新高考数学一轮复习讲与练第13讲 解三角形（讲）（解析版）

第03讲解三角形本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一正余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考点二三角形解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解考点三三角形面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).考点四测量中的几个数据1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.5.常用结论：三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.高频考点一利用正余弦定理解三角形【例1】（四川省绵阳市2021-2022学年高三下学期期末数学试题）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】利用正弦定理SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，根据三角形性质和边角互化得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程组可得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0①；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0②；由①②可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.故选：B.【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高三模拟）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分別是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用余弦定理建立方程可求结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0；解得SKIPIF1<0.故选：D.【方法技巧】利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.【变式训练】1．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】B【分析】由二倍角公式求得SKIPIF1<0，再用余弦定理即可求得AC.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，代入数据得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）故选：B.2．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B=SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积S=2，则SKIPIF1<0=___________.【答案】5【分析】先由面积公式计算SKIPIF1<0，再利用余弦定理计算SKIPIF1<0.【详解】由三角形面积公式，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.由余弦定理，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故答案为：5.高频考点二正弦定理、余弦定理的应用【例3】（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）在平行四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】不妨设SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得到SKIPIF1<0，基本不等式得到SKIPIF1<0；在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的取值范围【详解】如图示：不妨设SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时等号成立）.即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D【例4】（2022·四川省武胜烈面中学校高三开学考试（文））SKIPIF1<0的三内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条件说明三角形是等腰三角形，两者结合起来判断.【详解】根据条件：SKIPIF1<0，利用正弦定理可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（不可能SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0为等边三角形.故选：B.【例5】（2022·湖南·隆回县教育科学研究室高一期末）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0°(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求sinC的值；(3)若D为边BC上一点，且cos∠ADC=SKIPIF1<0，求BD的长.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）由余弦定理得：SKIPIF1<0＝7∴SKIPIF1<0（2）由正弦定理：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.（3）如图所示：过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝SKIPIF1<0，∠B＝300，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【方法技巧】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.3.求解几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示.(2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.【变式训练】1．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬SKIPIF1<0）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即SKIPIF1<0）约为SKIPIF1<0，夏至正午太阳高度角（即SKIPIF1<0）约为SKIPIF1<0.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即SKIPIF1<0的长）为7米，则表高（即SKIPIF1<0的长）约为（

）（已知SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0米 B．SKIPIF1<0米 C．SKIPIF1<0米 D．SKIPIF1<0米【答案】C【分析】由题意可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的长为7米，求出SKIPIF1<0，即可得出答案.【详解】由图可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·全国·高一课时练习）如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意，利用余弦定理可以判断.【详解】由余弦定理知SKIPIF1<0，所以只要测量出SKIPIF1<0，且这三个数据便于测量．故选：C3．（2022·湖南·长沙一中高二开学考试）神舟十三号飞船于2022年4月16日首次实施快速返回技术成功着陆．若由搜救地面指挥中心的提供信息可知：在东风着陆场搜索区域内，A处的返回舱垂直返回地面．空中分队和地面分队分别在B处和C处，如图为其示意图，若A，B，C在同一水平面上的投影分别为A1，B1，C，且在C点测得B的仰角为26.6°，在C点测得A的仰角为45°，在B点测得A的仰角为26.6°，BB1=7km，∠B1A1C=120°．则CA1的长为________km．（参考数据：SKIPIF1<0）【答案】10【分析】设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则由题意可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后在△SKIPIF1<0中利用余弦定理列方程可求得结果．【详解】解：如图：设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPI