积分变换课后习题答案2

二例题分析99

dF()]=-//</).

即

&)_一；「

(4)从附录D中公式(66),我们也已经知道它的Laplace逆变

换，现在利用幕函数的Laplace变换，位移性质及积分性质来求证

这一结果.设E(s)=—・」，首先求为此，根据哥

Vs+〃

函数的Laplace变换式:

取5=>1J,有

所以，上式两边取Laplace逆变换，有

，’1；-三1,

W5J

由位移性质，可以得到

100第二章Laplace变换

根据积分性质：9口：人(，)+]=,所以

f(t)=9"[F(S)]=..Lpi(s)j=/1,(t)dz

L5JJo

这里，erf(i)=圣[e‘dr称为误差函数.

VTtJo

例2-3利用Laplace变换,计算下列广义积分：

八、sin£cost1,,sinl

(1)--；----d£;(2)——edt;

Jo1Jor

,4B0+m

(3)re"2rcosrdr;(4)e-/(^sint)'dz.

J0Jo

解利用Laplace变换求解某些广义积分的值是十分有效

的.一般是通过Laplace变换的积分性质(象函数的积分性质)及

终值定理来完成.对于广义积分的被积函数形如

c~cos/3tf{t)；c-<>fginptf(.t)

的类型还可以得到更为简便的计算方法.

(1)方法1利用Laplace变换的定义及积分性质，因为

sinfcost,1sin2f」

---------dt二亏一--dr

Jot2Jot

由积分性质知

"[牛HI"叫其中Wf⑺]=F3)

因此

sin2i卜uu•c.

o

[sin2iIds

二例题分析101

2

-arctan-5.(ReG)>0).

~2

令sf。'，则

即

方法2由积分性质和终值定理,可以直接得到

/(t)dfrKmF(s),其中F(s)——[/(，)].

0J—0

因此

而

同样，有

sinZcostA.1「一/元5\1冗

----d£二寸hmk—arctank)=>

t213122/4

(2)方法1利用Laplace变换的定义及积分性质.因为

~2-arctan5,

即

s)ntJ'sin£­?c

---ed，=彳一arcxans,

由于s=l在半平面Re(s)>0内，因此，在；=1时，有

102第二章Laplace变换

方法2我们已经知道a[誓]=，仃-由位移性

质，有

9'。一'-；-arctan(.$+1).

从而

「gsint,[.\sint_-

----ed£—Limi/<z\-----er

Jl)tBLt.

兄7T

=limt一arctan(3+1)

.一QLLT

(3)根据例2-1的第(1)小题,我们已经求得

£[/(，)]=g[，CCR犯]二「尸Q•

LU-3)+BJ

而本小题取Q=-2,£=1,完全可以按上述两小题的两种方法求得

该广义积分的结果，但对于广义积分的被积函数为6co8泣人£)及

/sin伐f(D类型，这里介绍一种更简便的计算方法(但必须f⑺

的Laplace变换容易求得).根据Laplace变换的定义，有

F($)-£[/(/)]—厂/⑺…人

现取复变量s=a+R(Rc(s)=a〉c),即

F(a十甲)-j；jWei向

g04-oc

=eQicos他f(£)d±-je"sin伙/(2)dt.

JoJo

因此

e"cos但f(t)dt-Re[F(a+j/?)],(Re(s)—a>c),

J0

8

p"sin/f(/)d/=-Tm[F(r>+j/9)].(Re(s)=a>c)♦

Ju

特别，当a=0时，有

8

cos阿=ReCF(j/?)],(Rc(x)-02>c)

二例地分析103

「1g

sini}dt=—Ira：F(jS)],(Re(s)=0>c)

、°

当f=0时，有

p+8

|e"尸(()d£—Re[F(a)]「F(a),Rc(6)-a>c,

Jo

而当a=B=0时，实际上就是由终值定理得出的结果：

「8

/〈Z)df=F(0)==limF(s).

Ju'.7

本小题根据上面的计算公式，有〃r)=f,a=2甲=1,所以

)[/(£)1=F(s)=},s=2十j,

从而

).OD

fe"cos£d£=Re[F(s)]=Re^^TjyT

0

r1,3

=Re二Re[碧卜药•

(4)因为

pI8”8

ef(Zsint)3d/=「efsin3,

Jo

而由Euler公式，有

•3,一/0K—e_3.，1.

sin/=---k=^2rsint一丁sina□t.

\2j44

根据第（3）小题的方法，有

N「I3「4-8

Je'sin'dl=彳te-rsinzdi—yZ3e-rsin3tdt

fo4o

而/（£）=/，有Z[*z）]=2[j]=»,对于上式第一项,=1+

s

j,有

6_6__3

z―（i+j）4——爹，

对于上式第二项s=1十3j.有

1G4第二章Laplace变换

666…2136,

s4(l+3j)128—96jI250625人

因此

「1_一31-6L11「6I

fesmt——7—Im7-7、」4+j-Irn।—4丁、丁

Jo4L(1+j)J41(1+3j)」

3i/3\-2136.1

工Th，1[2]1~4lm,T25^'625J1

-136_9

-u+丁亦-皈-

例2-4利用Laplace变换求下列微分、积分方程的解：

-

(I)1y"+2y'+y=我一，了(0)™1,_y'(0)2；

(2)cos(t—r)y(r)dr=icost;

J01

(3)y"+2y=sint-y(r)dr,^(0)=0.

Jo

解利用Laplace变换求解微分、积分方程的优点在教材中

已作了较详细的说明.这里主要是利用Laplace变换的基本性质,

特别是线性性质、微分性质、积分性质及卷积定理来求这些方程的

解.

(1)设Y(s),对方程两边取Laplace变换，有

(s2y(s)-s+2)+2(sY(s)-1)+丫(S)-7~-E，

3+1；

(5?I2s，1)Y(5)=-;―J2*S♦

(5+1)

所以

W、_1,5,_1I1_1

w-UTTT(7+i)2"(s+ir(5+1产

从而

可)=，3「+「-It''

二例题分析1。5

（2）设夕［”（/）］=丫（s）,由附录口中公式（io）可知

2—1

J£［zcos£”^4^^（实际上由Ruler公式,位移性质或象函数

的微分性质可以直接求得此结果）.根据卷积定理，有

y[cost*y[£)]-》[fcos11-'r~2，

15+1)

即

52-1

——-■y(sj：、,：

s.+1<?VI产

所以

y(J_$_L..2s1

yejR?vTr了三

因此

y(O—2cosr-1*

（3）设式［y（z）］=Y（s）,由微分性质和积分性质,有

$丫（5）+2丫（5）==匚」-丫⑷，

§*i］N

即

(5+2+抄⑴=普，

11

y(s)=EyV+T5=*r*iy

例2-5求解定解问题

'J?

-=2x1；(0<J,z<+8)

da*d:t?

51j2

UI,_0-X；

、“I工-o3，.

1D6第二章Laplace变换

解设二元函数汉（彳"）,这里『，/的变化范围均为

（0,+8）;由所绐的定解条件可以看出，本例题关于I,关于/都

可以取Laplace变换.

方法1该定解问题关于1取Laplace变换，记

4「“（工"）I=U（s.r）.

由微分性质及已知条件观IK=3Z,可以推出%=3,从|仙

I.妾天JLa工[引〃

.遍dUa

=s31I-%--J--，%--…=c,di£—»S

这样，原定解问题转化为含有参数s的一阶常系数线性微分方程

的初值问题，即

（d__U=2乙+3•

dr1__」

UIe=4.

IS

解此微分方程，可得其通解为

）+〃，（.为待定常数）

结合初始条件，可得q=g.因此

21z13上2

UTT=r•亏»+—t+方,

s2s$

从而

“（工“）=；l2/+3r+/=+1*2+3/.

方法2该定解问题关于，取Laplace变换，记

S[%（%,£）]=U（工，5）,

同样，由微分性质及已知条件wL-o・•：:，，可以推出装;=2],

3HL=o

三习题全解107

从而

ra2u'色/也「\3u~\a〃|

='£.乙［a）.—A.i/'13]["l,=u

dUQ

='一，力•

这样,原定解问题转化为含有参数S的一阶常系数线性微分方程

的初值问题，即

dU2工2

3

5,-。

2.

§

解此微分方程，并结合初始条件,可得

SSS

从而

u(x,t)=-^-t2J-2-x+3f=丁U+1b2+3工.

总之，用积分变换（这里主要指Fcurier变换，Laplace变换及

Fourier正弦变换和Fourier余弦变换）求解偏微分方程的定解问

题，要根据自变量的变化范围和方程及定解条件的具体情况来决

定选取某种变换,因而对一个偏微分方程的定解问题可能存在多

种变换解法，这在教材中都已做了较详细的说明.选用解题方法时

必须加以注意.

三习题全解

习题一解答

1.求下列函数的Laplace变换，并给出其收敛域，再用查表的

方法来验证结果.

108第二章Laplace变换

(1)/(f)=siny;(2)/(O=e'J';

(3)—(4)y'(z)—sini;

(5)/(t)=sinhkt为实常数)；(6)/(r)=cosh比，(攵为

复常数)；

(7)fit)-cos21；(8)j\t)=sin21.

解利用Laplace变换的定义求函数“7)的Laplace变换，并

且给出结果存在的收敛范围，这些都是最基本的要求.为了方便起

见，以后的习题如无特别需要，可以不写出它的收敛域、另外，用查

表的方法来验证结果，其主要目的是学会使用Laplace变换表，请

读者自行验证.

(1)由Laplace变换定义，有

F(5)=?[/(£；]=「°/(1加7比

(用两次分部积分)-7义二，(Re(s)>0),

4s+L

(2)F3)=&"(£)]j「7-2£"山

J0

.十8

二joe-(“2)，df

二(5+2)eq

——x,(Re(s)>2).

s+2

(3)F(s)=9[f⑺1=[Ut

(用两次分部积分)二三，(R心)〉0).

s

(4)F(s)~0[f(c)]=Jsin；cosIe<rdf

三习题全解109

sin2teltdt

o

(仿照(D的方法)=rL，(Re(s)〉O).

、T4

(5)F(x)=$"[，("_=fsinh氏/e"df

上式右端第一个积分要收敛，必须5)>3而第二个积分要收

敛，必须Re(s)>因此

F(5)=£[/(£)]-=y[sinhkt]

_1e-•<-*)/IGO_p1e一3

2Ts-Qo2二Ts不Qo

11

s，k)2(5+A)

=/^,(ReOh).

S-k

(6)F(s)二y[/(2)]=coshktes!dt

由于k为复常数，上式右端第一个积分要收敛，必须Re(s)>

Re*),而第二个积分要收敛，必须Re(s)>-Re(出)，因此

F(o)="[/(£)]=9’[er)3hkt]

=上t.■(«■*)/I.3♦必r*8

2~(s-FT02二($工Go

=kTI+五ETT1，(RORe⑻I).

no第二章Laplace变换

(7)尸(犬)二,9[/'(/)]="df

Jo

=---+------H-------

2s2(1+4)

2―2

一，1f2&，(&(5)4°)・

s(s+4)

28

(8)F(5)-夕[/(£)]=siritcTil61

J0

(同⑺)i一本F

2

=内,(Re(s)>0).

s(s+4)

注如果已经掌握了一些常见函数的Laplace变换式，例如

STsinkt]=2f.；91coskt]=£2;

^Le-J=1=

s十as

等，则以上各小题就能更方便地得到结果.

2.求下列函数的Laplace变换：

三习题全解111

3,0</<2；3,;<y；

⑴/⑺T一1,2<£<4;(2).《)='

、0,1》4;cosz,z>^;

、1

(3)/(?)匚/十58(2);(4)f(t)=<xysfS(t)-sin

解(1)F(s)\f(z)e-"dr

=「31"dz+T-er,dt

JUJ2

_3c~w2e"4

-o-2

」.(3-4厂，+$7').

s

()()

(2)F5=»[/£]=f/(/)e-,rdr

Jo

=f>「卜8

e*d£IccsZe”山

/第一项用分部积分)=22、1**

｛或查积分表J一11-e.1)--j—re7.

s-+1

(3)F(s)=9[/⑴]=J；(e2/+5^(?))e-*d/

,48

e2re-ndt+5「a(1)e-"dt

1F+5口⑺e-"dt

s-

(利用8-函数筛选性质)=。计5(e〜)|

S—,"«，*0

_5s-9

3-2.

⑷F(5)=91/。]=「"

nost•8(1)-sint,以(f)九一”出

112第二章Laplace变换

110>

=(cmt•占(，)-sin/•u(Z))e

J-2

二cost»e-:u|-sin<fevdz

;=0.o

3.设fQ）是以2n为周期的函数，且在一个周期内的表达式

为

/、sinX,0<t4式：

Kt）=

0,7T<t<2-X.

求9"⑴].

解根据周期函数的Laplace变换公式，有

.9'

B"（，）]=丁、&

1—eJu

；----wsin£丁“df

1-eJo

（用分部积分法）二三

1

"（1-e-）（?+1）-

4.求下列各图所示周期函数的Laplaa变换：

解（D由图可知

/,（?）=r,0<?<b且5（f+，）=fit]

根据周期函数的Laplace变换公式，有

孑"⑺]二力『也

]—eJo

1-eu

三习随全解113

_11—(1+bs)ek

，--

―65~2-

1-es

_(1+，邛)—(1+bs)e~bs—ba

=._彳)『——

_(£+6sL(1一巨艮)~"上5

(T二ef2一

_1+加b

=下一

(2)由图可知f(，)=|sin-，0&，＜n,且+4)=/(/),

所以

2"(2)]=.―^—777[IsinZIe"dE

IcJo

=-：—fsin.;e-'dr

1-eh

_1[e，r(5sintcosZ)1In

114第二章Laplace变换

_1c-7

一厂■T木•不”一

1.7T$

-j-coth亍.

1+SN

(3)由图可知

.0,“Wr<2a；

D=<,

—1,2a<3a;

、0,3aWE<4a.

且“f+4a)=/(£),所以

^[/(f)]=?^/Q)e"d£

1-eJo

2<J

=].(1-e")(l-e-)

(1-ef+5"

_1-e"

-s(l+e-2ui)

l-e'2as

一s(l-「)(1-c-叼'

.1.e"V

-s(l+e-")'

/1/一«>•、lanh

s(1+e)as•

(4)由图可知_/(，)=口fj+2力=/(6),

所以

三习题全解115

I

1

■••^277，----1----

_1•_—___C___

s1+e-17

=-1tanun右-&

x2

习题二解答

1.求下列函数的Laplace变换式:

(1)/(£)=「+3,+2;(2)/(，)=1一房；

⑶/(0二(一1)2-⑷/⑺工小；

(5)/'(E)=「cosat;(6)f(t)~5sin2t-3cos2i;

(7)/(r)=e-n6/;(b)j{r)=e"cos47;

⑼f(z)=i"e"；(10)-5);

(12).d：.

(11)=

也

解本题主要是利用Laplace变换的性质来求函数的Laplace

变换，这比使用Laplace变换的定义来求函数的Laplace变换要方

便得多.但必须对Ipplaee变换的性质有较好的理解，还要熟悉和

掌握一些艳见函数的Laplae变换.

(1)F(5)=21./'(t)]

116第二章Laplace变换

=.9[t2+3r+2]

=¥[J】+3.夕[t]+2夕[1]

=l(2#+3$+2).

5

(2)F(i)=y[/(c)]

二”1]-9〔/门

11

注这里勺了是利用了位移性质.如使用象函

数的微分性质团也⑴卜-白(《)，其中G⑺=9“⑺]也

能得到同样的结果.

⑶F(s)=y[/(?)]

="(一)%,]

="(〃-2，+1评」

=y[/2e]-2y[rer]+y[e]

=2_21

5—2

(S~1)(S1)5-1

=7~~〔2-2(S-1)+(、LI)2]

(5-1)

$2-4s+5

一一

—(76-1i)'3'"•

(4)F(5)=jZ[/(01

—9—sinat

LZaJ

r上iceJ-jafr

=y工J工L

L2u2jJ

(reja/-气-小']

4aji

三习题全解117

_1/1一1|

4aj[($~ja)(s+ja)-/

_14aj,v

_s

(s1•aLy

注此小题也可利用象函数的微分性质得到结果.

(5)Fd[、()]

=N[fcosat]

由.7'[cosat]

l及微分性质

注此小题也可以利用位移性质及cosa=¥片二获得结果,

(6)F(s)=?"(f)]

~-J'[5fiixiIt—3cos2f]

10-3s

=1^'

(7)F(s)-i;[/(t))

=.7[tf"si”bt:

(由位移性质)=——'rvT-r-^-

(5+Z)卜3b

(8)F(.v)=y[/(f)]

=Y[e-t，cos4f]

-rrrsz+m4b,

118

第一早Laplace变换

⑼"⑺]

=*ftne“]

=7-（”为正整数）.

\s-a,

注由“[/]二」一及微分性质也能获得结果.

N—a

（10）

F（.$）=.9[y（t）]

=.9[u（3f-5）[

~：j"[叫一；川

（由〃（小）二〃（？），。为正实数）=/

U加

（用延迟性质）=J.c-

（11）F（s）"⑺]

=>/Lu（1—e，）：

（由（,）

ul-e-=u（，））"[〃（）]

1

s

（12）F（5）=/"⑺]

=.7'

丁行

1

r.——+I

（由位移性质）=_1.2

rT

/7「

（S-3。

「K

=习题全解119

其中

2,若“L/(/)」=G为正实数，证明(相似性质)

/1/'("=%目，

并利用此结论，计算下列各式：

/,、口有「sinfI1-心sinat'

(1)已知.9一；-1=arctan--,求？——;

Li$Lt)

(2)求2[/(aL6)趾(a/'b)],b为正实数;

⑶求邛为目:

(4)求夕卜―/工)二

证按定义，有

2[/(aZ)]=/(a?)ewdr

J0

(令af=〃)=『/(«)e—du

Jua

(换"为"=

工-F(V

a\a/

(1)因为)[竽]=arctan方，所以由相似性质，有

“sinat11

'J-----——arctan——.

