2025年高考数学一轮复习-解三角形-专项训练【含解析】

答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年高考数学一轮复习-解三角形-专项训练（原卷版）【练基础】一、单选题1．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（

）A．4 B． C． D．2．在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（

）A． B．1 C．2 D．33．如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（

）（参考数据：，，.）A． B． C． D．4．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．25．在中，角的对边分别为，的面积为，则（

）A． B． C． D．6．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（

）A． B． C． D．8．已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（

）A． B．C． D．二、多选题9．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则10．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（

）．A． B．C． D．与夹角的余弦值为11．锐角的内角的对边分别为，若，则（

）A．B．的取值范围是C．若，则D．的取值范围是12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（

）A．B．面积的取值范围为C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为D．当时，的周长为三、填空题13．如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于，则__________.14．某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．16．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范围．18．已知函数，．(1)已知，求的值；(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．19．在中，角，，的对边分别是，，，且满足．(1)求；(2)若，是边上的高，求的最大值．20．设函数(1)求函数的最大值和最小正周期；(2)在锐角中，角所对的边分别为为的面积.若且求的最大值.【提能力】一、单选题21．已知中，，，，D是边BC上一点，.则（

）A． B． C． D．22．在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（

）A． B． C． D．23．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．24．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．25．已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（

）A．8 B．6 C．5 D．426．在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（

）A． B．C． D．27．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题28．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（

）．A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则是等边三角形29．在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（

）A．的最大值为B．当，时，不可能是直角三角形C．当，，时，的周长为D．当，，时，若为的内心，则的面积为30．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（

）A．的周长为 B．的三个内角、、成等差数列C．的外接圆半径为 D．的中线的长为31．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形三、填空题32．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.33．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____．34．在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.35．锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.四、解答题36．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．37．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(1)求角A；(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．38．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(1)求角C；(2)CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.39．在中，为上一点，．(1)若D为的中点，求的面积的最大值；(2)若，求的面积的最小值．2025年高考数学一轮复习-解三角形-专项训练（解析版）【练基础】一、单选题1．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.【详解】解：因为，所以，即.又，所以，由余弦定理得,从而.故选：B2．在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】在中由余弦定理得，由，得，即可解决.【详解】由题知，在中，点D为的中点，，，且的面积为，所以在中由余弦定理得，即，因为，即，代入，所以，即，所以，所以，故选：B3．如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（

）（参考数据：，，.）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.【详解】如图1，过点A作，，垂足为，，则，故，连接，在中，由余弦定理可得：，即，∵，即此时为锐角，如图2，设平台，即三点重合，则，连接，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，则，整理得，即，又∵，则，此时钝角增大的值大于，符合题意的只有D选项.故选：D.4．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.【详解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，两边同除得：，根据余弦定理得：，即，，，，当且仅当，即时等号成立.又，当且仅当时，等号成立.综上所述：且，故得：，此时且，，.故选：B5．在中，角的对边分别为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.【详解】由题知，的面积为，所以，即所以由正弦定理得，即，所以，因为，所以．故选：D6．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．【详解】向量，共线，，由正弦定理得：，，则，，，，即．同理可得．形状为等边三角形．故选：A．7．如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理求出，得到，由正弦定理进行求解出答案.【详解】在中，由余弦定理得：，因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故选：D8．已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正弦定理结合已知条件可求得，可得出，再利用等面积法可得出内切圆半径的表达式，结合基本不等式可求得面积的最大值.【详解】由及正弦定理可得，，所以，，则，所以，，所以，的外接圆直径为，设内角、、的对边分别记为、、，则，所以，，设的内切圆半径为，则，所以，，因此，，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，面积的最大值为.故选：C.二：多选题9．的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则此三角形为等腰三角形C．若，，，则解此三角形必有两解D．若是锐角三角形，则【答案】AD【分析】由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.【详解】由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，所以，D正确.故选：AD10．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（

）．A． B．C． D．与夹角的余弦值为【答案】AC【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可；对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可；对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可；对D，在中根据余弦定理求解即可【详解】对A，，故A正确；对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，，，故，故D错误；故选：AC11．锐角的内角的对边分别为，若，则（

）A．B．的取值范围是C．若，则D．的取值范围是【答案】ACD【分析】对于A：由正弦定理得到，利用正弦函数的性质可得到，即可判断；对于B：由为锐角三角形，列不等式组，解得：，即可判断；对于C：先由正弦定理得到，再由余弦定理解得.对于D：由正弦定理得到，由，求出的取值范围.【详解】对于A：在中，由正弦定理，可化为：.因为，所以，所以，所以.所以，即.或，即这与A为的内角相矛盾，舍去.故.故A正确；对于B：因为为锐角三角形，所以，所以，解得：.故B错误；对于C：因为，由正弦定理得：，即，所以.因为，由余弦定理得：，所以，即，即，解得：（舍去）.故C正确；对于D：由正弦定理，.因为，所以，所以，即的取值范围是.故D正确.故选：ACD12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（

）A．B．面积的取值范围为C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为D．当时，的周长为【答案】ABD【分析】利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，求出点的轨迹方程，从而可判断BC；由，可得，结合正弦定理及，可得，从而可求出，从而可求出，求出，即可判断D.【详解】解：对于A选项，∵，，∴，∴，即，所以，∴，故选项A正确；对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，化简得，所以点A在以为圆心，为半径的圆上运动，（B、C除外）所以点A到BC边的最大距离为，所以面积的最大值为，∴面积的取值范围为，故选项B正确；对于C选项，因为点A在以为圆心，为半径的圆上运动，设，则，即，又，，所以，故选项C错误；对于D选项，由，可得，由A选项，得，由正弦定理得，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，，，为直角三角形，所以，，所以的周长为，所以选项D正确.故选：ABD．三：填空题13．如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于，则__________.【答案】##【分析】由题意易得，，在中，分别求出，再利用正弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得，，则，所以，所以，，在中，由，得.故答案为：.14．某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造【答案】【分析】先用余弦定理求出MN，设，用正弦定理表示出,利用三角函数求出最大值，即可得到预算投入.【详解】在中，由余弦定理得：，解得（千米）；设，，，在中，由正弦定理，得，，，，又因为，所以所以，即观光线路长的最大值为，该景区预算需投入元万元．故答案为：265.15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．【答案】【分析】先利用正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理结合基本不等式求解即可.【详解】，则原等式为，由正弦定理得，，当且仅当时取等号．故答案为：.16．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．【答案】.【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．故答案为：.四：解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数和差化积公式与倍角公式推得，从而得到，由此得解；（2）结合（1）中结论，利用余弦定理与基本不等式即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，又，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故，又，所以，因为，所以．（2）由（1）得，所以由余弦定理得，记，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即，故，则，所以，即．18．已知函数，．(1)已知，求的值；(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.【详解】（1），，；（2）由（1）得，则，，又，，又向量与垂直，，即，又，则，由正弦定理，则，的周长为.19．在中，角，，的对边分别是，，，且满足．(1)求；(2)若，是边上的高，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将两边同乘，再由正弦定理将边化角，最后由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值，再根据求出的最大值.【详解】（1）解：因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以，则.（2）解：因为，，由余弦定理，即，所以当且仅当时取等号，所以，则，当且仅当时取等号，所以，又，所以，故的最大值为.20．设函数(1)求函数的最大值和最小正周期；(2)在锐角中，角所对的边分别为为的面积.若且求的最大值.【答案】(1)最大值为，最小正周期为(2)【分析】（1）根据三角恒等变换得，即可解决；（2）由题得，代入题中解决即可.【详解】（1）由题知，所以函数的最大值为，最小正周期为．（2）由（1）得，因为，所以．因为B为锐角，所以．因为，所以，.所以．所以．当时，原式有最大值．所以的最大值为.【提能力】一：单选题21．已知中，，，，D是边BC上一点，.则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，结合条件可得，然后利用余弦定理可得，，进而可得，即得.【详解】设中，角的对边为，∵，即，∴，∴，又，∴，又，，∴，即，∴，故，∴，，，又，，∴，.故选：B.22．在中，，点是边的中点，的面积为，则线段的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，根据三角形的面积以及余弦定理可推得，设函数，则方程在上有解，结合二次函数的性质，求得答案.【详解】设，，所以，即①，由余弦定理得，即②，由①②得：，即，令，设，则方程在上有解，因为，所以，解得，即，故选：C．23．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知，即由正弦定理化简得即故选：.【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；（2）角化边：

