专题4.3 因式分解章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

第4章因式分解章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2024八年级下·河南信阳·阶段练习）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A．a2−4+a=a+2C．a2+b=aa+b【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：A．等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；B．等式左右不相等，故本选项不符合题意；C．等式左右不相等，故本选项不符合题意；D．等式右边是整式积的形式，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．2．（3分）（2024八年级下·山西吕梁·期中）下列多项式分解因式结果不含因式x−1的是（

）A．x2−2x+1 C．ax2−2ax−a【答案】C【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．【详解】解：A、x2−2x+1=x−1B、−1+x4=C、ax2−2ax−a=aD、x(x−2)+(2−x)=x−1(x−2)，含因式故选：C．3．（3分）（2024八年级下·全国·单元测试）将a4−2a2+1A．a2a2C．(a2−1)【答案】D【分析】将a2【详解】解：a====(a−1)故选D．【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键．4．（3分）（2024八年级下·河南安阳·期中）无论x、y取何值，多项式x2+yA．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定【答案】A【分析】利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．【详解】解：∵x2∴多项式的值总是正数．故选：A．【点睛】本题考查了利用完全平方公式化简多项式，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.5．（3分）（2024八年级下·广西来宾·期中）计算：(1−152A．101200 B．101125 C．101100【答案】B【分析】先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案．【详解】解：原式=(1−=45=45=101125故选：B．【点睛】本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．6．（2024八年级下·上海浦东新·期中）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2−9，乙与丙相乘的积为x2A．−5 B．5 C．1 D．−1【答案】D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∵甲与乙相乘的积为x2−9=(x+3)(x−3)，乙与丙相乘的积为x2∴甲为x−3，乙为x+3，丙为x−2，则甲与丙相减的差为：(x−3)−x−2故选：D7．（3分）（2024八年级下·浙江·期中）若多项式(a+b−c)(a+c−b)−(b−a+c)(b−a−c)=M(a−b+c)，则M是（）A．2(b−c) B．2a C．2b D．2(a−c)【答案】C【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的M的值．【详解】解：(a+b−c)(a+c−b)−(b−a+c)(b−a−c)=====M(a−b+c)，∴M=2b，故选：C．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换．8．（3分）（2024八年级·全国·竞赛）已知在△ABC中，a、b、c是三边的长，且a2−12b2−A．14 B．12 C．3【答案】B【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出(a+2b)2−(4b−c)2=0【详解】解：∵a∴a(a+2b)2(a+2b+4b−c)(a+2b−4b+c)=0，∵a+b−c>0，∴a+6b−c≠0，∴a−2b+c=0，∴b故选：B．9．（3分）（2024·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（

