对数函数11种常见考法归类（原卷版）

4.4对数函数11种常见考法归类1、对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．注：y＝logπx是对数函数，y＝log2eq\f(x,3)不是对数函数．2、对数函数的图象和性质对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表y＝logax(a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称注：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，取相同的函数值时，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大．①上下比较：在直线x＝1的右侧，当a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴．②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．3、反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．4、对数型函数的性质及应用（1）y＝logaf(x)型函数性质的研究①定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域．②值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．③单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定．(或运用单调性定义判定)④奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．⑤最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．（2）logaf(x)<logag(x)型不等式的解法①讨论a与1的关系，确定单调性．②转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．5、判断一个函数是对数函数的方法注：对数函数解析式中只有一个参数a，用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可求出．6、求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.7、求函数定义域的步骤①列出使函数有意义的不等式(组)；②化简并解出自变量的取值范围；③确定函数的定义域．8、对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．9、对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．10、解决有关对数型函数图象问题的技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．11、比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．注：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．12、对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logaf(x)<logag(x)的不等式．①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(4)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．注：解决与对数函数相关的问题时要遵循定义域优先原则．13、形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．14、(1)已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．(2)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．15、求对数型函数值域(最值)的方法对于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数．(2)求f(x)的定义域．(3)求u的取值范围．(4)利用y＝logau的单调性求解．16、与对数函数有关的函数的奇偶性要判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看函数的定义域是否关于原点对称．对于形如f(x)＝logag(x)的函数，利用f(－x)±f(x)＝0来判断奇偶性较简便．考点一对数函数的概念及应用考点二与对数函数有关的定义域考点三对数函数模型的应用考点四对数函数的图象及应用（一）对数型函数图象的辨析（二）作对数型函数图象（三）对数函数的恒过定点问题（四）对数函数图象的应用考点五比较大小考点六解对数不等式考点七对数型函数的单调性考点八与对数函数有关的值域与最值问题考点九与对数函数有关的函数的奇偶性考点十对数型函数性质的综合应用考点十一反函数考点一对数函数的概念及应用1．（2023秋·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·高一课时练习）给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中是对数函数的是．（将符合的序号全填上）3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C．D．4．（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·全国·高一随堂练习）若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．6．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则．7．【多选】（2023秋·全国·高一随堂练习）函数中，实数的取值可能是（）A． B．3C．4 D．58．（2023秋·高一课时练习）已知对数函数过点，则的解析式为.考点二与对数函数有关的定义域9．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是.10．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C．D．12．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．13．（2023秋·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考阶段练习）已知函数的定义域为．14．（2023秋·北京·高三北京二十中校考阶段练习）函数的定义域为15．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.16．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．考点三对数函数模型的应用17．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（

）A． B． C． D．318．（2023秋·山西大同·高三校联考阶段练习）科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2023年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2023年1月1日，四川自贡发生里氏级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则．19．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（

）A． B． C． D．20．（2023·全国·高三专题练习）与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为.考点四对数函数的图象及应用对数型函数图象的辨析21．（2023·全国·高一专题练习）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）22．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

23．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

24．（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

25．（2023·全国·高一专题练习）当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（

）A．B．C．D．26．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

27．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象可能是（

）．A．B．C．D．作对数型函数图象28．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为（用“＞”号连接）．29．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．30．（2023秋·吉林长春·高三校考开学考试）函数的图像大致是（

）A． B． C． D．31．（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）函数（且）的图像大致为（

）A． B．C． D．32．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像的大致形状是（

）A． B．C． D．对数函数的恒过定点问题33．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）函数（且）的图象恒过点．34．（2023·全国·高一专题练习）函数（且）恒过定点（

）A． B． C． D．35．（2023秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数，且的图象过定点，则的坐标为．36．（2023春·浙江温州·高二校考学业考试）函数（且）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．37．（2023秋·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．38．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8对数函数图象的应用39．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．40．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，41．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若实数a，b，c满足，且.则下列结论恒成立的是（

）A． B．C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．43．（2023秋·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数，若且，则的取值范围为.考点五比较大小44．（2023·全国·高一随堂练习）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，（，且）．45．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．46．（2023秋·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．47．（2023秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．48．（2023秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．49．（2023秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．50．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知函数，设，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．考点六解对数不等式51．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．52．（2023秋·河南信阳·高三校考阶段练习）不等式的解集.53．（2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为．54．（2023秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）不等式的解集为.55．（2023·全国·高一随堂练习）求使下列不等式成立的实数x的集合：(1)；(2).56．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．57．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若函数，则不等式的解集为.考点七对数型函数的单调性58．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B．C． D．59．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数的严格增区间为.60．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．61．（2023秋·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）若幂函数过点，则函数的单调减区间是.62．（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增的区间是（

）A． B． C． D．63．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件64．（2023秋·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．65．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．66．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知（且）在上单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．67．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．考点八与对数函数有关的值域与最值问题68．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值为．69．（2023·全国·高一专题练习）若定义运算，则函数的值域是.70．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）函数的值域为．71．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是．72．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为．73．（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数.74．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数.若函数存在最大值，则实数a的取值范围是.75．（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)若函数的最大值为2，求实数a的值.76．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.(1)求的值；(2)当时，，求实数的取值范围.考点九与对数函数有关的函数的奇偶性77．（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为.78．（2023春·四川绵阳·高二期末）若为奇函数，则实数．79．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知函数为偶函数，则.80．（202