2022-2023学年江苏高一年级下册数学同步讲义苏教版2019必修第二册第01讲 基本立体图形解析版

第13章立体几何

第01讲基本立体图形

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课程标准重难点

1.利用实物模型、计算机软件等观察空间

图形，认识柱、锥、台的结构特征，能运

用这些特征描述现实生活中简单物体的结

1直.观图的面积

构.

2.简单几何体的结构特征

2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长

方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组

合)的直观图.

®知识精讲

知识点一棱柱、棱锥和棱台-----------------------------------------------------------------------

i.可以从以下几个方面理解棱柱

(1)棱柱的两个主要结构特征：

①有两个面互相平行;

②各侧棱都互相平行,各侧面都是平行四边形.

通俗地讲，棱柱”两头一样平，上下一样粗

(2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行,如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一

组对面都可以作为底面.

(3)从运动的观点来看,棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到

另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体.

(4)棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱.

注意：棱柱概念的推广

①斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱•

②直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.

③正棱柱:底面是正多边形的直棱柱.

④平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形.

⑤长方体:底面是矩形的直棱柱.

⑥正方体:棱长都相等的长方体.

2.棱锥的两个本质特征

(1)有一个面是多边形;

(2)其余各面都是有二个公共顶点的三角形,

注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做的镀，棱锥还可按底面

多边形边数进行分类.

3.正确认识棱台的结构特征

(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；

(2)侧面都是梯形；

(3)侧棱延长线必交于一点.

注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为.正援食一棱台还可按底面多边形的边数进行分类.

知识点二圆锥、圆锥、圆台和球

1.圆柱的结构特征

(1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等.

(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.

(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形.

(4)过任意两条母线的截面是蟀一

2.圆锥的结构特征

(1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.

(2)平行于底面的截面都是圆「

(3)过轴的截面是全等的等腰三角形.

(4)过任意两条母线的截面是等腰量角形.

3.圆台的结构特征

(1)圆台有无数条母线,且它们相等，延长后相交于一点

(2)平行于底面的截面是圆二

(3)过轴的截面是全等的等腰梯形.

(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形.

4.球的结构特征

(1)球是旋转体,球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体・

(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，

但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.

5.简单组合体

由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：

①由简单几何体拼接而成；

②由简单几何体裁去或挖去一部分组成.

知识点三直观图的斜二测画法

Q能力拓展

考法01旋转体的结构特征

例

判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形;

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

【解析】(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.

(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,

如图所示.

(3)正确.

(4)错.应为球面.

【方法技巧】

简单旋转体结构特征问题的解题策略

(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.

(2)解题时要注意明确两点：

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线.

【跟踪训练】

1.下列叙述中，正确的个数是()

①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；

③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；②

以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去

截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错：④正确.故选B.

2.下列命题中正确的是（）

①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；

②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；

③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；

④球面上任意三点可能在一条直线上；

⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段.

A.①②③B.②③④

C.②③⑤D.①④⑤

解析：选C任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确：球面上任意三点

一定不共线，故④错误：根据球的半径的定义可知⑤正确.故选C.

考法02简单组合体的结构特征

■目►如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单儿何体组成的？

【解析】旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱0|。2和两个圆台。2。3,。3。4组成的；图②是由

一个圆锥。5。4,一个圆柱。3。4及一个圆台。1。3中挖去圆锥。2。1组成的.

【方法技巧】

简单组合体的识别

1.明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点

数.

2.会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”

成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力.

【跟踪训练】

描述下列几何体的结构特征.

二二二q六■*、、

(3)

【解析】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体：图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆

锥得到的组合体：图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.

考法03圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题

如图所示,已知圆柱的高为80cm,底面半径为10cm,轴截面上有P,。两点，且以=40cm.

89=30cm,若一只蚂蚁沿着侧面从尸点爬到。点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？

【解析】将圆柱侧面沿用线AA展开，得如图所示矩形.

J.A\B\=^-2Ttr=nr=107t(cni).

过点。作QS-LA4|于点5,

在RtAP05中，PS=80-40-30=10(cm),

05=48]=lOjt(cm).

:.PQ=yjPS2+QS2=1(hj7t2+l(cm).

即蚂蚁爬过的最短路径长是1cm.

【方法总结】

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.

【跟踪训练】在如图的方格纸上，已知向量。，每个小正方形的边长为1.

(1)试以8为终点画一个向量6,使b=a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使依=小，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量。平行，且长度相等(作图略).

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以4为圆心，半径为小的圆(作图咯).

考法04棱柱的结构特征

下列说法中，正确的是()

A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

【答案】D

【解析】A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱A8CD4由JCICI,令四边形ABC。

是梯形，可知平面平面DCC\D\,但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD

可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征.故选D.

【方法技巧】

棱柱结构特征问题的解题策略

(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：

①两个面互相平行；

②其余各面是平行四边形；

③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.

(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.

【跟踪训练】

I多选］下列关于棱柱的说法正确的是()

A.所有的棱柱两个底面都平行

B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行

C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱

D.棱柱至少有五个面

【答案】ABD

【解析】对于A、B、D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样的：有两个面互相人.9

平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成下辛彳

的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一

B

条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误.故选A、B、D.

考法05棱锥、棱台的结构特征

下列关于棱锥、棱台的说法:

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的

两部分不可能都是棱锥.

其中说法正确的序号是.

【答案】①②

【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形：

②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

判断棱锥、棱台形状的两个方法

(1)举反例法：

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.

(2)直接法：

棱锥棱台

定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

【跟踪训练】

下列说法中，正确的是()

①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等.

A.①②B.①③

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角

形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错：四面体就是由四个三角形

所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相

等，也可以不相等，故④错.故选B.

考法06多面体的平面展开图问题

(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面

展开图应该为(对面是相同的图案)()

(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体?

［解析］(1)由选项脸证可知选A.

(2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点；图②中，有5个三南形，且

具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还

有两个相似的三角形，符合棱台的特点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②

为五棱锥，③为三棱台.

［答案1(DA(2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台

【方法技巧】

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把

多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.

(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过

程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.

【跟踪训练】

1.［变条件，变设问］将本例(1)中改为：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左

面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”

在正方体的上面，则这个正方体的下面是()

A.1B.9

C.快D.乐

解析：选B将图形折成正方体知选B.

2.［变条件，变设问］将本例(2)的条件改为：一个几何体的平面展开图如图所示.

(1)该几何体是哪种几何体？

(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面?

解：(1)该几何体是四棱台.

(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程

考法07水平放置的平面图形的直观图

画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示.

［解J(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边08所在直线为x轴，垂直于08的腰0力所在直线为)，轴建

立平面直角坐标系.画相应的/轴和轴，使O'yf=45°,如图①②所示.

(2)在『轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=：。£>,过点Q'作/轴的平行线/，在/上沿『

轴正方向取点C'使得》C=DC.连接夕C,如图②.

(3)所得四边形O'B'CD'就是直角梯形O8C。的直观图.如图③.

【方法技巧】

画平面图形的直观图的技巧

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶

点在坐标轴上，以便于画点.

(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平

行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.B

I变式训练］

用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.3----

【解析】(1)如图①所示，以8c边所在的直线为x轴，以8c边上的高线A。所在的直线为轴.

(2)画对应的『轴、y'轴，使Nx'O'y'=45°.

在x'轴上截取。'B'=0'C=0B=0C=2cm,在y'轴上取O'=joA,连接A'B',A'C',

则三角形A'B'C即为正三角形ABC的直观，图，如图②所示.

考法08空间图形直观图的画法

画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

【解析】画法：⑴画轴.画Ox轴，轴，Oz轴，NxOy=45°(或135°),NxOz=90°,如图.

(2)画底面.以。为中心在平面内，画出正方形的直观图A8CD

(3)画顶点.在Oz轴上截取OP使。尸的长度等于原四棱锥的高.

(4)成图.顺次连接以，PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.

