专项训练+函数零点与数学模型- 高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

专项训练29函数零点与数学模型1.函数f(x)=2x+2x在下列区间内一定有零点的是()A.[-1,0] B.[-3,-2]C.[1,2] D.[3,4]2.在一次试验中,某小组测得一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,11),并由试验数据得到下面的散点图.由此散点图,在区间[-2,3]上,下列四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y关系的是()A.y=a+bx B.y=a+bxC.y=a+logbx D.y=a+b3.(2023无锡月考)函数f(x)=(2x-π)sinπ2-x+cosx-π2,x∈(-2A.1 B.5 C.6 D.74.已知函数f(x)=-x2-2x,x≤0,12|log3x|,x>0,g(x)=x-k,函数g(f(x))有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且A.-2,469C.0,829 D.(0,5.(多选题)函数f(x)=ax-|logax|的零点个数可能为()A.1 B.2 C.3 D.46.函数f(x)=x2-ax-2的零点的乘积为.

7.函数y=x3与函数y=x2lnx在区间(0,+∞)上增长速度较快的一个是.

8.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象,若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数模型K(n)=λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=Tλ+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=6,T=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为天.(结果保留一位小数.参考数据:ln2≈0.30,ln3≈0.9.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在区间(-2,4)内,则实数a的取值范围为.

10.(2023徐州期末)“硬科技”是以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技,属于由科技创新构成的物理世界,是需要长期研发投入、持续积累才能形成的原创技术,具有极高技术门槛和技术壁垒,难以被复制和模仿.最近十年,我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌,某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2023年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元,每生产x百台高级设备需要另投成本y万元,且y=2x2(1)求企业获得年利润P(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式;(2)当年产量为多少时,企业所获年利润最大?并求最大年利润.参考答案1.A解析函数f(x)=2x+2x是单调递增函数,且f(-1)=12-2=-32<0,f(0)=1>0,由函数零点存在定理可知,函数在区间[-1,0]上一定存在零点.故选2.B解析由散点图的定义域可排除C,D选项;由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.故选B.3.D解析令f(x)=0,即(2x-π)sinπ2-x+cosx-π2所以(2x-π)cosx+sinx=0,当x≠-3π2,-π方程可化为tanx=π-2x,在同一直角坐标系中分别做出y=tanx与y=π-2x的图象,如图.由图可知,当x≠-3π2,-π函数y=tanx与y=π-2x的图象有6个交点,分别为A,B,C,D,E,F,又因为x=π2,满足方程(2x-π)cosx+sinx=0,所以π2也是函数f(x)的一个零点.综上,函数f(x)=(2x-π)·sinπ2-x+cosx-π2,x∈(-2π4.B解析由题意g(f(x))=0,即f(x)-k=0,作出函数f(x)=-x2-2因为方程f(x)-k=0有四个根x1,x2,x3,x4且x1<x2<x3<x4,则0<k<1.由图象可知x1+x2=-2,0<x3<1,1<x4<9,又-log3x3=log3x4,可得x3x4=1,则x3=1x则x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4=-2+1x4+x由对勾函数的性质知y=1x4+x4在(1,9)上单调递增,所以2<1x4+x所以0<-2+1x4+x4<即0<x1+x2+x3+x4<649即x1+x2+x3+x4的取值范围是0,649.5.AB解析函数f(x)=ax-|logax|的零点个数等于函数y=ax和函数y=|logax|的图象的交点个数,如图所示.数形结合可得,当0<a<1时,函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为2;当a>1时,函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为1.故选AB.6.-2解析由f(x)=0有x2-ax-2=0,因为Δ=a2+8>0恒成立,则f(x)一定有两个不同的零点,设为x1,x2则x1·x2=-2.7.y=x3解析因为x3x2lnx=xlnx,所以比较y=x3与y=x2lnx的增长速度只需比较y=x与y=lnx由图象可知,y=x的增长速度快于y=lnx,所以函数y=x3与函数y=x2lnx在区间(0,+∞)上增长速度较快的是y=x3.故答案为y=x3.8.19.5解析因为Q=Tλ+1,Q=6,T=60,所以6=60λ+1,解得λ=设初始时间为K1,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2,则K2-K1=12log3(6n)-12log3n=12log36=12ln2+ln3ln3≈19.5(天).故答案为19.59.(-1,3)解析因为函数f(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在区间(-2,4)内,所以Δ解得-1<a<3,所以a的取值范围为(-1,3).10.解(1)当0≤x<40时,P=160x-(2x2+40x)-1000=-2x2+120x-1000.当40≤x≤100时,P=160x-165x-18000x+2250-1000=-5x-18所以P=-(2)当0≤x<40时,P=-2x2+120x-1000=-2(x-30)2+800,所