南昌大学附中版高考数学一轮复习 空间几何体单元训练

南昌大学附中版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C2．在二面角l的半平面内，线段AB⊥l，垂足为B；在半平面内，线段CD⊥l，垂足为D；M为l上任一点．若AB=2，CD=3，BD=1，则AM+CM的最小值为()A． B． C． D．【答案】A3．在北纬45°圈上有A、B两地，A地在东经120，B地在西经150°，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是()A． B． C． D．【答案】D4．在空间，下列条件可以确定一个平面的是()A．两条直线 B．一个三角形 C．一点和一条直线 D．三个点【答案】B5．下列说法中正确的个数为()①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台③各个面都是三角形的几何体是三棱锥④以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥⑤棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥⑥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线。A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B6．空间三条直线中的一条直线与其他两条都相交，那么由这三条直线最多可确定平面的个数是()个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C7．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是()A． B． C． D．【答案】B8．连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5④的最小值为1其中真命题的个数为()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C9．正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为()A．1 B．2 C． D．【答案】D10．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是。则这两条直线的位置关系()A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行【答案】D11．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A． B． C． D．【答案】A12．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为()A．4 B．eq\f(9,2)C．3D．eq\f(9,4)【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为____________【答案】14．由六个面围成的几何体，每个面都是矩形的几何体的名称．【答案】长方体15．在正方体上任意选择4个顶点，作为如下五种几何形体的4个顶点：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.能使这些几何形体正确的所有序号是．【答案】①16．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为.【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2）求证：A1B//平面ADC1．【答案】（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．因为DC1平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．(2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD//A1B．因为ODeq\o(,\d\fo0()\s\up1())平面ADC1，A1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1())平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．因为C1Deq\o(,\d\fo0()\s\up1())平面ADC1，D1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1())平面ADC1所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1eq\o(,\d\fo0()\s\up1())平面A1BD1，D1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1())平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．因为A1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1())平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．18．如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，如图．(1）求证：平面平面；(2）求平面与平面所成锐二面角的大小．【答案】（1）（法一）因为平面平面，且平面平面，又在正方形中，，所以，平面．而平面，所以，．在直角梯形中，,，，所以，，所以，．又，平面，，所以，平面．而平面，所以，平面平面．(法二）同法一，得平面．以为原点，，，分别为，轴，建立空间直角坐标系．则，，，．所以，，，,，，所以，，．又，不共线，，平面，所以，平面．而平面，所以，平面平面．解(2）（法一）因为，平面，平面，所以，平面．因为平面与平面有公共点，所以可设平面平面，．因为平面，平面，平面平面，所以．从而，，又，且，，所以为中点，也为正方形．易知平面，所以，．所以，是平面与平面所成锐二面角的平面角，而，所以平面与平面所成锐二面角为．(法二）由（1）知，平面的一个法向量是．设平面的一个法向量为，因为，所以，取，得，所以．设平面与平面所成锐二面角为，则．所以平面与平面所成锐二面角为．19．如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)当，且直线与平面成角为时，确定点的位置，即求出的值.【答案】(Ⅰ)设交于,连接,,,又,(Ⅱ)(方法一),设,则即(方法二)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,如图平面法向量为,设,，令，则,,得或（舍），，20．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,为的中点.(1)求证:面；(2)求证:平面平面.【答案】（1）设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以…4分而,所以面(2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以而面,面,,所以面又面,所以面面21．如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，O为中点。(Ⅰ）求证：平面；(Ⅱ）求锐二面角A—C1D1—C的余弦值。【答案】（Ⅰ）如图，连接，则四边形为正方形，，且故四边形为平行四边形，，又平面，平面平面(Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则，，设为平面的一个法向量，由，得，令，则又设为平面的一个法向量，由，得，令，则，则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为22．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F，(1)求证：PA//平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小。【答案】如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1。(1)证明：连结AC,AC交BD于点G，连结EG.依题意得A(1,0,0)，P(0,0,1)，E(0，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)).因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，且＝(1,0,1)，＝(eq\f(1,2),0,eq\f(1,2)).所以＝2，即PA//EG.而EG平面EDB,且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.(2)证明：依题意得B(1,1,0)，＝(1,1,1)又＝(0,eq\f(1,2),eq\f(1,2))，故＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，所以PBDE.由已知EFPB，且EF∩DE＝E，所以PB平面EFD.(3)已知PBEF，由(2)可知PBDF，故EFD是二面角CPBD的平面角，设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x,y,z–1).因为＝k，所以(x,y,z1)＝k(1,1,1)＝(k,k,k)，即x＝k，y＝k，z＝1k.因为•＝0，所以(1,1,1)•(k,k,1k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0.所以k＝eq\f(1,3)，点F的坐标为(eq\f(1,3),eq\f(1,3),eq\f(2,3)).又点E的坐标为(0,eq