答

案第3页(共6页)

又/(Ll)=4+2,f(e-］)=e2-2,且/_2＞二+2・

eee

了.当.L,"i］时”(M的最大值为，2.

e

故当W＞?-2时，不等式f(切＜6恒成

立...................9分

(IH)方程/(x)"+x+4,x-a+l-21n(l+x)=0.

lS1?(x)=x-a+l-2In(l+x)/

1+xx+\

由gU)>0,得X>1或X<-1(舍去).由屋(彳)<0,得

一l<xvl・

・•・［M在QU上递减在12］上递增.

为使方程/⑴=在区间。2］上恰好有两个相异的实根，

只须g(x)=0在［0,1］和0,2］上各有一个实数根,于是有d；

g⑵20.

，

,.2-2In2<3-21n3/

「•实数d的取值范围是2-21n2<aK3-21n3.

19、(北京市西城区2022-2023学年年4月高三抽样测试)已知

函数/(x)=xlnx.

(I)求Ax)的最小值；

(n)若对所有都有〃幻之火-1,求实数。的取值范围.

(I)解：

/(X)的定义域为(0，+8),••…1分/(X)的导数/"(x)=l+lnx.........

3分

令f'(x)>。/解得X/；令八x)<0,解得0c

ee

从而f(X)在(0,j单调递减,在(I+8)单调递

增........5分

所以，当x=l时，fM取得最小值

e

.......6分

e

(n)解：

解法一：令g(x)=/(x)-(or-l),则

gXx)=f\x)-a=l-a+\nx,............8分

①若Hl,当x>l时，gr(x)=l-a+lnx>l-a>0,

故g⑶在(1,+8)上为增函数，

所以，x>l时,g(x)>g(l)=\-a>0,即

f(x)>ax-\.............10分

②若4>1,方程，0)=0的根为/=右，

此时，若xc(L>),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.

所以，xw(L/0)时,g(x)vg(l)=l-4Vo，即/(x)Vg-l,与题设

相矛盾.

............12分

综上，满足条件的。的取值范围是

(田，1]・..................13分

解法二：依题意，得在[L+8)上怛成立，

即不等式a<lnx4-i对于xe[L+QO)怛成

x

立........8分

令^(x)=lnx+-,则

x

・............io分

XXxyX)

当x>l时，因为=,

故g。)是(1,4-00)上的增函数，所以g(x)的最小值是

以1)=1,..................12分

从而。的取值范围是(YO，1].

20、(北京市西城区2022-2023学年年5月高三抽样测试)已知函

数——X(e为自然对数的底数)

(I)求“X)的最小值；

(n)设不等式的解集为P1且{W0C42}qP,求实数3

的取值范围；

(m)设.•，证明：或胃〈三。

⑴解：

/(X)的导数八x)=e'-l.

令/'(x)>0,解得x>0；令/'(x)<0,解得x<0.

从而/(x)在(-8,0)内单调递减，在(0,+8)内单调递增.

所以，当x=0时，/5)取得最小值1........3分

(II)解：

因为不等式/(x)>or的解集为P