新高考数学一轮复习讲与练第20讲 直线、平面平行垂直的判定与性质（练）（解析版）

第03讲直线、平面平行垂直的判定与性质（练）一、单选题1．己知m，n是两条不重合的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三个不重合的平面，下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据空间中位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误.【详解】对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或异面，故A错误.对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，故B错误.对于C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0相交，故C错误.对于D，由线面垂直的性质可得若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确，故选：D.2．已知空间中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两条不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据空间中的线和平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，故A错误，由垂直于同一平面的两直线平行，可知B正确,由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0异面或者SKIPIF1<0，故C错误，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不能得到SKIPIF1<0，只有当SKIPIF1<0时，才可以得到SKIPIF1<0，故D错误，故选：B3．已知两条不同的直线SKIPIF1<0及两个不同的平面SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是异面直线C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行或异面D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0一定相交【答案】C【分析】由面面平行的性质可判断ABC，由线面平行的判定定理可判断D【详解】若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0没有交点，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行或异面，故A，B错误，C正确；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，故D错误故选：C4．设SKIPIF1<0为两条直线，SKIPIF1<0为两个平面，下列四个命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所称的角相等，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据平行和垂直的性质定理，并进行判断.【详解】对于选项A,将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所称的角相等，则SKIPIF1<0”故A错；对于选项C,若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0位置关系可能是平行，相交或异面，故C错；对于选项D,若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是错误的，两平面SKIPIF1<0还可能是相交平面；故D错；对于选项B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两个平面垂直时，与它们垂直的两个方向一定是垂直的.故选：B.5．三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则下列两条直线中，不互相垂直的是（

）A．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解.【详解】对于A，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；对于B，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定垂直；对于C，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；对于D，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0C.故选：B．6（理科）．如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.若过点SKIPIF1<0的平面与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设SKIPIF1<0，由面面平行的性质得到SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再由线面平行的性质得到SKIPIF1<0，根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】解：以SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A二、填空题7．空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角的大小为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0即可得所求角度.【详解】空间四边形SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<08．正棱锥的高为2，侧棱与底面所成角为SKIPIF1<0，则该正棱锥的侧棱长为______．【答案】SKIPIF1<0【分析】先求出SKIPIF1<0，再根据勾股定理求出SKIPIF1<0即可.【详解】如图所示，SKIPIF1<0是一个正四棱锥，SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，侧棱SKIPIF1<0与底面所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧棱SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<09．如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的二面角SKIPIF1<0棱SKIPIF1<0上的两点，线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在平面SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为______．【答案】4【分析】作辅助线使SKIPIF1<0为二面角的平面角，由余弦定理求出SKIPIF1<0，再通过证明SKIPIF1<0平面EAC，得出SKIPIF1<0，通过勾股定理即可求解.【详解】如图所示：在平面SKIPIF1<0中，过A作直线平行于BD，在其上取一点E，使AE＝BD，连接EC、ED．由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0的平面角，则SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，四边形EABD是平行四边形，则ED＝AB＝3．由SKIPIF1<0平面EAC，结合SKIPIF1<0得SKIPIF1<0平面EAC，SKIPIF1<0平面EAC，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直角三角形．由勾股定理SKIPIF1<0．故答案为：410．a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若aSKIPIF1<0b，bSKIPIF1<0c，则aSKIPIF1<0c；②若aSKIPIF1<0b，bSKIPIF1<0c，则aSKIPIF1<0c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若aSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，bSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则a，b一定是异面直线；上述命题中正确的是_______（只填序号）．【答案】①【分析】对于①，用平行的传递性即可判断；对于②，利用直线垂直的性质即可判断；对于③，利用直线的位置关系判断；对于④，利用异面直线的定义判断【详解】解：①根据空间直线平行的平行公理可知，若aSKIPIF1<0b，bSKIPIF1<0c，则aSKIPIF1<0c，所以①正确；②在空间中，若aSKIPIF1<0b，bSKIPIF1<0c时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以相交、平行，也可以异面，所以②错误；③在空间中，若a与b相交，b与c相交，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以相交、平行，也可以异面，所以③错误；④若aSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，bSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，并不能说明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不在同一个平面内，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以平行、相交，也可能是异面直线，所以④错误，故答案为：①．三、解答题11（理科）．如图，在正三棱柱SKIPIF1<0中，底面边长为2，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0的中点，点E在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点P为线段SKIPIF1<0上的动点．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值．【解析】（1）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正三角形，D为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是正三棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，点P为线段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）如图以SKIPIF1<0的中点为坐标原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0．12．四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正切值；【解析】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，E是AD中点，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，∴SKIPIF1<0平面PAD，∵SKIPIF1<0平面PCE，∴平面SKIPIF1<0平面PAD.（2）∵SKIPIF1<0平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，即SKIPIF1<0是PC与平面PAD所成角的平面角，∵SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面PAD，SKIPIF1<0平面PAD，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴PC与平面PAD所成角的正切值为SKIPIF1<0.一、单选题1．已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿BD折起至SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与AD所成角最大时，三棱锥SKIPIF1<0的体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先判断当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角最大时，SKIPIF1<0，进而证得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，再证得SKIPIF1<0是直角三角形，故可由SKIPIF1<0求得结果.【详解】因为异面直线最大角为直角，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角最大，因为四边形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（