【方法技巧】

画空间图形的直观图的原则

(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的尤'轴与y'轴，两轴交于点O',

且使O'y'=45。(或135。)，它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面『O'y'垂直.

(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.

(3)平行于y轴的线段画成平行于<轴的线段，且线段长度画成原来的一半.

(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.

【跟踪训练】

用斜二测画法画出正五棱柱的直观图.

解：(1)画轴.画/轴、y'轴和z'轴，使Nx'O"y'=45°(或135°),乙x'O'z'=90°,如图①所示.

①②

(2)画底面.按/轴、y'轴画正五边形的直观图A8CDE.

(3)画侧棱.过点A,B,C,D,£分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA',BB',CC,

DD',EE'都相等.

(4)成图.顺次连接A',8',C',O',E',去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.

考法09直观图的还原与计算

(1)如图①，RtAO,A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=6,则这个平面图形的面

积是（）

A.1B.V2

C.2^2

2

(2)如图②所示，梯形AIBGDI是一平面图形ABC。的直观图.若4以〃。‘<,A阳〃G。，

=2,A\D\=Of£>］=1.试画出原四边形，并求原图形的面积.

［解析］(1)由题图知，△048为直角三角形.「。'夕=陋，・・・A‘夕=,，O'N=2.

在原△04B中，0B="04=4,..4人。"：!X啦X4=241故选C.

［答案］C

(2)如图，建立直南坐标系xOy,在x轴上截取0。=0'D,=l;OC=O'Ci=2.

在过点D与)，轴平行的直线上截取。4=2。4=2.

在过点A与x轴平行的直线上截取A8=A/i=2.连接BC,便得到了原图形(如图).

由作法可知，原四边形A8CO是直角梯形，上、下底长度分别为A8=2,CD=3,直角腰长度为AO=2.

2+3

所以面积为S=-7二义2=5.

【方法技巧】

1.直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与『轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于『轴的线段还原时长度不

变，平行于<轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即

可.

2.直观图与原图面积之间的关系

若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=条或S=2/S'.利用这一公式可由原

图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.

［变式训练］

1.［变条件］本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，NABC=45。，AB=AD^l,DC

-LBC,求原图形的面积.

解：如图①，在直观图中，过点A作AE-L8C,垂足为点E,则在RtZXABE中，AB=\,

NABE=45°,

所以BE=^.

而四边形AECO为矩形，AD=\,所以EC=A力=1.所以BC=8E+EC=^+1.

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.

在原图形中，D'=1,A'B'=2,B'C=V+1,且A'D'//B'C,A'B'A.B'C',

所以原图形的面积为

S=T（A，D'+8，C）-A'B'=|xh+l义2=2+坐

2.［变条件，变设问］本例⑴若改为“已知△ABC是边长为a的正三角形，求其直观图B'C

的面积”，应如何求?

解：由斜二测画法规则可知，直观图△A'夕C一底边上的高为坐〃*3*坐=乎用

所以SA4ZB'c

Lo10

3.［变设问］本例（1）中直观图中△0'4'B'的面积与原图形面积之比是多少？

解：由（1）中直观图可得SAOA，夕=gxgx/=1,

原图形面积为SAOAB=2啦.所以S"：八"=，仁=^^.

OAQ4B2\24

羔分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2,则原平面图

形的面积为（）

【解析】直观图中，/ADC=45°,AB=BC=2,DC1BC,：.AD=2^2,DC=4,

原来的平面图形上底长为2,下底为4,高为4&的直角梯形，

,该平面图形的面积为（2+4）x40xg=12应.故选：C

2.已知正A4?C的边长为忘，则AABC的直观图7月G的面积为（）

A.迈B.3C.一百D,如

248

【答案】D

【解析】由题意S“BC='X（血＞xsin工=@,

262

所以直观图"BC的面积为5=立乂"=逅.故选：D.

248

3.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由题设，若母线长为/,则加=2万，可得/=2.故选：B

4.下列结论中正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥

C.当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是正六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【答案】D

【解析】对于A,正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，所以A错误，

对于B,若以锐角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥

形成的组合体，所以B错误，

对于C,正六棱锥的底面六边形的外接圆半径与底面边长相等，而正棱锥的侧棱长大于底面多边形外接圆半

径，所以正六棱锥的侧棱长大于底面边长，所以C错误，

对于D,圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，所以D正确，故选：D

5.下列说法正确的有（）

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台：

②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④圆锥的轴截而是等腰三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各

面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；

对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转调所得的旋转体不是圆锥.故②错误；

对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；

对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.

故选：A

6.21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和

母线长分别为4m和5m,该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为

（）

A.36-21>/2mB.40-21&mC.4O-240mD.36-24血m

【答案】D

【解析】因为圆锥的高和母线长分别为〃=4m和/=5m,

则圆锥的底面半径为r=庐下=3m，

过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：

此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为。，则=

作A。垂直地面于。，则AO=〃,EO=r

因为A£CG~AEOA,所以4=担，

AOEO

r-^-a2rh

即qL2即叫E所以a=（36-240）m.故选：D.

工r

二、多选题

7.下列说法中不正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

【答案】ABC

【解析】A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它

不是棱锥，故A错误；

B、如图（2）（3）所示，若AABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都

不是圆锥，故B错误；

C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底

面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；

D、根据圆锥母线的定义知，故D正确.

故选：ABC.

(1)(2)(3)

8.（多选题）对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是（）

A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的

B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的

C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的

D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的

【答案】AB

【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合

而成，如下图所示：

囹整

故选:AB.

三、填空题

9.如图，O'A'8'C'是平面四边形O43C的直观图，若O'45'C'是边长为2的正方形，则四边形。43c的周

长为.

【答案】16

【解析】•.•。'4=2,

O'B'=2A/2

还原回原图形后，

OA=OA'=2,OB=20'B'=472.

AB=y/OB2+OA2=j32+4=6，

原图形的面积周长为2x（6+2）=16故答案为：16.

10.达・芬奇认为：和音乐一样，数学和几何"包含了宇宙的一切"，从年轻时起，他就本能地把这些主题运

用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方

体图案（如图1）,把三片这样的达♦芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3

中每个正方体的边长为1,则点F到直线QC的距离是.

【答案】O

【解析】根据题意，延长QM8A交于点M,连接QEFC,如下所示:

在AQ/C中，容易知：QF=JQN?+NF。=Jl?+（厨=6；

同理FC=Ji?+（6y=R,QC=JQM2+MC2=5+（可=3,

满足QF+FC2=QC2,设点F到直线QC的距离为d,由等面积法可知：

QF*FC=QCxd,解得"=1；二=夜,即点尸到直线QC的距离是

故答案为：V2.

四、解答题

11.在一张硬卡纸上，将图中给出的图形放大，然后按实线剪纸，再按虚线折痕折起并黏合，说出得到的

【答案】三棱台

【解析】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面与下底面平行，侧面与底面不垂直，所以

该儿何体为三棱台.

12.用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.

【答案】详见解析

【解析】（1）如图所示,

过A'作AC"轴，且A'C'=,C=1,连接此，则VAFC即为“BC的直观图;

（2）如图所示，

画出坐标系x'O'y',使Zx'O'y'=45,

在轴作线段O'B'=O8=2,在y'轴作线段0'4'=g0A=g,

再作出点C',O',连接B，C',C'Zy,D'A',即可得出该平面图形的直观图.

题组B能力提升练

一、单选题

1,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正

方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值

石-1cD.与

,2

【答案】B

【解析】

由已知，可画出正四棱锥的图像，底面715c。是边长为a的正方形，顶点P在底面的投影为O,OP=h,H

为8c中点，P”为侧面APBC的高，设尸”=",由已知可得：

h2——*a»h,h2=(h)2—(—)2=—,即h2——=—•a»h,

22242

贝打-£=[，，即｝:)2+!母_1=0,解得

4/122h4h2h

二=6_1或二=_石一1(舍去).故选：B.

hh

2.已知球。为正方体ABCO-AqGR的内切球，平面AGB截球。的面积为24],则正方体

ABC。-ABCA的棱长为()

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

设正方体的棱长为“，则AG=缶，内切球的半径为设内切球的球心。在平面AGB上的投影为0-

由△4CB为等边三角形

知。I为等边三角形AG8的重心，则。4=|x*AG=^a,又0%=%,所以球心。到平面AG8的

又。01，平面AGB，所以截面圆的半径为:

解得a=12.故选：D.

3.如图，在一个正方体中，E,G分别是棱A8,CC'的中点，F为棱C。靠近C的四等分点.平面EFG截正

【答案】D

【解析】

D

连接EB',GB'

因为E,G分别是棱A8,CC'的中点，F为楂CO靠近C的四等分点

所以EB'HFG,所以平面EFG经过点B'

所以多面体ADDA-EFGCB'的正视图为।故选：D

4.下列命题正确的是（）

A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直

B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行

C.各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合

D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥

【答案】C

【解析】对于A,一条直线与平面内的任意直线垂直，则直线与平面垂直，而无数条直线可以是一组平行直

线，A不正确；

对于B,由平行公理知，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，B不正确；

对于C,因各面都是正三角形的四面体是正四面体，而正四面体的外接球球心和内切球球心重合，C正确；

对于D,三棱锥中，AB=BC=CA=PA=2,PB=PC=3,

显然三棱锥P-ABC各面都是等腰三角形，而三棱锥P-43c不是正三棱锥，D不正确.

故选：C

5.已知过8%的平面与正方体ABC。相交，分别交棱AA，CC,于"，N.则下列关于截面的说法中,

不正确的是（）

A.截面8MAN可能是矩形B.截面可能是菱形

C.截面可能是梯形D.截面的WRN不可能是正方形

【答案】C

【解析】如下图，当M,N分别与对角顶点重合时，显然是矩形；

如卜图，当〃，N为44,CG的中点时，显然是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知：BMD、N不

可能为正方形；

根据对称性，其它情况下BMD、N为平行四边形；

综上，C不正确.故选：C.

6.从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，

下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体,

则截面图形的面积为（）

A.4万一4B.44C.4万一2D.21一2

【答案】C

【解析】截面图形应为圆面中挖去•个正方形，且圆的半径是2,

则截面圆的面积为：4万

设正四棱锥的底面正方形边长为。，则2/=16,所以a=2夜

正四棱锥的底面正方形的面积为卜加『=8

由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似

设圆面中挖去一个正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形为S

S'q'1

则卷=g=7从而S'=2

S84

所以截面图形的面积为4万-2.

故选：C.

二、多选题

7.已知正方体ABCO-ABCIR的棱长为2,P是正方体表面一动点，下列说法正确的是（）

A.若AP=2,则点P的轨迹长度为3万

B.若AP=C]P,则点P的轨迹长度为6

C.若点P到直线8区的距离为1,则点尸的轨迹长度为4

D.若点P到直线A4,BB-C。的距离相等，则满足条件的点P仅有2个

【答案】AD

【解析】对A,如图，点P在以A为球心，2为半径的球面上，该球面与正方体表面的交线为三段半径为2

的四分之一圆，故轨迹长度为±x2;rx2=3;r,故A正确；

对B,如图，点P在过线段4G中点且与A&垂直的平面内，该平面与正方体表面的交线是边长为正的正

六边形，轨迹长度为6夜，故B错误；

对C,如图，点尸在以线段为轴，底面半径为1的圆柱面内，该圆柱面与正方体衣面的交线为两段圆弧

和两条线段，故轨迹长度为2x1x2万+4=%+4,故C错误；

对D,如图,因为点P到伍,8用的距离相等,故点尸在过线段4B,A冉中点，且与垂直的平面内，在平

面ABCD和平面A瓦GR内个存在•点满足要求，即满足条件的P点有2个，故D正确.