）A．﹣1 B．0 C．716 D．【答案】C【分析】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，进而可得结果．【详解】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），∴x﹣2y＝2，∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x），∴x＋2y＝﹣2m，∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2＝4m﹣4m2＝﹣（2m﹣1）2＋1，∵0＜m＜1，∴0＜2m＜2，∴﹣1＜2m﹣1＜1，∴0＜（2m﹣1）2＜1，∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解，不等式的性质等知识，能将已知条件变形和将多项式因式分解是解题关键．10．（3分）（2024·重庆大渡口·模拟预测）一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11=1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：①最小的“可拆分”整数是5；②一个“可拆分”整数的拆分方式可以不只有一种；③最大的“不可拆分”的两位整数是96．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据定义分别判断即可．【详解】解：∵5=1+2+1×2，且1，2是最小的正整数，故①正确；设整数m=a+b+ab则m+1=a+b+ab+1=当m+1不是质数时，拆分方式不止一种，如：11=1+5+1×5=2+3+2×3，故②正确；当m=96时，m+1=97，97是一个质数，故不能拆解为a+1b+1故96为“不可拆分”整数．而97=1+48+1×48，为“可拆分”整数，98=2+32+2×32，为“可拆分”整数，99=1+49+1×49，为“可拆分”整数，故最大的“不可拆分”的两位整数是96．③正确故选D【点睛】本题考查了新定义、有理数的运算、因式分解的应用等知识点，因式分解知识点的灵活运用是解题关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2024·辽宁营口·三模）因式分解：x2+4【答案】(x−2y)2/【分析】此题考查了公式法分解因式，直接利用完全平方公式进行分解即可，关键是掌握完全平方公式：a2【详解】解：原式=x故答案为：(x−2y)212．（3分）（2024八年级下·山东淄博·阶段练习）若20222022−20222020=2023×【答案】2020【分析】本题考查的是平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练的把已知条件进行变形是解本题的关键．由20222022−2022【详解】解：∵2022202220222022∴2023×2022∴n=2020，故答案为：2020．13．（2024八年级下·河南鹤壁·阶段练习）已知实数a，b，c满足：a2+b2+c【答案】6【分析】本题考查因式分解的实际应用，非负性．将a2+b2+c2=ab+bc+ca，转化为【详解】解：∵a2∴2a∴2a∴a−b∴a−b=0,a−c=0,b−c=0，∴a=b=c，∵2a+3b−4c=2，∴2a+3a−4a=2，∴a=2；∴a+b+c=3a=6；故答案为：6．14．（3分）（2024八年级下·福建泉州·阶段练习）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是x−yx+yx2+y2，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x−y)=0，(x+y)=18，【答案】273024或272430【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法和公式法分解因式，再把数值代入计算即可确定出密码．【详解】解：x3−xy当x=27，y=3时，x=27，x+y=30，x−y=24，∴产生的密码是：273024或272430，故答案为：273024或272430．15．（3分）（2024八年级下·浙江杭州·期中）已知实数x，y，z满足x+y+z=5，且4xy+yz+xz=3，则z的最大值为．【答案】22【分析】依据x+y+z=5转换得到x+z=5−y，y+z=5−x，将4xy+yz+xz=3变形为xy+yz+xy+xz=3−2xy整理得y5−y+x5−x=3−2xy即5x+y【详解】解：∵x+y+z=5，∴x+z=5−y，y+z=5−x，∵4xy+yz+xz=3，∴xy+yz+xy+xz=3−2xy，∴yx+z∴y5−y∴5y−y∴5x+y∵x+y=5−z，∴55−z∵x−y2∴55−z解得：z≤22故答案为：225【点睛】本题考查了已知式子的值求字母的取值范围，因式分解综合应用，完全平方公式及平方的非负性；解题的关键是熟练利用因式分解进行综合运算．16．（3分）（2024八年级下·福建泉州·期中）关于x,y的方程x3−y【答案】1【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得(x+y)2(x−y)=32，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有【详解】解：x==(x+y)(=(x+y)(x+y)(x−y)=(x+y)由题意可知(x+y)2列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种），1×32=32，2×16=32，4×8=32，∵因式分解后含有(x+y)2，在保证正整数集的条件下，则有x+y>0又∵12=1，22∴根据题意可列出方程组为x+y=1x−y=32或x+y=2x−y=8或解第一个方程组，可得x=16.5y=−15.5解第二个方程组，可得x=5y=−3解第三个方程组，可得x=3y=1只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及解二元一次方程组，灵活运用相关知识，正确进行因式分解是解题关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2024八年级下·四川达州·阶段练习）将下列多项式分解因式(1)x(2)16【答案】(1)x−y(2)2a+3b【分析】本题主要考查了分解因式：（1）先提取公因式x−y，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：x==x−y（2）解：16==18．（6分）（2024八年级下·广西南宁·阶段练习）下面是某同学对多项式x2解：设x原式=y+2y+6=y2=y+42=x2回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；(3)模仿以上方法尝试对多项式x2【答案】(1)C(2)x−2(3)x−1【分析】本题主要考查了因式分解：（1）根据分解因式的过程可得答案；（2）将结果再次因式分解即可；（3）将x2【详解】（1）解：由题意得，第二步到第三步运用了完全平方公式，故答案为：C；（2）解：x2故答案为：x−24（3）解：设x2∴原式=y====x−119．（8分）（2024八年级下·四川眉山·阶段练习）在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：x=x=xx−y=x−y乙：a=a=a=a+b−c请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：(1)因式分解：a2(2)已知a−b=2，b−c=−10，求式子a2(3)已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b【答案】(1)a−b+1(2)−16(3)等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解．（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可；（2）分组，利用提公因式法分解得到a−ca−b，再求得a−c=−8（3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质即可求解.【详解】（1）解a===a−b+1（2）解：a==a=a−c∵a−b=2，b−c=−10，∴a−c=−8，∴原式=−8×2=−16；（3）解：△ABC是等边三角形，理由如下：∵a2∴a2∴a2∴a−c2∴a−c=0，b−c=0，∴a=c=b，∴△ABC是等边三角形．20．（8分）（2024八年级下·广东深圳·期中）阅读以下文字并解决问题：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但对于二次三项式x2+6x−27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x(1)利用“配方法”因式分解：x2(2)若a+b=5，ab=3，求：①a2②a4(3)如果a2+2b【答案】(1)x−y(2)①19②343(3)8【分析】本题考查了因式分解的应用以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解本题的关键．（1）原式变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式变形，代入计算即可；（3）已知等式左边配方后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．【详解】（1）解：x=====x−y（2）解：∵a+b=5，∴a+b2∴a∵ab=3，∴a∵a2∴a4∵ab=3，∴2a∴a4（3）解：∵a2∴a∴a−b∴a−b=0,b−3=0,c−2=0，∴a=3,b=3,c=2，∴a+b+c=3+3+2=8．21．（8分）（2024八年级下·浙江宁波·期中）如果一个非零整数a能被3整除，那么就称a是“3倍数”．(1)蛟蛟说“252−21(2)如果一个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，满足千位数字与百位数字的平方差是十位数字的平方，千位数字与十位数字的和为9，请写出满足条件的所有“3倍数”，并说明理由．【答案】(1)川川的说法正确；理由见解析(2)满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349；理由见解析【分析】（1）分别求出252−21（2）设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，根据题意可得a2−b2=【详解】（1）解：∵252∴“252∴蛟蛟的说法不正确；∵122∴122∴川川的说法正确；（2）解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，由题意得：a2∴a2∴a+ca−c∴b2∵0<b≤9的整数，0<a≤9的整数，0<c≤9的整数，∴b的可能值为3，6，9，∴a−c=1或a−c=4或a−c=9（不合题意，舍去）．当a−c=1时，∵a+c=9，∴a=5,c=4．当a−c=4时，∵a+c=9，∴a=6.5,c=2.5（不合题意，舍去）．∴a=5,b=3,c=4，∵这个正整数是“3倍数”，且各个数位上的数字都不为0，“3倍数”的各个数位上的数字之和为3的倍数，∴满足条件的所有“3倍数”有：5343，5346，5349．【点睛】本题主要考查了考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系．22．（8分）（2024八年级下·陕西榆林·期中）19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和x22+22根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)4x(2)a2【答案】(1)2x(2)a−na−4m+n【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上4x（2）先分组，再利用