①利用正弦定理：，，②利用余弦定理：24．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得、关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵，∴所以因此设，∵是锐角三角形，∴，∴∴，在上单调递增，∴，故选：C25．已知是不共线向量，设，，，，若△的面积为3，则△的面积为（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】根据已知条件结合向量的线性表示，向量加减法的运算，可得到与的两个边之间的关系，利用面积公式结合边的关系，可得结论.【详解】∵，，，，如图，在平行四边形中，，设，则，即同理，在平行四边形中，，可得，，∴，；所以与的夹角为或其补角，则∴的面积为8.故选：A.【点睛】思路点睛：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.26．在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据，利用两角和与差的正弦公式化简得到，进而求得A，根据点在边上，且，得到，再由余弦定理结合两边平方，得到，令，得到，用导数法求得最大值时a，b，c的关系，再利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，即，因为，所以，，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，则，令，解得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理得到，然后利用余弦定理表示BC，利用平面向量表示AD而得解.27．锐角的内角，，的对边分别为，，且，，若，变化时，存在最大值，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，由正弦定理转化为角的关系可以得到，由此推出，又为锐角三角形，可求出，将都用角A表示可以得到，且，当取最大值时利用可求得的范围.【详解】解：因为，，所以，可得：，即，因为为锐角三角形，则有，即，解得：.=，当时，原式有最大值，此时，则，，，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数正弦定理的应用，考查三角函数辅助角公式，对辅助角公式的熟练应用是解题的关键，属于难题.二、多选题28．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（

）．A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则是等边三角形【答案】BCD【分析】根据正弦定理及三角函数的图象与性质及导数判断函数单调性，即可判断ABCD的真假.【详解】A，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．D，若，∴，时，是等边三角形；时，研究函数的单调性，，时，，∴函数在上单调递减，因此不成立．综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．29．在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（

）A．的最大值为B．当，时，不可能是直角三角形C．当，，时，的周长为D．当，，时，若为的内心，则的面积为【答案】ACD【解析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；由已知条件可得是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得的面积即可判断选项D.【详解】对于选项A：（当且仅当时取等号）.令，，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；对于选项C，由，可得，由得，由正弦定理得，，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，，，因为，所以，，所以的周长为，故选项C正确；对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，所以的面积为所以选项D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.30．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（为三角形的面积，、、为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是（

）A．的周长为 B．的三个内角、、成等差数列C．的外接圆半径为 D．的中线的长为【答案】AB【解析】本题首先可根据得出，然后根据以及求出三边的长，即可判断出A正确，然后根据余弦定理求出，则，，B正确，再然后根据即可判断出C错误，最后根据余弦定理求出，再根据求出长，D错误.【详解】A项：设的内角、、所对的边分别为、、，因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，故的周长为，A正确；B项：因为，所以，，故的三个内角、、成等差数列，B正确；C项：因为，所以，由正弦定理得，，C错误；D项：由余弦定理得，在中，，由余弦定理得，解得，D错误，故选：AB.【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有、，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.31．在△中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则C．D．若，且，则△为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△的形状.【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为，易知△为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题32．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.【答案】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.【详解】因为，且，所以，即，由余弦定理得：，所以，又，所以，解得：或，因为为锐角三角形，所以，，所以，因为，所以，由正弦定理得：，因为为锐角三角形，所以，即,所以，所以，所以，所以，，故.故答案为：.33．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到．已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____．【答案】##【分析】设根据可得，进而根据的面积公式可得的关系，再根据基本不等式可得当为等腰三角形时取得面积最小值，进而得出此时，结合三角函数求解即可.【详解】如图，连接，作于，由题意，，故，所以.设则由面积公式，，即.由余弦定理，结合基本不等式，即，当且仅当时取等号.故取最小值时，此时.故.故答案为：34．在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由面积公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理将角化边，即可求出，再由正弦定理及三角恒等变换公式将转化为关于的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；【详解】解：由，，又，所以，，，，，．，，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，，．故答案为：．35．锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.【答案】【分析】先利用三角函数恒等变形求出，利用正弦定理表示出，用三角函数求出的取值范围.【详解】因为，所以.因为,所以，所以.所以.因为为锐角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因为为锐角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以，所以.即在中，由两边之