2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．80°2．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+34．（2分）如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．120°5．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣3） B．它的图象的对称轴是直线x＝3 C．当x＝0时，y有最大值为0 D．当x＜0时，y随x的增大而减小6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．27．（2分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°8．（2分）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，） B．（1，） C．（2，2） D．（2，4）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最大值，这个二次函数的解析式可以是．10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b0，c0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．11．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝．12．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为，⊙M的半径为．16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．下面四个结论中：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4．正确的结论有．（填序号）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ．∠OPQ＝°，理由是．第二步过点C作PQ的垂线，交于点D．＝，理由是．第三步作射线OD．射线OD平分∠AOB．射线OD为所求作．18．（5分）已知关于x的二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．19．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．（1）求∠BOC的度数；（2）若CD＝4，求AB的长．20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．21．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE．求证：BE⊥AE．22．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；（2）四边形AC1A1C的面积为．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．24．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，求四条吊索的总长度．25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；②若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．27．（7分）已知∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②连接BP，求∠BPH的度数；（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P'，则称点P'为点P关于⊙G的旋转点．如图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，﹣2）．（1）在点A（﹣1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是；（2）若在直线y＝x+b上存在点P关于⊙O的旋转点，求b的取值范围；（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P'，请直接写出点P'的横坐标xP′的取值范围．

2021-2022学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．80°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°．故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．2．（2分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．（2分）将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣2（x+1）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣1）2+3【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．4．（2分）如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A＝35°，则∠EFC的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．120°【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，由三角形外角的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC顺时针旋转25°得到△DEC，∴∠A＝∠D＝35°，∠ACD＝25°，∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝60°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．5．（2分）下列关于二次函数y＝3x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（﹣1，﹣3） B．它的图象的对称轴是直线x＝3 C．当x＝0时，y有最大值为0 D．当x＜0时，y随x的增大而减小【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝﹣1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D．【解答】解：∵二次函数y＝3x2，∴当x＝﹣1时，y＝3，故选项A不符合题意；它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意；当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），当﹣3＜x＜0时，y＞2，即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．7．（2分）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BDC＝∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD＝180°【分析】先利用圆的定义可判断点A、B、C、D在⊙O上，如图，然后根据圆周角定理对各选项进行判断．【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴点A、B、C、D在⊙O上，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，所以A选项的结论正确；∵∠BDC和∠BAC都对，∴∠BDC＝∠BAC，所以B选项的结论正确；只有当CD＝CB时，∠BAC＝∠DAC，所以C选项的结论不正确；∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，所以D选项的结论正确．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．8．（2分）如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，） B．（1，） C．（2，2） D．（2，4）【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故选：C．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最大值，这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2（答案不唯一）．．【分析】根据二次函数有最大值，即可得出a＜0，据此写出一个二次函数即可．【解答】解：∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2，故答案为：y＝﹣x2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么b＜0，c＜0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．【分析】抛物线开口方向，对称轴，与y轴交点的位置确定a、b、c的符号，从而做出判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交在负半轴，∴c＜0，故答案为：＜，＜．【点评】考查二次函数的图象和性质，通过抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点确定a、b、c的值，是二次函数性质的集中体现．11．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，点C和点E是对应点，若AB＝1，则BD＝．【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，由勾股定理可求BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，∴AB＝AD＝1，∠DAB＝90°，∴BD＝＝故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．12．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为2π．【分析】如图，连接OA，OB．利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连接OA，OB．由题意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，∴的长＝＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为2．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．【解答】解：连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．（2分）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转72°后能与原来的图案互相重合．【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角．【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，∠AOE＝＝72°．故答案为：72．【点评】此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为（3，3），⊙M的半径为．【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x＝3，AB的垂直平分线为直线y＝x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC的垂直平分线为直线x＝3，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y＝x，∵直线x＝3与直线y＝x的交点为M点，∴M点的坐标为（3，3），∵MB＝＝，∴⊙M的半径为．故答案为（3，3），．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．16．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．下面四个结论中：①抛物线开口向下；②当x＝2时，y取最小值﹣1；③当m＞﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4．正确的结论有③④．