一题多解圆锥曲线离心率

一题多解圆锥曲线离心率典型例题【例1】设椭圆的左焦点为，直线：与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率的取值范围是【解析】【解法1】如图，设右焦点为，易知四边形是矩形，令，，所以，，，，所以.因为，所以，.所以，所以.【评注】利用椭圆定义以及椭圆的对称性得到离心率的表达式，再由三角函数的有界性求解.【评注】先由直角三角形的性质求出点的坐标，代入椭圆方程得到与之间的关系，利用余弦函数的有界性得到关于的不等式.【解法2】如图，易得，，则有，所以.又因为点在椭圆上，所以，整理得，因为，所以，所以，且，化简后解得，又因为，所以.【解法3】以为直径的圆的方程为，所以，，所以，因为，所以，所以，又因为，且，所以上式整理后解得.又因为点在椭圆上，所以，整理得，因为，所以，所以，且，化简后解得，又因为，所以.【评注】设直线的方程为，由已知可得，在以为圆心，为半径的圆上，联立方程组消去，后得到与，，的关系式，利用倾斜角范围求出的范围，得到不等式求解.【解法4】设椭圆的右焦点为，易知四边形是矩形，令，.如图12-1，，，，由椭圆定义知:，又因为，，，所以，其中，所以.【评注】同【解法1】得到离心率与的关系，把表达式平方后，，利用对勾函数求解.【解法5】因为是的中点,所以.所以,当时,此时点记为.由得.由题意得,所以,所以所以.又因为,所以.【评注】利用椭圆上点到原点距离的变化趋势,结合极端情况,得到离心率的不等式巧解.【解法6】因为,所以四边形为矩形,又因为,所以,因为,所以,因为,所以,所以,所以,又因为,所以.【评注】利用矩形面积转化成两个焦点三角形面积后确定参数范围.【赏析】【解法1】利用橢圆的对称性,将转化为,将与用角表示,再利用椭圆的定义将离心率表示为的函数,进而求出离心率的取值范围。应用【解法1】求解时应注意角的取值范围.【解法1】体现了函数思想,要求学生有较好的分析能力及化归能力.【解法2】将点的坐标用角表示,然后代入椭圆方程解出利用,求出的取值范围,得到关于的不等式,结合得出的取值范围.【解法2】利用了点在曲线上即点的坐标满足曲线方程的特征,解题过程中体现了方程思想与化归思想,对学生的运算能力及化归能力有较高的要求,利用余弦函数的有界性将问题转化为不等式问题是解题的关键.【解法3】将直线的方程与圆联立,求出后代入粗圆方程解出后，再结合,得出,建立关于的不等式,结合,求出的取值范围.【解法3】与【解法2】类似,前者利用点的坐标,后者利用斜率,两者的思想完全相同,恰当合理的转化是解决问题的关键.【解法4】将用表示,利用椭圆的定义及是直角三角形,将表示为的函数,利用对勾函数求解.【解法4】与【解法1】类似,只是对的处理上有所不同.【解法4】利用化切处理再结合均值不等式得解,体现了函数思想与化归思想,在数和式的处理上对学生提出了较高的要求.【解法5】利用极端情况,即时的情况,将的长度用表示,再结合得到事实上这里也利用余弦定理及勾股定理将用表示,再结合椭圆定义得解.【解法5】采用“以静制动”的方式处理问题,要求学生具有较好的观察能力与推理能力.【解法6】利用,结合焦点三角形面积公式将用表示,再利用的有界性求出的取值范围.【解法6】与【解法2】类似,这里利用了正弦函数的有界性,同样要求学生具有较好的分析、解决问题的能力和丰富的函数不等式的知识储备.【例2】设是双曲线的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点.若,则的离心率是（）A.B.2C.D.【解析】【解法1】不妨设直线的方程为.将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用距离求解.联立.可得，由可得,可得或,所以或者当时不满足,所以.故选C.【评注】将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用距离求解.【解法2】不妨设直线的方程为.联立可得,同理可得.由得,所以,可得,所以故选.