重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年九年级下学期入学考试数学试题（解析版）

开州区文峰初中教育集团2024年春季九年级数学入学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用，黑色签字笔完成；一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.6的相反数为A.-6 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解.【详解】6的相反数为：﹣6．故选A.【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选D．考点：中心对称图形．3.下列各点中，在反比例函数y＝的图象上的是（）A.（－1，4） B.（1，－4） C.（1，4） D.（2，3）【答案】C【解析】【分析】根据将点的横坐标代入反比例函数y＝，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解．【详解】解：A、当时，，则（－1，4）不在反比例函数y＝的图象上，故本选项错误，不符合题意；B、当时，，则（1，－4）不在反比例函数y＝图象上，故本选项错误，不符合题意；C、当时，，则（1，4）在反比例函数y＝的图象上，故本选项正确，符合题意；D、当时，，则（2，3）不在反比例函数y＝的图象上，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4.若两个相似三角形的周长之比是，则它们的面积之比是（）A.1∶2 B.1∶ C.2∶1 D.1∶4【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】∵两个相似三角形的周长之比是1∶2，∴两个相似三角形的相似比是1∶2，∴它们的面积之比是：1∶4，故选D．【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．5.如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A.60° B.50° C.40° D.30°【答案】C【解析】【详解】解：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°，∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°，∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C．【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的性质进行推理论证是解题的关键．6.估计的值应在（）A.5和6之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】A【解析】【分析】先计算二次根式的乘法，再算减法，然后估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．本题考查了无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：，，∴，故选：A．7.观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第10个图形共有（）个点组成A.26 B.27 C.28 D.29【答案】C【解析】【分析】观察图形，在1个点的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可，再把字母的值为10代入计算即可．【详解】解：∵第1个图形为1个点，第2个图形为1+3=4个点，第3个图形为1+3+3=7个点，第3个图形为1+3+3=7个点，第4个图形为1+3+3+3=10个点，……，∴第n个图形为1+3=个点，当时，故选C【点睛】本题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．8.如图，与相切于点，，，则长为()A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：与相切于点，，，．，．故选：A．9.如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．【详解】解：如图：连接，四边形是正方形，，，，，，四边形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10.已知关于的两个多项式，．其中a为常数，下列说法：①若的值始终与无关，则；②关于x的方程始终有两个不相等的实数根；③若的结果不含的项，则；④当时，若的值为整数，则x的整数值只有2个．以上结论正确的个数有()A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据，的值始终与x无关，可得；根据，利用判别式，可得关于x的方程始终有两个不相等的实数根；根据，当时，的结果不含的项；④根据，由的值为整数，可得，求出x的值．【详解】解：①∵，，∴，∵的值始终与x无关，∴，故①不符合题意；②，∵，∴关于x的方程始终有两个不相等的实数根，故②符合题意；③，∵的结果不含的项，∴，解得；故③符合题意；④当时，，∴，∵的值为整数，∴，解得或，故④符合题意；综上，②③④符合题意；故选：B．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11.___________________．【答案】【解析】【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的运算法则是解题的关键；根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，计算即可，【详解】解：故答案为：12.若一个多边形内角和比外角和大，则这个多边形的边数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是，根据题意得，，解得．故答案为：．13.将分别标有数字1，2，3的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同，从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字相同的概率______．【答案】【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球数字相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字相同的结果有，，，共3种，∴两次摸出的小球数字相同的概率为．故答案为：．14.某校截止到2022年底，校园绿化面积为800平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1240平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为____________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设这两年绿化面积的年平均增长率为，依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为：，故答案为：．15.如图，矩形中，．以A为圆心，为半径作弧交于点E，则图中阴影部分的面积为____________________．【答案】【解析】【分析】根据，得，得到，利用分割法计算面积即可，本题考查了特殊角的三角函数，等腰三角形的判定，扇形面积公式，熟练掌握三角函数和扇形面积公式是解题的关键．【详解】∵矩形中，，∴，∴，，∴，∴，∴；故答案为：．16.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=___°．【答案】30°【解析】【分析】首先运用等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C7；然后借助翻折变换的性质求出∠ABE=∠A，即可求∠CBE．【详解】解：∵AC=AC∴∠ABC=∠C==70°；由翻折变换的性质可知∠ABE=∠A=40°，索伊∠CBE=70°﹣40°=30°故答案为：30°．【电竞】本题考查1、翻折变换，2、等腰三角形的性质，难度不大．17.若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和是______．【答案】【解析】【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：∵不等式组有且仅有四个整数解，∴解得：，解解得：且，∵是整数，，，∴，则符合条件的所有整数a的和是，故答案为：．【点睛】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．18.若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数”，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是___________；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是___________．【答案】①.117②.351【解析】【分析】本题考查整式的加减，因式分解，解题的关键是：根据题意最小的“吉祥数”百位上是1，十位上是1，则个位是7即可解答；设，其中，则，表示出，，2，，然后把依次代入找出符合题意得即可解答．【详解】解：，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，百位上是1，十位上是1，个位是7，最小的“吉祥数”是117；设，其中，则，，，且，，均不为0，，2，，当时，，不能被7整除，不合题意，当时，，不能被7整除，不合题意，当时，，不能被7整除，不合题意，当时，，不能被7整除，不合题意，当时，，能被7整除，符合题意，，，，，或252或351，当时，，不能被7整除，不合题意，当时，，不能被7整除，不合题意，满足条件的“吉祥数”的最大值是351．