2020-2021学年新教材高中数学数列5.5数学归纳法课时素养检测含解析

十二数学归纳法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.对于不等式QUOTE≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,QUOTE≤1+1,不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式成立,即QUOTE<k+1,则n=k+1时,QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立,上述证法 ()A.过程全都正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选D.n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.2.用数学归纳法证明QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1(n∈N*),在验证n=1时,左边的代数式为 ()A.QUOTE+QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE 【解析】QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1(n∈N*)中,当n=1时,3n+1=4,故n=1时,等式左边的项为:QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为 ()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解析】选C.增加一个顶点,就增加n+1-3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.4.设f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n∈N+,那么f(n+1)-f(n)= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】选D.f(n+1)-f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE-QUOTE-QUOTE-…-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=QUOTE(n∈N*)时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应增加的式子是__________________.

【解析】根据等式左边的特点,各数是先递增再递减,由于n=k,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,比较两式,可知等式左边应增加的式子是(k+1)2+k2.答案:(k+1)2+k26.设f(x)=QUOTE,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*).则x2=________;数列{xn}的通项公式为________.

【解析】(1)x2=f(x1)=QUOTE,x3=f(x2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,x4=f(x3)=QUOTE=QUOTE.(2)根据计算结果,可以归纳出xn=QUOTE.证明:①当n=1时,x1=QUOTE=1,与已知相符,归纳出的公式成立.②假设当n=k(k∈N*)时,公式成立,即xk=QUOTE,那么,xk+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以当n=k+1时,公式也成立.由①②知,当n∈N*时,xn=QUOTE.答案:QUOTExn=QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)7.用数学归纳法证明1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+n(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,左式=1+QUOTE,右式=QUOTE+1,所以QUOTE≤1+QUOTE≤QUOTE,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+k,则当n=k+1时,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1+QUOTE+2k·QUOTE=1+QUOTE.又1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+k+2k·QUOTE=QUOTE+(k+1),即当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N*都成立.8.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*),求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测数列{an},{bn}的通项公式,证明你的结论.【解析】由题意得2bn=an+an+1,QUOTE=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4n=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*.用数学归纳法证明如下:①当n=1时,由a1=2,b1=4可得结论成立.②假设当n=k(k≥2且k∈N*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],bk+1=QUOTE=QUOTE=(k+2)2=[(k+1)+1]2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切n∈N*都成立.【拓展提升】应用数学归纳法证题时应注意(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.用数学归纳法证明“凸n(n≥3,n∈N*)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1内角和增加了()A.QUOTE C.QUOTE 【解析】选B.如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是∠1+∠2+∠3=π.2.利用数学归纳法证明不等式1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了 ()项 项k-1项 k项【解析】选D.当n=k时,不等式左边的最后一项为QUOTE,而当n=k+1时,最后一项为QUOTE=QUOTE,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.3.当n=1,2,3,4,5,6时,比较2n和n2的大小并猜想得到的结论为 ()≥1时,2n>n2 ≥3时,2n>n2≥4时,2n>n2 ≥5时,2n>n2【解析】选D.当n=1时,21>12,即2n>n2;当n=2时,22=22,即2n=n2;当n=3时,23<32,即2n<n2;当n=4时,24=42,即2n=n2;当n=5时,25>52,即2n>n2;当n=6时,26>62,即2n>n2;…猜想当n≥5时,2n>n2;下面我们用数学归纳法证明猜想成立,(1)当n=5时,由以上可知猜想成立,(2)设n=k(k≥5)时,命题成立,即2k>k2,当n=k+1时,2k+1=2·2k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即n=k+1时,命题成立,由(1)和(2)可得n≥5时,2n>n2;故当n=2或4时,2n=n2;n=3时,2n<n2;n=1及n取大于4的正整数时,都有2n>n2.4.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 () B.26【解析】选C.因为f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:当n=1,2时,由上得证,设当n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则当n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2)⇒f(k+1)能被36整除.因为f(1)不能被大于36的数整除,所以所求的最大的m的值等于36.二、填空题(每小题5分,共20分)5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=__________时,命题为真.

【解析】因为n为正奇数,所以奇数2k-1之后的奇数是2k+1.答案:2k+16.用数学归纳法证明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,则当n=k+1时,等式左边应在n=k的基础上加上________.

【解析】当n=k时,左边=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE,当n=k+1时,左边=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE7.在用数学归纳法证明“(n∈N*)能被14整除”的过程中,当n=k+1时,式子QUOTE应变形为________.

答案:8.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,式子(k+1)3+5(k+1)应变形为__________.

【解析】采取凑配法,凑出归纳假设k3+5k来,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6三、解答题(每小题10分,共20分)9.求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N*.【证明】(1)当n=1时,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命题显然成立.(2)假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由归纳假设,上式中的两项均能被a2+a+1整除,故n=k+1时命题成立.由(1)(2)知,对任意n∈N*,命题成立.10.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=tx+r(t>0且t≠1,t,r均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当t=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不等式QUOTE·QUOTE·…·QUOTE>QUOTE成立.【证明】(1)由题意:Sn=tn+r,当n≥2时,Sn-1=tn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=tn-1(t-1),由于t>0且t≠1,所以n≥2时,{an}是以t为公比的等比数列.又a1=t+r,a2=t(t-1),QUOTE=t,即QUOTE=t,解得r=-1.(2)当t=2时,由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所证不等式为QUOTE·QUOTE·…·QUOTE>QUOTE.①当n=1时,左式=QUOTE,右式=QUOTE.左式>右式,所以结论成立,②假设当n=k(k∈N*)时结论成立,即QUOTE·QU