新高考数学一轮复习讲与练第23讲 双曲线（练）（解析版）

第02讲双曲线（练）一、单选题1．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，实轴长为2，实轴的左端点为SKIPIF1<0，虚轴的上顶点为SKIPIF1<0为右支上任意一点，则SKIPIF1<0面积的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意列式求解SKIPIF1<0，再结合双曲线的渐近线分析可得SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离大于两平行线间距离，运算求解.【详解】由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与一条渐近线SKIPIF1<0平行，两平行线间距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.2．已知双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，A是双曲线C的左顶点，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意易得圆与渐近线的方程，联立即可求得SKIPIF1<0的坐标，结合图像易得SKIPIF1<0，利用斜率公式即可求得SKIPIF1<0，从而可求得双曲线C的离心率.【详解】依题意，易得以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由双曲线SKIPIF1<0易得双曲线C的渐近线为SKIPIF1<0，如图，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0轴，∴由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：D.线SKIPIF1<0的左、右焦点，过左焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左、右两支分别交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据长度关系可得SKIPIF1<0，利用双曲线定义可用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，利用勾股定理可构造关于SKIPIF1<0的齐次方程求得离心率.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由双曲线定义可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.4．已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作一倾斜角为SKIPIF1<0的直线交双曲线右支于SKIPIF1<0点，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题意得出SKIPIF1<0，写出直线SKIPIF1<0的方程，与双曲线方程联立，求出SKIPIF1<0点坐标，利用SKIPIF1<0，即可求出结果．【详解】解：记右焦点为SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等腰三角形，则只能是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0．故选：C．5．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由双曲线SKIPIF1<0可得其渐近线为SKIPIF1<0，再求得直线SKIPIF1<0的斜率，由平行得到斜率相等即可求得SKIPIF1<0，再由焦点坐标SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线SKIPIF1<0，所以它的渐近线为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与双曲线的一条渐近线平行，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又因为双曲线的右焦点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以该双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选：B.6．“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】方程SKIPIF1<0表示双曲线等价于SKIPIF1<0，求解判断即可【详解】方程SKIPIF1<0表示双曲线等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A7．已知双曲线C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为2，SKIPIF1<0是双曲线上一点，SKIPIF1<0轴，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由离心率可得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即可整理双曲线方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0的坐标，即可求得答案【详解】由题意可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以双曲线方程为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A8．已知双曲线SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题知SKIPIF1<0，再解不等式，结合离心力公式求解即可.【详解】解：因为双曲线SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：A二、填空题9．如图所示,已知双曲线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,双曲线SKIPIF1<0的右支上一点SKIPIF1<0,它关于原点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则双曲线SKIPIF1<0的离心率是______.【答案】SKIPIF1<0【分析】连接左焦点，得到平行四边形，通过余弦定理列方程即可解出.【详解】设双曲线的左焦点为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,根据双曲线的对称性可知，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，由题意以及双曲线定义，可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以双曲线SKIPIF1<0的离心率为:SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.10．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为C的左､右顶点，C的离心率等于2，P为C左支上一点，若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据结合直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率关系，角平分线定理以及双曲线的定义，可得SKIPIF1<0，又由离心率得SKIPIF1<0，又在焦点三角形SKIPIF1<0中用余弦定理得直线倾斜角的余弦值，从而可得直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的值.【详解】解：由题意得下图：则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线的离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在第二象限所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，由角平分线定理得：SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又在双曲线中有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由题意SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．已知双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0无交点，则SKIPIF1<0的取值范围是_____．【答案】SKIPIF1<0【分析】结合双曲线的几何性质，可知直线SKIPIF1<0应在两渐近线上下两部分之间，由此可得不等式SKIPIF1<0，解之即可求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】依题意，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，因为双曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0无交点，所以直线SKIPIF1<0应在两条渐近线上下两部分之间，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0..三、解答题12．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0，两顶点间的距离为6；(2)以椭圆SKIPIF1<0的焦点为顶点，顶点为焦点.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据已知条件求得SKIPIF1<0，从而求得双曲线的标准方程.（2）根据椭圆SKIPIF1<0的焦点和顶点，求得双曲线的SKIPIF1<0，从而求得双曲线的标准方程.【详解】（1）设双曲线的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意可知，双曲线的焦点在SKIPIF1<0轴上.设双曲线的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0.一、单选题1．已知SKIPIF1<0分别为双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的右顶点.过SKIPIF1<0的直线与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点（其中点SKIPIF1<0在第一象限），设SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设SKIPIF1<0上的切点分别为H､I､J，则SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.设内心M的横坐标为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0轴得点J的横坐标也为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则E为直线SKIPIF1<0与x轴的交点，即J与E重合.同理可得SKIPIF1<0的内心在直线SKIPIF1<0上，设直线SKIPIF1<0的领斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由题知，SKIPIF1<0，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故选：B.2．设双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的左､右两支分别交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线SKIPIF1<0的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以离心率为SKIPIF1<0.故选：A3．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的左右两支分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0点的坐标为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，如图1.若直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设SKIPIF1<0，线段AB的中点SKIPIF1<0，代入双曲线的方程中可得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，线段CD的中点SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0②，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0三点共线，从而求得SKIPIF1<0，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设SKIPIF1<0，线段AB的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①，设SKIPIF1<0，线段CD的中点SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0②，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，将①②代入得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.4．长为11的线段AB的两端点都在双曲线SKIPIF1<0的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】用A、B两点的坐标表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用SKIPIF1<0，求得m的最小值.【详解】由双曲线SKIPIF1<0可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当F、A、B共线且SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0轴时，m取得最小值，此时SKIPIF1<0．检验:如图，当F、A、B共线且SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0为双曲线的通径，则根据通径公式得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0轴不满足题意.综上，当F、A、B共线且SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0轴时，m取得最小值，此时SKIPIF1<0．故选：B．5．