专题1.9 三角形的证明章末拔尖卷（北师大版）（解析版）

第1章三角形的证明章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AB，AC边上，DB=DE=AE，BE=BC，则∠BAC的度数为（

）

A．60° B．75° C．30° D．45°【答案】D【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的性质．设∠DBE=x°，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次表示出∠DBE=∠DEB=x°，∠A=2x°，∠C=3x°，然后利用三角形内角和定理列方程求解即可．【详解】解：设∠DBE=x°，∵DB=DE=AE，∴∠DBE=∠DEB=x°,∠A=∠EDA，∴∠A=∠EDA=∠DBE+∠DEB=2∠DBE=2x°∵BE=BC，∴∠BEC=∠C，∴∠BEC=∠C=∠A+∠EDA=3x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x°，∵2x°+3x°+3x°=180°，∴2x=45，即∠BAC=45°．故选D．2．（3分）（2023上·山西大同·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定△ABC≌△CDE的是（A．AB=CD B．AB=DE C．∠ACE=90° D．∠A+∠E=90°【答案】B【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【详解】解：∵∠B=∠D,AC=CE，A、AB=CD，满足HL的条件，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；B、AB=DE，不满足证明三角形全等的条件，符合题意；C、∠ACE=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意；D、∠A+∠E=90°，得到∠ACB=∠E，满足AAS，能证明△ABC≅△CDE，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：SSS,3．（3分）（2023上·安徽滁州·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，BC=4cm，S△ABC=12cm2，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N．O为线段MNA．4cm B．4.5cm C．6cm【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．连接AD，AO，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据MN是线段AB的垂直平分线可知，AO=BO，得出OB+OD=AO+OD，说明当A、O、D三点共线时，AO+OD最小，即OB+OD最小，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，AO，∵AB=AC，D为底边BC的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC解得AD=6cm∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AO=BO，∴OB+OD=AO+OD，∴当A、O、D三点共线时，AO+OD最小，即OB+OD最小，且最小值为AD=6cm故选：C．4．（3分）（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q、R、S，PQ=3，PR=4，PS=5，则△ABC的面积是（）A．48 B．483 C．96 D．【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，得出PQ+PR+PS=AD是解答此题的关键．先连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，根据S△ABC=12BC⋅(PQ+PR+PS)=12【详解】解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，\∵△ABC是等边三角形，∵S∴PQ+PR+PS=AD，∴AD=3+4+5=12，∵∠ABC=60°，∴AB=12×2∴S故选：B．5．（3分）（2023上·山东济宁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在BA的延长线上，EF⊥BC，垂足为F，EF与AC交于点O，若OA=4，A．12 B．11 C．9 D．7【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．由题意知AC=7，∠B=∠C，∠BFE=90°，则∠BAC=180°−2∠B，∠E=90°−∠B，∠AOE=∠E，可得【详解】解：OA=4，OC=3，∴AC=7，∵AB=AC=7，∴∠B=∠C，∴∠BAC=180°−2∠B，∵∠AOE=∠BAC−∠E=90°−∠B=∠E，∴AE=OA=4，∴BE=AB+AE=11，故选：B．6．（3分）（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，已知∠MAN=60°，点B,D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB=2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB=CD，若AC=m，则AD的长为（

）A．12m+1 B．12m+2 C．【答案】D【分析】本题考查了含30°的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握含30°的直角三角形，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．如图，作CF⊥BD于F，则∠ACF=30°，BF=DF，AF=12AC=【详解】解：如图，作CF⊥BD于F，∵∠MAN=60°，CB=CD，∴∠ACF=30°，∴AF=1∴DF=BF=AF−AB=1∴AD=AB+BD=2+2×1故选：D．7．（3分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（