【评注】将直线的方程与渐近线方程联立求出点的坐标,利用纵坐标关系求解.【解法3】由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离,所以.因为,所以.因为,所以,整理得,所以故选.【评注】利用双曲线中的几何意义,以及正切函数的定义得到的关系式求解.【解法4】过点向双曲线的另一条渐近线作垂线,垂足为,则.在中,得,所以故选.【评注】由双曲线的对称性,构造含角的直角三角形解决问题.【赏析】【解法1】利用坐标法求出直线与浙近线的交点坐标,再利用得到的关系式,进而求出离心率的值(注意对进行检验).【解法1】利用坐标法求解,将转化为,利用两点间距离进行处理.解题过程中体现了方程思想的运用.本解法思路较为简单,对运算能力要求较高.【解法2】首先求出直线与渐近线的交点坐标,然后利用得到(这里也可以分别过点向轴作垂线得到),进而得到的关系式,解出离心率【解法2】较之【解法1】降低了运算量,思路也更为自然,选择纵坐标的运算量明显少于选择横坐标的运算量.解题过程中体现了方程思想,要求学生有较好的运算能力.【解法3】首先将与的正切用表示,再利用正切二倍角公式得到之间的关系式,进而求出离心率的值.【解法3】利用了双曲线焦点到渐近线的距离为的特征,结合图形,巧妙地利用了长度关系及双曲线的对称性.解题过程中体现了数形结合思想与方程思想,对学生的观察能力及分析问题的能力有较高的要求.【解法4】则通过添加辅助线,将“”化到同一直角三角形中,利用的长度关系及相似、双曲线渐近线的对称性得到的大小,进而求出离心率,构思巧妙,易于运算.【解法4】与【解法3】类似,但优于【解法3】,可谓把数形结合运用到了极致,对学生分析问题的能力要求很高.【例3】已知双曲线的两个焦点为,若为双曲线上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为（）A.B..C.D.【解析】【解法1】如图,设当点在右顶点处时,因为,所以,故选【评注】利用双曲线的定义以及余弦定理求出离心率的表达式,由余弦函数的有界性求解.【解法2】设,则,所以,又(当且仅当三点共线时等号成立),所以,即,得.又,所以,故选.【评注】利用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意本题可以取到等号,因为可以三点共线.【解法3】设,因为,所以由焦半径公式可得,解得.因为,所以,解得.又,所以.故选.【评注】利用焦半径公式,以及右支上的点的横坐标范围构建不等式,确定与的关系.【解法4】依题意可知点在双曲线的右支上.因为,所以,解得.又,所以.故选.【评注】利用双曲线右支上的点到焦点的距离的最小值为,得到不等式求解.【解法5】设所以.由面积得,即.所以,即因为,所以.故选.【评注】由双曲线的定义,求出,利用焦点三角形的面积公式通过算两次得到以及两焦半径夹角之间的关系,再利用余弦函数的有界性求解.【解法6】设,已知.因为,所以,即,解得.因为,所以,解得.又,所以.故选.【评注】利用两点间距离公式求解.【赏析】【解法1】首先将表示为,再利用余弦定理将用表示,消去后将表示为的函数,结合的取值范围求出的取值范围.【解法1】体现了函数与方程的思想,利用余弦函数的有界性求出离心率的取值范围,要求学生有较好的化归能力.【解法2】利用了三角形的三边关系.应注意利用两边之和与第三边的关系只能求出离心率的上界,不能求出下界,还要借助双曲线离心率大于1的特征得出离心率的取值范围.【解法2】的运算量较小,思路也较为简单,对本题是一种较为实用的方法.【解法3】利用㸚曲线焦半径公式,建立的不等关系求解.【解法3】体现了方程思想,借助双曲线性质中的范围,建立关于的不等关系得到的上界,再结合得解.【解法3】思路较为简单,利用范围建立不等式的方法也是通法,学生较易想到此种方法.【解法4】由双曲线上任一点到焦点的距离的最小值为,建立的不等关系求解.【解法4】与【解法3】类似,只是将点的范围代换为的范围,而这里的范围则利用双曲线的定义得到.