LatJas

a

1,,Tsinat1a

即—J-----=—arctan—,

aLtJas

从而

a

：/=arctan——.

120第二章Laplace变换

(2)由于在延迟性质的条件中附加了f<0时.这就

意味着

01f(t-b)u(t-b)]=V[f(t-Z;)]=e-/MF(A).

由相似性质，有

[f(at-b)u(at—b)=9"[/(at-b)]

—g

a

(3)根据位移性质:夕［5'/(力］二尸(s+l).从而由相似性质

aa

J卜一丁八十)卜aF(as+1).

(4)因为夕［八二F(s)，由相似性质，有

巾(！)］二①心).

再利用位移性质可得

,VeU，/^~=°F(a(s+a))=aF(as+a?).

3.若证明(象函数的微分性质)

♦")(—=(•l)"9![rf(/)],Re<3)>c.

恃别，£：，/(力]二-F'(s),或“£)=一：9一[卜($)],并利用

此结论，计算下列各式：

(1)f(t)=te-"sin2/，求F(s);

(2)f(t)=11e3rsin2ldtF(s);

J0

(3)F(.v)=In匚号，求f(t);

Sr1

三习鹿全斛121

(4)f(t)=.fe-3rsin&,求F(,v).

J0

证由Laplace变换的定义，有

(-O/(Q]

=£"(-/)V'(0e-"d?

p+«1]ft

=f为."""〕力

Juds

(变换积分与微分次序)-券r]。/(r)e^df

=F(")(s).

显然，尸'(0=一卫即

(力)]=一F'($),或/(r)=-；4一'[尸'(s)].

(1)因为(由位移性质)

“-一"sin2.=($+£>+4'

所以利用象函数的微分性质，有

d[2'

y[fe-i,sin2z]=

ds.(s+3产+4,

4(sI3)

一[(*+3)z+4p.

(2)因为(由积分性质)

9[[e"'sin2fdr=[elfsin2/]

"""1'2

~T

所以

¥|\「e7,5m2rdz]=—义f—|v2一^^

LJeJdsLs.($+3y+4]

_2(3,s-2+12s+13)

—sFs+af+仃'

122第二章Laplace变换

(3)因为

所以

/")=一;?[静泻)]

(4)因为(由积分性质)

sin2zdf]=J-I/L^-Jfsin2rJ

.JoJs

(由第(1)小题结论)=「/4Fl，?、#.

4.若¥[f(r)]=F(s),证明(象函数的积分性质)

.J"：)=jF(、)ds.或J(i)=-1iJF(s}ds

并利用此结论，计算下列各式：

(1)/(/)=^—.^F(s)；

(2)/(,):匚华2,求F、(s)；

(3)F(s)—■二丁广，求f(l):

(4)/(?)=工工:平红出，求N3).

证由定义知

三习题全解123

,30.»-*>r/*-:G-

\F(5;ds-\“,f(t)e'Jdzds

J/J.,iJu

(交换积分次序)；「O(f)e-'&]d；

JdLJ$J

.»♦：X«「]jc、・

=「*1

=，-.fJ1，

亦即有

/⑺二九/[「F(')d」

(1)利用象函数的积分性质，力

,F($)=?[/(z)]=3[粤红]

J4J

7T

-2-Cretan

=arccot4­.

k

e“sin2i'

(2)—

►w

£[e-^sin2f]d

“no2

s(s+3尸+4小

124第二章Laplace变换

—arcian—5一

Z14

7T5*3

~~2~arctan—

八

$+I。

=arccot―、——.

⑶由公式

f(t)=zV[jF(s)ds

=W[「,工]yds

LJ,(s-1)

占]

—2।~si,riLnt.

/八5「「e-，sinIt.

(4)F(s)="[J——j----&

e-3/sin2t

（由第（2）小题）=!arccot

5

5.计算下列积分：

小「8e-”‘8s6"e-'"'8s%'八「…,

(3)----------------------------di；(4)e"cos2d；

Jo:Jo

(5)14e2zd?；(6)[A,sin2fd/；

三习题全解125

-ro-1]■

esinhrsmt,

(7)-----------------------dz:

Ji)

■+gr•3*2

(9)Pepsind;(10)|空~-dr：

J,)Ju广

r<w