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从SKIPIF1<0发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则E的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线SKIPIF1<0都过点SKIPIF1<0，如图，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令双曲线半焦距为c，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以E的离心率为SKIPIF1<0.故选：B6．点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是曲线C：SKIPIF1<0的左右焦点，过SKIPIF1<0作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线SKIPIF1<0与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】讨论SKIPIF1<0斜率，斜率存在时设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定SKIPIF1<0的方程，可得SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，若以G为圆心的圆半径为SKIPIF1<0，只需保证SKIPIF1<0可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.【详解】当直线SKIPIF1<0斜率均存在时，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与曲线C并整理得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与曲线C并整理得：SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0中一条的斜率不存在时，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，若圆的半径为SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0恒成立，故圆最小面积为SKIPIF1<0.故选：B7．已知双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左，右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上异于顶点的点，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，再由内心的向量表示，推得SKIPIF1<0，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，又因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，且在双曲线中，点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上异于顶点的点，则SKIPIF1<0的内切圆圆心在直线SKIPIF1<0上，即点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心，如图，作出SKIPIF1<0，并分别延长SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由重心性质可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：C.8．已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于P，Q两点，SKIPIF1<0轴于点H，直线SKIPIF1<0与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（

）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0为定值 D．SKIPIF1<0的最小值为2【答案】D【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论SKIPIF1<0，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出SKIPIF1<0的取值范围；选项B，利用坐标表示出SKIPIF1<0，从而找到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系；选项C，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0；选项D，利用SKIPIF1<0借助基本不等式可得SKIPIF1<0，故该选项错误.【详解】参考结论：已知双曲线方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线上关于原点对称的两点，点SKIPIF1<0也在双曲线上，则SKIPIF1<0．推导：由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0选项A，双曲线SKIPIF1<0，所以渐近线方程为SKIPIF1<0，直线与双曲线交于P，Q两点，所以SKIPIF1<0，由已知，SKIPIF1<0，所以该选项正确；选项B，SKIPIF1<0，所以该选项正确；选项C，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以该选项正确；选项D，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故该选项错误；故选：D.二、填空题9．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的公共焦点，它们在第一象限内交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若椭圆的离心率SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围为________________________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.10．设SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的右焦点，双曲线两条渐近线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，且向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，则双曲线离心率SKIPIF1<0的大小为_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由双曲线的性质，等差数列的定义，二倍角的正切公式求解【详解】不妨设SKIPIF1<0的倾斜角为锐角SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向，SKIPIF1<0渐近线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0渐近线SKIPIF1<0斜率为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由对称性可知：SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去）；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0三、双空题11．已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的上方）两点，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为______；已知点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0右支上任意一点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0分别与双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程为______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，设双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据双曲线的定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中利用余弦定理可求得双曲线SKIPIF1<0的离心率的值；设双曲线的两条渐近线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用已知条件可求得SKIPIF1<0的值，结合平面向量数量积的坐标运算结合SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，即可得出双曲线SKIPIF1<0的方程.【详解】设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．设双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据双曲线的定义得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中利用余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0．设双曲线的两条渐近线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标分别代入直线SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，两式相乘得SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的点，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.四、解答题12．过双曲线Γ：SKIPIF1<0的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2.(1)若SKIPIF1<0是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l，使得SKIPIF1<0，求Γ的离心率的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）结合图像，分别求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而求得SKIPIF1<0，由此双曲线Γ的标准方程可求；（2）联立方程，由韦达定理得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0推得SKIPIF1<0，由此得到关于SKIPIF1<0的一个齐次方程，可求得离心率SKIPIF1<0的范围，再由y1y2<0，得到关于SKIPIF1<0的另一个齐次方程，缩小离心率SKIPIF1<0的范围，从而得到Γ的离心率的取值范围.【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，b2＝c2－a2＝2，此时Γ的标准方程为SKIPIF1<0.（2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c，联立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由AF2⊥BF2得SKIPIF1<0，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，整理得SKIPIF1<0，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，则(m2＋1)b4＝4a2c2，所以SKIPIF1<0，故4a2c2≥(c2－a2)2，所以c4＋a4－6a2c2≤0，两边除以SKIPIF1<0，得e4－6e2＋1≤0，解得SKIPIF1<0，又因为e>1，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又A，B在左支且l过F1，所以y1y2<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即4a2<b2＝c2－a2，则SKIPIF1<0，故e2>5，即SKIPIF1<0，综上：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.一、单选题1．若双曲线SKIPIF1<0离心率为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，则该双曲线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分析可得SKIPIF1<0，再将点SKIPIF1<0代入双曲线的方程，求出SKIPIF1<0的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线的方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0的坐标代入双曲线的方程可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此，双曲线的方程为SKIPIF1<0.故选：B2．点SKIPIF1<0到双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合对称性，不妨考虑点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0.故选：A.3．已知SKIPIF1<0是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且SKIPIF1<0，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出SKIPIF1<0，结合余弦定理可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0,由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A4．设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过抛物线SKIPIF1<0的焦点和点SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的一条渐近线与SKIPIF1<0平行，另一条渐近线与SKIPIF1<0垂直，则双曲线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由抛物线的焦点SKIPIF1<0可求得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即得直线的斜率为SKIPIF1<0