【解法4】也是常见的解题思路,只要掌握基础知识与基本方法即可.【解法5】首先利用双曲线的定义将用表示,然后利用焦点三角形面积及余弦函数的有界性求解.面积法也是解决圆锥曲线问题的常见方法,【解法5】对学生代数式的处理能力及三角恒等变换能力要求较高.【解法6】利用两点间距离公式及求出的取值范围,再利用及求出的取值范围.有界性是处理离心率范围问题的常见方法.通过解不等式得到,这是建立不等关系的关键.【例4】已知双曲线的左焦点为,若双曲线右支上存在点,使得线段的中点仍在双曲线上,则双曲线离心率的取值范围是________.【解析】【解法1】设,依题可知,因为,所以的中点的坐标为因为点在双曲线上,所以,因为点在双曲线上,所以,两式联立消去得,解得,所以,又因为,整理可得.【评注】利用点在双曲线上,以及右支上点的横坐标的范围求解.【解法2】因为为的中点,为的中点,结合双曲线的第一定义可得,所以点在以为焦点,长轴长为的双曲线上,即点在双曲线向左平移单位长度所得双曲线的右支上,其右顶点的横坐标为,由题意知存在点的条件是两条双曲线有交点,所以,解得【评注】利用双曲线定义、三角形中位线定理,以及两双曲线有交点的条件解题.【解法3】设双曲线的左、右顶点分别为,右焦点为,不妨设点在直线上,依双曲线的对称性可知,只需考虑直线的斜率即可，直线绕点逆时针旋转,即当从0逐渐增大时,逐渐减小,若要满足仍为中点,则只需即可,即,解得【评注】利用几何动态变化,观测的变化趋势，得到不等式求解.【解法4】设,则,由得,即,解得.【评注】利用双曲线的定义以及三角形不等式求解.【解法5】设,由双曲线的第二定义,因为点在双曲线上,所以,即因为点在双曲线上,所以,即,两式相减消去得,所以.【评注】利用双曲线第二定义,以及余弦函数的有界性求解.【赏析】【解法1】利用点在曲线上进行解答.条件中曲线上存在点满足关系式的题目均可使用此解法.【解析】【解法1】利用了坐标法,结合建立关于的不等式后得解,是处理离心率取值范围问题的常见方法.【解法2】考虑点所满足的方程和双曲线方程的关系进而求解,方法独特.【解法2】体现了数形结合法的优越性,对能力要求较高.【解法3】利用直线斜率的变化情况,判断结论的临界取值,是解答小题的一种策略.【解法3】体现了数形结合思想.【解法4】有效利用平面几何中的三角形边长关系,简洁明快.两边之和与第三边的关系是建立不等式的常见思路.【解法5】利用双曲线的横坐标公式与余弦的有界性求解,运算量较小.【例5】设为双曲线上的一点,分别为的左、右焦点,若的内切圆的直径为,则双曲线的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【解析】【解法1】如图,不妨设点在第一象限,设的内切圆与三边分别切于点,则有,由双曲线定义有，所以,所以,所以点在双曲线上,即点为双曲线的右顶点,所以内切圆圆心横坐标为,所以的内切圆圆心坐标为.当趋向无穷大时,几乎与渐近线平行,设渐近线的倾斜角为,切线的倾斜角为,则.因为,且,因为，由得到,解得,因为,所以,所以,所以,解得故选.【评注】利用双曲线定义,以及角的特点得到不等关系.【解法2】不妨先固定,由【解法1】知内切圆切于顶点,内切圆圆心为当焦点远离顶点时,双曲线离心率越来越大,当焦点接近顶点时,离心率越来越小,其临界状态为.当时,.因为,所以,，，因为,所以,所以,此时,所以,故选.【评注】固定,分析变化时离心率的变化规律，得到当时为的极小值位置(不能取到).【解法3】不妨设点在第一象限,因为的内切圆半径为,则又,所以,所以,又因为,而,所以.所以,所以.又点在双曲线上,所以,消去,有,整理得到.所以关于的方程在上有解.令,当时,,此时恒成立,方程在上无解,故舍去;当时,恒成立,方程在上无解,故舍去;当时,注意到,抛物线开口向上,此时在上有解,所以满足题意,所以,所以,所以.故选.【评注】利用函数与方程思想,转化为方程解的问题.【赏析】如果题目涉及焦点三角形,常常运用圆锥曲线的定义,结合图形借助平面几何知识寻求不等关系,如【解法1】利用角度之间的关系,结合三角恒等变换,得到的不等关系.