）

A．△ABC的面积为10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．点A到直线BC【答案】A【分析】求出AC、BC，根据三角形的面积公式可以判断A；根据勾股定理逆定理可以判断B；根据勾股定理可以判断C；根据三角形的面积结合点到直线的距离的意义可以判断D．【详解】解：∵AC=12+22∴AC∴∠BAC=90°，故B、C正确，不符合题意；∴S设点A到直线BC的距离是ℎ，∵S∴1∴ℎ=2，∴点A到直线BC的距离是2，故D正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．8．（3分）（2023上·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中点，F是射线AH上一点．E是AB上一点，连接EF，EC，BF=FE，点G在AC上，连接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72【答案】D【分析】延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=12180°−∠BFE=90°−12x，然后证明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC则∠FCA=90°−12x，EBF=12180°−∠BFE=90°−12x即可证明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【详解】解：延长EA到K，是的AK=AG，连接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，设∠BFE=x，则∠EBF=∵H是BC上中点，F是射线AH上一点，∴AH⊥BC，∴AH是线段BC的垂直平分线，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°−12∴∠AFB=∠AFC=180°−∠FAC−∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2设∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．9．（3分）（2023上·福建厦门·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，将△ABC沿AD折叠，点C的对应点为E，当BE<CE时，△ABCA．30°<∠B<45° B．30°<∠B<90°C．45°<∠C<90° D．30°<∠C<60°【答案】B【分析】设BC中点为F，当E与F重合时，此时BE=CE由折叠的性质得AE=AC，由等边三角形的定义得△ACE为等边三角形，由BE<CE，E在F的左侧，①当E在线段BF上（不与B、F重合），∠CAE>60°，即可求解；②当E与B重合时，由等腰三角形的性质∠ABC=∠C=45°；③E在CB的延长线上时，由三角形的外角于内角的关系得∠B>∠AEB，从而可得2∠C<90°，即可求解．【详解】解：设BC中点为F，如图，当E与F重合时，此时BE=CE由折叠得AE=AC，∴CE=AE=AC，∴△ACE为等边三角形，∴∠C=60°，∴∠B=30°，∵BE<CE，∴E在F的左侧，①如图，当E在线段BF上（不与B、F重合）

∴∠CAE>60°，由折叠得∠AEC=∠C，∴∠CAE=180°−2∠C，∴180°−2∠C>60°，∴∠C<60°，∵∠B+∠C=90°，∴∠B>30°，②如图，当E与B重合时

