山东省临沭一中2025届下学期高三模拟卷（一）数学试题含解析

山东省临沭一中2025届下学期高三模拟卷（一）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（）A．4 B． C． D．2．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于()A． B． C． D．3．已知是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于两点，若，则的内切圆半径为（）A． B． C． D．4．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为()A． B． C． D．5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．6．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种A． B． C． D．7．已知函数，且)，则“在上是单调函数”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．设数列是等差数列，，.则这个数列的前7项和等于（）A．12 B．21 C．24 D．369．定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A． B． C． D．10．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为()A． B． C． D．11．下列四个图象可能是函数图象的是（）A． B． C． D．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.14．已知，为双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上存在点满足，则的最大值为________．15．的展开式中的常数项为__________.16．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,直角三角形所在的平面与半圆弧所在平面相交于,，,分别为,的中点,是上异于,的点,.（1）证明:平面平面;（2）若点为半圆弧上的一个三等分点(靠近点)求二面角的余弦值.18．（12分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD.（1）证明：平面PNB；（2）问棱PA上是否存在一点E，使平面DEM，求的值19．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.20．（12分）已知（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数有两个极值点，且存在满足，令函数，试判断零点的个数并证明．21．（12分）设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.22．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，且正实数满足.证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.【详解】因为表示圆，所以，解得，因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，此时，因为，在递增，所以的最大值.故选：C本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．C【解析】

由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.3．B【解析】

首先由求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解.【详解】由题意将代入双曲线的方程,得则,由,得的周长为,设的内切圆的半径为,则,故选：B本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.4．B【解析】

根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.【详解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此类推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此类推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故选：B.本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.5．B【解析】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为.故选：B.本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．6．B【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有，扣除郁金香在两边有，即可求出结论.【详解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，根据分步计数原理有，所以共有种.故选:B.本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.7．C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件，再看其和的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案.【详解】，且)，由得或，即的定义域为或，（且）令，其在单调递减，单调递增，在上是单调函数，其充要条件为即.故选：C.本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.8．B【解析】

根据等差数列的性质可得，由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列是等差数列，，所以，即，又，所以，，故故选：B本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.9．D【解析】

根据y=fx+1为奇函数，得到函数关于1,0中心对称，排除AB，计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数，即fx+1=-f-x+1，函数关于f1.5≤2故选：D.本题考查了函数图像的识别，确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.10．C【解析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为，集合，，表示的平面区域即为图中的，，根据几何概率的计算公式可得，故选：C．本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．11．C【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.12．A【解析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：．故选：．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据递推公式，以及之间的关系，即可容易求得，再根据数列的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求.【详解】当时，，解得.所以.因为，则，两式相减，可得，即，则.两式相减，可得.所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，故，即实数的取值范围为.故答案为：.本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.14．【解析】

设，由可得，整理得，即点在以为圆心，为半径的圆上．又点到双曲线的渐近线的距离为，所以当双曲线的渐近线与圆相切时，取得最大值，此时，解得．15．31【解析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为的展开式得通项为，则的展开式中的常数项为：，得解.【详解】解：，则的展开式中的常数项为：.故答案为：31.本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.16．1【解析】

根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．【详解】解：圆的圆心为（1，1），半径，

因为直线被圆截得的弦长为2，

所以直线经过圆心（1，1），

，解得．故答案为：1．本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）由直径所对的圆周角为，可知，通过计算，利用勾股定理的逆定理可以判断出为直角三角形，所以有.由已知可以证明出，这样利用线面垂直的判定定理可以证明平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面;（2）以为坐标原点，分别以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用空间向量数量积运算公式，可以求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为半圆弧上的一点，所以.在中，分别为的中点，所以，且.于是在中，，所以为直角三角形，且.因为，,所以.因为，，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由已知，以为坐标原点，分别以垂直于、向量所在方向作为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,,,.设平面的一个法向量为,则即，取,得.设平面的法向量,则即，取,得.所以，又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.本题考查了利用线面垂直判定面面垂直、利用空间向量数量积求二面角的余弦值问题.18．（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】

（1）根据题意证出，，再由线面垂直的判定定理即可证出.（2）连接AC交DM于点Q，连接EQ，利用线面平行的性质定理可得，从而可得，在正方形ABCD中，由即可求解.【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，∴，，.∴.∴.又，∴，∴.∵为等边三角形，N是AD的中点，∴.又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面ABCD.又平面ABCD，∴.∵平面PNB，，∴平面PNB.（2）解：存在.如图，连接AC交DM于点Q，连接EQ.∵平面DEM，平面PAC，平面平面，∴.∴.在正方形ABCD中，，且.∴，∴.故.所以棱PA上存在点E，使平面DEM，此时，E是棱A的靠近点A的三等分点.本题考查了线面垂直的判定定理、线面平行的性质定理，考查了学生的推理能力以及空间想象能力，属于空间几何中的基础题.19．（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气【解析】

（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.【详解】（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为.（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小.故x为2时，烧开一壶水最省煤气.本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.20．（1）（2）函数有两个零点和【解析】试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]函数的对称轴为．①，即时，，即，解之得，解集为空集；②，即时，即，解之得，所以③，即时，即，解之得，所以综上所述，当函数在区间上单调递增．（2）∵有两个极值点，∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．∵∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减∵，∴是函数的一个零点．由题意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的两个根，∴，,∴∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增∴当时，，当时，当时，∴函数有两个零点和．21．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；（2）由题意可将转化为，构造函数，利用导数讨论研究其在上的单调性