数据包络分析综述

数据包络分析及其应用2012年12月20日1可编辑目录数据包络的概念简介1数据包络的算法及模型2数据包络的实例3课外延伸42可编辑数据包络的概念简介起源：

1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯)，W.W.Cooper(库伯)和E.Rhodes(罗兹)首先提出了数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，简称DEA）的方法，去评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。他们的第一个模型被命名为CCR模型。从生产函数角度看，这一模型是用来研究具有多个输入、特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法。3可编辑1984年R.D.Banker,A,Charnes和W,W,Cooper给出了一个被称为BCC的模型。1985年Charnes,Cooper和B,Golany，L.Seiford,J.Stutz给出了另一个模型（称为CCGSS模型），这两个模型是用来研究生产部门的间的“技术有效”的。1986年Charnes，Cooper和魏权龄为了进一步地估计“有效生产前沿面”，利用Charnes,Cooper和K.Kortanek于1962年首先提出的半无限规划理论，研究了具有无穷多个决策单元的情况，给出了一个新的数据包络模型——CCW模型．1987年Charnes,Cooper，魏权龄和黄志民又得到了称为锥比率的数据包络模型——CCWH模型。这一模型可以用来处理具有过多的输入及输出的情况，而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”。灵活的应用这一模型，可以将CCR模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队等等。这些模型以及新的模型正在被不断地进行完善和进一步发展。4可编辑数据包络分析(dataenvelopmentanalysis，DEA)

是一个对多投入\多产出的多个决策单元的效率评价方法。DEA是使用数学规划（包括线性规划、多目标规划、具有锥形结构的广义最优化、半无限规划、随机规划等）模型，评价具有多个输入、特别是多个输出的“部门”或“单位”（称为“决策单元”，简记DMU）间的相对有效性（称为DEA有效）。以“相对效率”概念为基础,以凸分析和线性规划为工具,根据多指标投入和多指标产出,对相同类型的单位(部门)进行相对有效性或效益评价的一种新的系统分析方法。根据对各DMU观察的数据判断DMU是否为DEA有效，本质上是判断DMU是否位于可能集的“生产前沿面”上。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。5可编辑数据包络的算法及模型6可编辑任何一个企业的相对生产率最优化模型如下：

1、评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。N个决策单元这n个企业及其输入-输出关系如下：CCR模型7可编辑……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p输出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m输入nj…21部门指标权数每个决策单元的效率评价指数定义为：

j=1,2,…,nCCR模型8可编辑CCR模型在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元（decisionmakingunit——DMU）。设：n个决策单元（j=1，2，…，n）每个决策单元有相同的m项投入（输入）（i=1，2，…，m）每个决策单元有相同的p项产出（输出）（r=1，2，…，p）

Xij——第j决策单元的第i项投入

yrj——第j决策单元的第r项产出衡量第j0

决策单元是否DEA有效9可编辑而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以所有决策单元的效率指标hj为约束，以第hj0个决策单元的效率指数为目标。一般说来，它越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p（1）CCR模型10可编辑有效解的解释：F(X)={f1(X),f2(X),…,fn(X)}如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)11可编辑有效性定义：对任何一个决策单元，它达到100%的效率是指：①在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类的输出；②要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。一个决策单元达到了100%的效率，该决策单元就是有效的，也就是有效的决策单元。无效性定义：（1）对任意（X，Y）∈T，并且，均有（2）对任意（X，Y）∈T，并且，均有这就是说，以较多的输入或较少的输出进行生产总是可能的。12可编辑既是技术有效,也是规模有效下面我们以单输入单输出的情况来说明DEA有效性的经济含义。首先叙述生产函数的概念。生产函数Y=f(X）表示在生产处于最好的理想状态时，当投入量为X,所能获得的最大输出。因此，生产函数图象上的点(X表示输入，Y表示输出)所对应的决策单元，从生产函数的角度看，是处于“技术有效”的状态。一般来说生产函数的图象如下:ABC既不是技术有效,也不是规模有效技术有效,但不是规模有效13可编辑BCC模型相应的生产可能集为14可编辑BCC模型由于投入产出效率的高低关乎到区域经济的可持续性和可竞争性，本文借助于DEA－BCC模型，以全国31个省份为研究对象，对其纯技术效率、规模效率和综合效率进行测算，结果显示其中有21个为DEA有效单元，10个为非DEA有效单元，并对非DEA有效单元进行投影求出有效目标值。因此，建议各区域减免区域要素的单边效应，明确资源的投入方向，注重市场主体特征异化，促进区域经济发展效率的提高。基于BCC模型的区域经济发展绩效评价研究，白雪，张明斗15可编辑