）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若lSKIPIF1<0m，mSKIPIF1<0n，l⊥α，则n⊥αC．若lSKIPIF1<0m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则lSKIPIF1<0m【答案】B【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据线面垂直的性质结论可判断B,C；根据线面垂直的性质结合空间直线的位置关系可判断D.【详解】由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m,n不一定相交，则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；在B中，若lSKIPIF1<0m，mSKIPIF1<0n，则lSKIPIF1<0n，又因为l⊥α，故n⊥α，故B正确；在C中，若lSKIPIF1<0m，m⊥α，n⊥α，则lSKIPIF1<0n，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．3．已知正方体SKIPIF1<0的边长为2，点E，F分别为棱CD，SKIPIF1<0的中点，点P为四边形SKIPIF1<0内（包括边界）的一动点，且满足SKIPIF1<0平面BEF，则点P的轨迹长为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【分析】通过作图，利用面面平行找到点P的轨迹，从而求得其长度，即得答案.【详解】画出示意图如下：取SKIPIF1<0中点N，取SKIPIF1<0中点M，连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0BE，连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故MNSKIPIF1<0EF，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面BEF,所以平面BEFSKIPIF1<0平面B1MN，平面SKIPIF1<0∩平面SKIPIF1<0=MN，所以P点轨迹即为MN，长度为SKIPIF1<0；证明：因为平面BEFSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，P点是MN上的动点，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BEF，满足题意.故选：A．4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由线面平行与面面平行的判定定理求解即可【详解】取C1D1，D1D，CD，FG中点分别为E、F、G，H，连接EP，AF，FG，AG，AH，如图所示：∵P为CC1的中点，则平面A1BP即为平面A1BPE，EP∥DB，FG∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，∵FG⊄平面A1BPE，AG⊄平面A1BPE，∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，∴AFG∥平面A1BP，∴当Q运动到FG中点H时，此时AH⊂平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值为AH，∵AB＝2，∴AF＝AGSKIPIF1<0，FGSKIPIF1<0，在Rt△AFH中，AHSKIPIF1<0，故AQ的最小值为SKIPIF1<0，故选：B．5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若SKIPIF1<0平面AMN，则PA1的最小值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可以找到SKIPIF1<0点在右侧面的运动轨迹，从而求出SKIPIF1<0的最小值【详解】如图所示，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0点在右侧面，所以SKIPIF1<0点的轨迹是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0点位于SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0处时，SKIPIF1<0最小，此时，SKIPIF1<0.故选：C6．在正方体SKIPIF1<0中，则下列判断错误的是（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的垂心 D．平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0【答案】D【分析】由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而判断A正确；由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，进而得平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，从而判断B；由三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥，可得直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的垂心，从而判断C；连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于O点，连接SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角，在SKIPIF1<0中计算SKIPIF1<0的值，从而判断D.【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；由SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，故B正确；因为三棱锥SKIPIF1<0为正三棱锥（或由SKIPIF1<0两两垂直）得直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的垂心，故C正确；连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于O点，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角，因为SKIPIF1<0，故D错误．故选：D.二、填空题7．在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为45°.当三棱柱SKIPIF1<0的体积最小时，三棱柱SKIPIF1<0外接球的表面积为______.【答案】SKIPIF1<0【分析】过点B作SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理证明面面垂直和线面垂直，得到SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与平面SKIPIF1<0所成的角，再利用底面三角形的面积和基本不等式得到SKIPIF1<0，进一步确定三棱柱体积的最值和外接球球心位置和半径.【详解】过点B作SKIPIF1<0，垂足为D，连接SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.过点B作SKIPIF1<0，垂足为H，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0上的射影，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与平面SKIPIF1<0所成的角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当且仅当SKIPIF1<0时，三棱柱SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0取得最小值1，此时，三棱柱SKIPIF1<0外接球的球心为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点O，且该球的直径为SKIPIF1<0，所以球O的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，则下列命题：①不存在点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②三棱锥SKIPIF1<0的体积是定值；③直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0④经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点的球的表面积为SKIPIF1<0.正确的是______.【答案】②③④【分析】连接PQ，SKIPIF1<0，当Q是SKIPIF1<0的中点时，由线面平行的判定可证，即可判断①，根据SKIPIF1<0即可判断②，证明SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可判断③，分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点E，F，构造长方体SKIPIF1<0，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积，即可判断④；【详解】解：连接PQ，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点时，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故①错误；因为SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，即为SKIPIF1<0到到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故三棱锥SKIPIF1<0的体积是定值，即②正确；由正方体的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可证SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故③正确；当SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0分别取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点E，F，构造长方体SKIPIF1<0，则经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点的球即为长方体SKIPIF1<0的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体SKIPIF1<0的体对角线即为所求的球的直径，即SKIPIF1<0，所以经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点的球的表面积为SKIPIF1<0，故④正确.故答案为：②③④9．如图，已知圆SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0长为2，上半圆圆弧上有一点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是劣弧SKIPIF1<0上的动点，点SKIPIF1<0是下半圆弧上的动点，现以SKIPIF1<0为折线，将上、下半圆所在的平面折成直二面角，连接SKIPIF1<0则三棱锥SKIPIF1<0的最大体积为___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由于要使三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，即三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，需要SKIPIF1<0的面积最大且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，结合条件计算即可.【详解】如图，要使三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，即三棱锥SKIPIF1<0的体积最大，需要SKIPIF1<0的面积最大且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大.SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，最大值为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，只需要SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最大，则SKIPIF1<0为半圆弧SKIPIF1<0的中点，此时SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0距离的最大值为1.所以，三棱锥SKIPIF1<0的最大体积为SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0.10．已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离.【详解】如图所示，该四棱锥为SKIPIF1<0，底面中心为SKIPIF1<0，外接球球心为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题11．如图，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0所在平面外一点，SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点．(1)求证：SKIPIF1<0(2)求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(3)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离．【解析】（1）因为正方形SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0边SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故EFSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（3）如图，设SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0由正方形SKIPIF1<0边SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．12（理科）．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，二面角SKIPIF1<0是直二面角，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）解：如图，以点SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与平面SKIPIF1<0垂直的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0