故答案为：117，351．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算；（1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可；（2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算即可；【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；20.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转60°能与重合．（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为F﹔（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）问情况下，连接，求证：（填空）．证明：（2）∵点F是边中点，∴___________，∵，∴，∴________，∵将绕点C顺时针旋转60°得到，∴，∴________，在和中，∴．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交于点F，则直线l即为所求作的垂直平分线；（2）先根据中点的定义和含角的直角三角形性质证明，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到，根据“边角边”即可证明．【小问1详解】解：如图，分别以点A、C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M、N，过点M、N作直线l，交于点F，则直线l即为所求作的垂直平分线；【小问2详解】证明：∵点F是边中点，∴，∵，∴，∴，∵将绕点C顺时针旋转60°得到，∴，∴，在和中，，∴．故答案为：，CF，，．【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．21.“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：学生平均数中位数众数七年级8685b八年级86a88抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：______，______，______；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．【答案】（1），，（2）八年级，理由见解析（3）150名【解析】【分析】（1）八年级10名学生的竞赛成绩中，可求得A等级有2名，C等级有3名，因此将成绩从小到大排列后，处于中间的两个成绩是84和88，根据中位数的计算方法即得答案；八年级10名学生的竞赛成绩中，C等级有3名，由此即可求得m的值；（2）先比较两个年级的平均数，再比较它们的中位数和众数，即可得到答案；（3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案．【小问1详解】由题意知八年级10名学生的竞赛成绩中，A等级有（名），C等级有（名），处于中间的两个成绩是84和88，故；七年级10名学生的竞赛成绩中，众数；八年级10名学生的竞赛成绩中，等级C有3名，．故答案为：，，．【小问2详解】（2）八年级的成绩更好，理由如下：因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；【小问3详解】（3）（名），答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约150名．【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，样本估计总体等知识，熟知相关知识是解答本题的关键．22.八年级学生到距学校150km的景区游览．景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．（1）由于快车有其他接送任务，八年级（1）班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级（2）班学生，1.2小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇．若快车每小时比慢车多行驶25km，求慢车的平均速度；（2）有四名学生负责准备活动道具，在八年级（2）班学生乘快车出发0.5小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区．为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区，若小车速度是快车返回景区的速度的1.25倍，求快车返回景区的平均速度．【答案】（1）慢车的平均速度为（2）快车返回景区的平均速度为【解析】【分析】（1）设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，然后可列方程进行求解；（2）设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，然后根据题意可列方程进行求解．【小问1详解】解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，由题意得：，解得：；答：慢车的平均速度为；【小问2详解】解：设快车返回景区的平均速度为，则小车的速度为，由题意得：，解得：，经检验：是原方程的解；答：快车返回景区的平均速度为．【点睛】本题主要考查一元一次方程及分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系式．23.如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y．（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象；（2）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）．【答案】（1）（2）见解析（3）或8.3【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．（1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可；（2）根据图象作答即可；（3）根据图象作答即可．【小问1详解】由题意知，当时，，∴；当时，，∴；∴；作图如图2；【小问2详解】由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小；【小问3详解】由图象可知，当时，或8.3．24.想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地C露营，如图，两家人同时从点A出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点B，再沿北偏东60°方向行驶到营地C．由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点A东北方向的充电站D充电，充电时间为30分钟，完成充电后立即从点D出发，前往位于点D正东方向的营地C．已知千米，千米．（参考数据：）（1）求的长度（结果保留根号）；（2）欢欢到达营地C后立即开始搭帐篷，搭建过程需1个小时．已知欢欢驾驶燃油车的速度为90千米/时，乐乐驾驶电动汽车的速度为75千米/时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地C前搭完帐篷．【答案】（1）的长度为千米（2）欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷【解析】【分析】（1）过作于点，作于点，解求出千米，再证明四边形为矩形，得出千米，最后解可得结论；（2）分别求出两人所需时间，再进行比较即可得出结论．【小问1详解】过作于点，作于点，如图，由题得：千米，在中，，∴千米，∵，∴四边形为矩形，∴千米，在中，千米，答：长度为千米．【小问2详解】在中，，千米，∵千米，∴千米，∵四边形是矩形，∴千米，在中，，∴千米，∴千米，∴千米，∴（时）∵千米∴（时）∴∴欢欢不能在乐乐到达营地C时搭完帐篷．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，从题目中提取数学模型是解题关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OA＝OC．（1）求该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1（a≠0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）面积的最大值为，此时点的坐标为；（3）存在，点的坐标为，，，【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解抛物线与直线AC的解析式；（2）过点作，交直线AD于点M,交轴于；过点作于.，用点E的横坐标t分别表示线段ME的长，得出△ACE面积关于t的函数解析式，再利用二次函数的性质求出△ACE面积的最大值及点E的坐标；（3）先求出点D的坐标及线段BD的长，再按BD为腰或底边分别求出相应的情况下点P的坐标．【详解】解：（1）y=ax2-x+c与∴.∴.∴.设直线为：，，∴，∴，∴，∴.∴抛物线的解析式为：，直线的解析式：.（2）过点作，交直线AD于点M,交轴于；过点作于.,∴四边形是矩形.∴.设点E的坐标为：，则M的坐标为：,∴.∴.∴.，,∴当时，.∴.∴点的坐标为：.∴当时，面积的最大值为，此时点的坐标为：．（3）存在．如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则，，∴