【解法1】体现了数形结合思想与方程思想,对能力要求较高.极端分析就是将所要研究的问题向极端状态进行分析,使因果关系变得更加明显,从而迅速解决问题.对于计算量大的题,有时采用极端分析,就能较快地解决问题,如【解法2】.利用圆锥曲线横坐标或纵坐标自身的限制条件,例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕“在曲线上存在一点”展开,则可考虑将该点坐标用表示,且点坐标的范围限制就是求离心率范围的突破口,或转化为一元二次方程在某个区间内有解,如【解法3】.【例6】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,曲线的一个交点为,且,则的离心率与的离心率一定满足的关系是（）A.B.C.D.【解析】【解法1】因为,不妨令,所以,所以,故选D.【评注】采用特例排除法解题.【解法2】不妨设椭圆的方程为,双曲线的方程为,点在第一象限,半焦距为,则,所以,因为,所以,所以,所以,所以,故选.【评注】利用椭圆与双曲线的定义,借助勾股定理求解.【解法3】设椭圆的方程为,双曲线的方程为.如图,由焦点三角形的面积公式,在椭圆中有:在双曲线中有:所以.所以.故选D.【点拨】利用椭圆、双曲线焦点三角形的面积公式求解.【解法4】如图,设,则,故选D.【评注】利用椭圆及双曲线的定义及正弦定理.【赏析】【解法1】取特例,对选项进行检验排除,可以快速地得到答案.作为选择题,如果能用特例进行排除,可以提高准确率.【解法1】体现了特殊化方法的优势.【解法2】是求解圆锥曲线离心率的常用方法,利用圆锥曲线定义结合平面几何知识,从几何关系寻求的关系式.分析图形的几何特征,利用几何关系建立关于的方程是解决离心率问题的常见策略.【解法2】体现了方程思想的运用,对代数式的恒等变形能力要求较高.【解法3】利用椭圆与双曲线焦点三角形的面积公式,得到曲线之间的关系.椭圆焦点三角形面积:其中.【解法3】体现了方程思想与化归思想的运用,要求学生具有较好的分析、解决问题的能力.【解法4】对代数式的恒等变形要求较高.强化训练1.如图分别是双曲线的左、右焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近线分别交于两点,线段的垂直平分线与轴交于点.若则的离心率是（）A.B.C.D.【解析】易得直线的方䅣为:,则,则的中点的坐标为,中垂线方程为.由题意得,所以,即,所以.故选.2.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）【解析】设.则,由余弦定理得,所以,当且仅当时取等号.所以,故选.3.如图,已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上的一点,直线与轴交于点的内切圆在边上的切点为,若,则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【解析】如答图12-1所示,设直线与的内切圆相切于点.则.所以,所以,所以,所以,即2.由,可得,所以该双曲线的离心率,故选.4.已知点在轴上,点分别为双曲线的右顶点及右焦点,且与的夹角为,则此双曲线离心率的最小值为________.【解析】如答图,以为半径作圆,.欲使轴上存在点,使得,则圆必与轴有公共点,所以,即,所以.故离心率的最小值为3.5.设是双曲线的右焦点,过点向的一条渐近线引垂线,垂足为,交另一条渐近线于点,若,则双曲线的离心率是________.【解析】由题意得右焦点,设一渐近线的方程为,则另一渐近线的方程为,设,因为,所以,所以,所以.由可得,所以,所以.6.已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若,则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】点与关于原点对称,所以点在椭圆上,设左焦点为,根据椭圆定义得,又因为,所以(1),为的斜边中点,所以,又