CCWH模型

1987年查恩斯，库伯，魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——CCWH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”。灵活地应用这一模型，可以将CCR模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队。

数据包络分析是一种非参数的统计分析的新方法.考虑到现有的具有多个独立子系统的YMK-DEA模型不能体现决策者的偏好,建立了体现决策者偏好的锥比率C2WH-YMK模型,并将它应用于中国制造业发展效率评价的研究中。CCWH-YMK模型及其在制造业发展评价中的应用段永瑞，田澎，张卫平16可编辑具有锥比率的CCWH模型假设有n个决策单元对应的输入数据和输出数据如下XY12…nCCWH模型17可编辑CCWH模型(P)结论:(1)若规划P存在最优解,满足(D)则称决策单元j0为弱DEA有效(C2WH)(2)若规划P存在最优解,满足则称决策单元j0为DEA有效(C2WH)18可编辑使用凸锥去度量决策单元的DEA有效性时,相应的生产可能集为:其中若令则锥比率模型(P)和(D)化为C2R模型(P)(D)可见C2WH模型是C2R模型的推广.CCWH模型19可编辑CCWY模型具有锥结构的半无限规划的模型20可编辑CCGSS模型

CCGSS模型，也称为加法模型，由CharnesA、CooperWW、GolanyB、SeifordL、StutzJ等人提出（取上述五人名字首字母命名该模型），是DEA（数据包络分析）模型中一种适合评价技术有效性和规模有效性的分析方法，通过数学模型来对各决策单元间的相对效率进行比较，对具有多个输入变量和输出变量的复杂系统的效率指标进行分析。耕地资源的投入产出恰恰是一个具有多种输入与输出的复杂系统。耕地的有效利用是以区域耕地资源科学配置和优化为前提，在有限的耕地面积上合理增加相关生产要素的投入(数量适宜且结构协调)，从而最大限度地挖掘耕地利用潜力并提高耕地利用的综合效益，而建立C2GS2模型恰恰可以从定量的角度，对耕地资源的利用效率进行直观的评价。基于CCGSS模型的耕地资源利用效率评价研究——以甘肃省六地市为例王海鸿，王丹21可编辑CCGSS模型(P)(D)该模型计算出的DMU效率是纯技术效率，反映DMU的纯技术效率状况，称为纯技术效率。设问题的最优解为λ*，s*-,s*+,σ*，则有如下结论：(1)若σ*=1，则DMUj0为弱DEA有效（C2GS2纯技术）。(2)若σ*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效(C2GS2纯技术)。考虑一对线性规划对偶问题：22可编辑线性规划(D)的经济解释是:在生产可能集T内,当产出Y0保持不变的情况下,尽量将投入量X0按同一比例σ减少.如果投入量X0不能按同一比例σ减少,即线性规划的最优值σ=1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0既为技术有效.反之,如果投入量X0能按同一比例σ减少,即线性规划的最优值σ<1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0不为技术有效.CCGSS模型的经济解释:(D)在这里之所以与C2R模型的情况不同,是因为生产可能集T的构成不满足“锥性”的公理假设.“锥性”的公理假设:对任意(X,Y)∈T,及数k≥0,均有这就是说,若以投入量X的k倍进行输入,那么产出量也以原来产出Y的k倍产出是可能的.23可编辑窗口分析法采用魏权龄在《DEA方法与模型的应用——数据包络分析(三)》中运用的窗口分法，将文章的数据分成3个窗口，窗口跨度为3年，

其中窗口1为2005～2007年的数据，窗口2为2006～2008年的数据，窗口3为2006～2007年的数据。投入指标的选择:(起降架次、固定资产投资额和从业人员数)产出指标的选择:(旅客吞吐量、货运吞吐量、消费品零售总额和进出口额)使用DEA窗口分析法从区域资源整合的角度考察除涟水机场外的七个江苏民用机场临空经济的运行效率，样本时间段为2005～2009年。实证研究的结果表明江苏七个民用机场临空经济的资源配置效率，

从北到南呈现阶梯形上升状况:其中无锡机场效率最高，对外贸易是其主要优势；

南京和常州机场效率。其次，良好的机场运输业务和经济和谐无偏废的发展是他们各自的优势；徐州和连云港机场效率最低，对外贸易是制约他们的主要因素。研究成果可为各机场发展临空经济，优化资源整合提供参考。区域资源整合视角下临空经济的效率X——基于DEA窗口分析法和灰色预测的江苏临空经济区的实证研究，史普润,江可申,魏洁云24可编辑数据包络的实例数据包络分析法在评价区域经济