新高考数学一轮复习讲与练第07讲 一元函数的导数及其应用（讲）（解析版）

第1讲一元函数的导数及其应用（一）本讲为重要知识点，也是高中的难点。题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合去理解其中的变形目的。考点一导数的概念及运算1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率SKIPIF1<0为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′SKIPIF1<0即f′x0＝SKIPIF1<0.称函数f′(x)＝SKIPIF1<0为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝exf′(x)＝SKIPIF1<0f(x)＝lnxf′(x)＝SKIPIF1<0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝SKIPIF1<04.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)SKIPIF1<0(g(x)≠0)．5.常用结论1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.SKIPIF1<0′＝－SKIPIF1<0.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点二利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．考点三利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数fx在x0处有极值的必要不充分条件是f′x0＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.考点四利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路是什么？答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.高频考点一导数的概念及其意义例1、函数SKIPIF1<0的图象如图所示，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，则下列数值排序正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由图知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A【变式训练】1、若函数SKIPIF1<0在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立．故选：A．高频考点二导数的运算例1、已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故选：D【变式训练】1、函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对函数SKIPIF1<0求导，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线斜率为2，所以函数SKIPIF1<0的图像在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A高频考点三导数在研究函数中的应用例1、已知函数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】当过原点的直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象相切时，设切点为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时切线的斜率为SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0的图象可知，若直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有两个交点，直线的斜率SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．故答案选：D【变式训练】1、已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的唯一极值点，则实数SKIPIF1<0的取值集合是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0唯一变号的根，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有变号零点，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时