（填序号）【分析】根据题意，画出函数图象，进而求解．【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（0，y1），B（2，﹣1），C（4，y2）三点，其中y2＞y1＞﹣1．∴抛物线开口向上，故错误；②由题意可知x＝﹣＜2时，∴函数的最小值小于﹣1，故错误；③由B知，函数的最小值为小于﹣1，故m＞﹣1时，直线y＝m和y＝ax2+bx+c有两个交点，故一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等实根，故正确；④观察函数图象，直线y＝kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜0或x＞4，故正确；故答案为：③④．【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组）和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．（5分）下面是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在OB上任取一点C，以点C为圆心，OC为半径作半圆，分别交射线OA，OB于点P，点Q，连接PQ．∠OPQ＝90°，理由是直径所对的圆周角是直角．第二步过点C作PQ的垂线，交于点D．＝，理由是垂径定理．第三步作射线OD．射线OD平分∠AOB．射线OD为所求作．【分析】利用圆周角定理，垂径定理可得结论．【解答】解：如图，射线OD即为所求．∵OQ是直径，∴∠OPQ＝90°（直径所对的圆周角是直角）．∵CD⊥PQ，∴＝（垂径定理），∴∠AOD＝∠BOD．故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角，垂径定理．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（5分）已知关于x的二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式．【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝2x2+bx+c，解方程即可得到答案；（2）根据顶点恰好落在y轴上，于是得到该函数图象的顶点坐标为（0，﹣）．即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x2+bx+c，它的图象经过点（0，﹣3）和（2，﹣3）．∴﹣3＝2×22+2b﹣3，解得b＝﹣4．∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣4x﹣3．∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣5）；（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣5，∴二次函数顶点坐标为（1，﹣5）；∵顶点恰好落在y轴上，∴该函数图象的顶点坐标为（0，﹣5）．∴平移后的函数表达式为y＝2x2﹣5．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键．19．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．（1）求∠BOC的度数；（2）若CD＝4，求AB的长．【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理即可得到答案；（2）根据三角形的内角和定理得到∠OBD＝30°，根据直角三角形的性质得到OB＝OC＝2OD，根据勾股定理即可得到答案．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴＝，∵∠AEC＝30°，∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；（2）∵OC⊥AB，∴∠BDO＝90°，∵∠BOC＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OB＝OC＝2OD，∴OD＝CD＝4，∴OB＝8，∴BD＝＝＝4，∴AB＝ABD＝8．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象．（3）当1＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．【分析】（1）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案；（2）根据题意画出图象即可；（3）由图象可得出答案．【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）和（3，0），令x＝0，则y＝3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），图象如图所示：（3）有图象可得：当1＜x＜4时，y的取值范围为﹣1≤y＜3．【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线与x国的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（5分）如图，等腰三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α．作CD⊥AB于点D，将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，连接AE．求证：BE⊥AE．【分析】由旋转的性质可得BE＝BD，∠ABE＝α＝∠ABC，由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得结论．【解答】证明：∵将线段BD绕点B逆时针旋转角α后得到线段BE，∴BE＝BD，∠ABE＝α，∴∠ABC＝∠ABE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠CDB＝∠AEB＝90°，∴AE⊥BE．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（5分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；（2）四边形AC1A1C的面积为16．【分析】（1）延长AB到A1使BA1＝AB，延长CB到C1，使BC1＝BC；（2）利用平行四边形的面积公式．【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为（3，﹣1），（1，3）；（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，∴四边形AC1A1C为平行四边形，∴四边形AC1A1C的面积＝4×4＝16．故答案为16．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，∠EAD＝22.5°．若BE＝4，求⊙O的半径．【分析】连接OD，交BE于点F，利用切线的性质和垂径定理求得＝，进而可求出∠EAB的度数，利用条件易证△ABE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：连接OD，交BE于点F，如图，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，∵BE∥CD，∴∠OFB＝90°，∴OD⊥BE，∴＝，∴∠EAD＝∠DAB，∵∠EAD＝22.5°，∴∠EAB＝∠EAD+∠DAB＝45°；∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝45°，∴∠ABE＝∠EAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵BE＝4，∴AB＝BE＝4，∴⊙O的半径为2．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24．（6分）材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，求四条吊索的总长度．【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．【解答】解：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），则，解得：，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE＝AE，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE＝＝8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．【点评】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出EF∥BC是解本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；②若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；（2）①由抛物线的解析式可得出答案；②分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函数的性质分别列方程求解即可．（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＞﹣3，分别求解即可．【解答】解：（1）当m＝3时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，∴顶点坐标为（3，﹣1）；（2）①∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝m；②∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（m，﹣1），∴m的取值范围应分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．若m≤1，x＝1时函数取得最小值，∴（1﹣m）2﹣1＝0，解得m＝0或m＝2（舍去），若1≤m≤2，x＝m函数取得最小值为﹣1，不合题意．若m≥2，x＝2函数取得最小值，∴（2﹣m）2﹣1＝0，解得m＝3或m＝1（舍去），综上所述，m的值为0或3．（3）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b的表达式并解得：b＝3，则B（0，3），直线AB的表达式为：y＝x+3，如图，在直线y＝3上，当∠AOP＝90°时，点P与B重合，当y＝3时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，则x＝m±2，∵点P在对称轴的左侧，∴x＝m+2＞m不符合题意，舍去，则点P（m﹣2，3），当△OAP为钝角三角形时，则0＜m﹣2＜m或m﹣2＜﹣3，解得：m＞2或m＜﹣1，∴m的取值范围是：m＞2或m＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．27．（7分）已知∠MON＝90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP＝α，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，再将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，作CH⊥ON于点H．（1）如图1，α＝60°．①依题意补全图形；②连接BP，求∠BPH的度数；（2）如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据要求画出图形即可．②证明△APB是等边三角形，推出∠APB＝60°，再证明∠APO＝30°，可得结论．（2）结论：OA＝2CH．连接BP，BC，PC．利用全等三角形的性质证明OA＝PC，再证明∠CPH＝30°可得结论．【解答】解：（1）①下图即为所求：②∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，∴AB＝AP，且∠PAB＝60°．∴△ABP是等边三角形，∴∠BPA＝60°，∵∠OAP＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠BPO＝∠BPA+∠APO＝90°，∴∠BPH＝90°．（2）结论：OA＝2CH．理由：如图2中，连接BP，BC，PC．由（2）可知，△ABP是等边三角形，∴BA＝BP，∠ABP＝∠BPA＝60°．∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，∴OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴BO＝BC，∠OBC＝60°，∴∠ABO＝60°﹣∠OBP＝∠PBC，∴△ABO≌△PBC（SAS），∴AO＝