故选：AD.

8.下列说法中不正确的是（）

A.所有几何体的表面都能展成平面图形

B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

C.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么该几何体可能是棱柱

D.上、下底面是等边三角形的三棱台一定存在外接球

【答案】ABD

【解析】对于A选项，球的表面不能展成平面图形，故错误；

对于B选项，各侧棱都相等的棱锥为正棱锥不能保证底面为正多边形，只能得到顶点在底面上的射影为多

边形的外心，故错误；

对于C选项，用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么该几何体可能是三棱柱，故正确；

对于D选项，上、下底面是等边三角形的三棱台，侧面梯形不一定有外接圆，比如有一条侧棱垂直于底面的

情况，故错误.

故选：ABD

三、填空题

9.水平放置的平面四边形0A8C,用斜二测画法画出它的直观图OABC'如图所示，此直观图恰好是个边

长为2的正方形，则原平面四边形OABC的面积为.

【答案】8&

【解析】-：O'A!=2,:.O'B'=2>/2

还原回原图形后,

OA=OA'=2,08=20®=40

•.・原图形的面积为2x4正=80

故答案为：8夜

10.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，与截面垂直的球体直径被截得的部分称作球冠的高.若半径为R的

球面被一个平面截成两个球冠，这两个球冠的表面积之差等于截面面积的2倍，则球心到截面的距离为

.(球冠的表面积公式：S=2M,其中R是球的半径，/?是球冠的高)

【答案】(t-l)R

【解析】设球心到截面的距离为d,则2乃R(R+d)-2%R(R-d)=2"店一")，

d'+ldR-R1d=«-l)R(舍去负值).

故答案为：(应-1)R.

四、解答题

11.如图，已知点A(-U),8(1,3),C(3,l),用斜二测画法作出该水平放置的四边形A8CO的直观图，并求

13

【解析】由斜二测画法可知，在直观图中，4。'=1,0q=1,GO'=3,8c=2,B再=j,

GG=；，B\BJ/CJ、NA40'=N482c2=45。，

所以月G。'=m与+SCQ由一S"&o,—Sa。。2G

(/4A+^B)ABsin45°(qC+^,B)CBsin45°444。'-sin45。GCCO'sin45。

----1--2----1-2------2--------1------2-----2----2--2------------=------------------------------

2222

近1I&1,y/2

—xlx———x3x——

2__22223应.

22~2~

12.用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别是什么空间图形？

沿图中虚线折起来粘好得到下列图形:

它们分别是正三棱柱，圆锥，正四棱台.

题组C培优拔尖练

一、单选题

1.已知一圆锥底面圆的直径是3,圆锥的母线长为3,在该圆锥内放置一个棱长为。的正四面体（每条棱长

都为"的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则。的最大值为（）

A.1B.历C.6D.2

【答案】B

【解析】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，

设球心为P,球的半径为r,卜底面半径为R,轴截面上球与圆锥母线的切点为Q,圆锥的轴截面如图:

由已知A8=SA=SB=3

所以三角形弘8为等边三角形，故P是ASAB的中心,

连接BP,则BP平分NSBA,ZPSO=30"；

所以tan3(T=£,即上=&=旦之=走,

R3322

即四面体的外接球的半径为r=".

2

另正四面体可以从正方体中截得，如图：

从图中可以得到，当正四面体的棱长为。时，截得它的正方体的棱长为也a,

2

而正四面体的四个顶点都在正方体上，

故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，

所以2r=GA4,=>/3xa=a,

22

所以〃=即。的最大值为正.故选：B.

2.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的柳卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹

凸部分（即梯卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称,

从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90。样卯起来，如图，若正四棱柱的高为8,底面正方形的

边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（）（容器壁的厚度

忽略不计）

A.21笈B.40乃C.41万D.844

【答案】D

【解析】由题意知，当该球为底面边长分别为4、2,高为8的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所

以，该球形容器的半径的最小值为宣=，>/64+16+4=恒,因此，该球形容器的表面积的最小值为S=84».

2