此时AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°；③如图，E在CB的延长线上时，∴∠B>∠AEB，∵∠AEC=∠C∴∠ABC>∠C，∵∠ABC+∠C=90°，∴2∠C<90°，∴∠C<45°，∴∠ABC>45°，∵∠C>0，∠ABC<90°，∴0<∠C<45°，45°<∠ABC<90°；综上所述：0<∠C<60°，30°<∠B<90°；故选：B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，三角形的外角与内角的关系，直角三角形的特征等，能根据E的不同位置进行分类讨论是解题的关键．10．（3分）（2023上·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①AC=BE；②DM=DN；③∠AMD=45°；④NE=3ME．其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，利用ASA证明△BDN≌△CDM，△BDE≌△CDA，再证明△DMN是等腰直角三角形，即可判断结论①②③正确；过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE=90°=∠CME，可利用AAS证明△DEF≌△CEM，即可判断结论④正确；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM(ASA)∴DN=DM，AC=BE∵∠MDN=90°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠DMN=45°，∴∠AMD=90°−45°=45°，故①②③正确；如图1，过点D作DF⊥MN于点F，则∠DFE=90°=∠CME，∵DN⊥MD，DN=DM∴MN=2FM=2FN，∵点E是CD的中点，∴DE=CE，在△DEF和△CEM中，∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CME∴△DEF≌△CEM(AAS∴ME=EF，∴MN=2MF=4ME∴NE=3ME故④正确；故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023上·浙江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D．若AE=CE=BC，则∠DCE的度数是．【答案】18°/18度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形“三线合一”可得∠DCE=12∠BCE=12∠ACE，根据等边对等角可得【详解】解：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵CE=BC，CD⊥AB，∴∠DCE=1∵AE=CE，∴∠A=∠ACE，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A+∠ACE+∠DCE=∠ACE+∠ACE+1∴∠ACE=36°，∴∠DCE=1故答案为：18°．12．（3分）（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC【答案】6或12/12或6【分析】分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△QPAHL，此时AP=BC=6，可据此求出P的位置；②Rt△QPA≌Rt△BAC【详解】解：①当AP=CB时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与RtAP=CB∴Rt△ABC≌∴AP=BC=6；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△QPA与RtAP=AC∴Rt△QPA≌∴AP=AC=12，∴当点P与点C重合时，Rt△ABC才能和Rt综上所述，AP=6或12，故答案为：6或12．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．13．（3分）（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为−1，0，5，0，5，2，−1，2，点E【答案】32，2或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．由题意知，分OE为底，OE为腰两种情况求解：设Pa，2，则−1≤a≤5，分①当OE为底，则P在OE的垂直平分线与CD的交点；②当OE为腰，且OP=OE=3时，a2+22【详解】解：由题意知，分OE为底，OE为腰两种情况求解：设Pa，2①当OE为底，则P在OE的垂直平分线与CD的交点，∴P3②当OE为腰，且OP=OE=3时，∴a2解得，a=5或a=−∴P5当OE为腰，且PE=OE=3时，∴a−32解得，a=3−5或a=3+∴P3−综上所述，P点坐标为32，2或5故答案为：32，2或514．（3分）（2023上·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．若BC=6，AC=4．则CE的长度是．【答案】1【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接AP,BP，通过证明Rt△CPD≌Rt△CPEHL，得出CD=CE，在证明【详解】解：连接AP,BP，∵CP平分∠DCE，PD⊥BC，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△CPD和RtCP=CPPD=PE∴Rt△CPD≌∴CD=CE，∵PQ是AB的垂直平分线，∴AP=BP，在Rt△APE和RtAP=BPPD=PE∴Rt△APE≌∴AE=BD，∴CE=AE−AC=BD−AC=BC−CD整理得：2CE=BC−AC=6−4=2，∴CE=1，故答案为：1．15．（3分）（2023下·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明△APE为等腰直角三角形，从而可得答案．【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（3分）（2023·河北保定·八年级校联考期末）如图，已知O为直线BC上一定点，点A在直线外一定点．在直线BC上取点P，使得以O、A、P为顶点的三角形为等腰三角形．(1)当∠AOC=30°时，如果我们通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有个．(2)若在直线BC上有且只有两个满足条件的点P，则∠AOC=．【答案】（1）4；（2）60°、120°或90°.【分析】（1）分OA为腰或底分别讨论画出图形即可．（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°．【详解】解：（1）如图所示，若OA为腰时，点P4、P1、P2即为所求；若OA为等腰三角形的底，点P3即为所求；故答案为4．（2）若在直线BC上有两个满足条件的点P，则∠AOC=60°或120°或90°故答案为60°、120°或90°．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023下·湖南长沙·七年级长沙市雅礼实验中学校考期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．(1)求证：△ABH≌△DEG；(2)求证：CE＝FB．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）由HL可证明ΔABH（2）证明ΔABC≅ΔDEF【详解】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠DEG＝∠ABH＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵BH=∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，∵∠ABC∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴CE＝FB．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．18．（6分）（2023上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD=CG．(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若BF=3，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)CG=2【分析】（1）只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，推出AB=BC，又AB=AC，得到AB=BC=AC（2）由CD=CG，可得CF=12CG，△ABC是等边三角形，BC=BF+CF=AC=2CD=2CG，即可得BF+12【详解】（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，且DE=DF∴Rt∴∠A=∠C，∴AB=BC，且AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵DF⊥BC∴∠CDF=30°，∵CD=CG∴CF=1∵D为AC的中点，∴AD=DC，∵BC=BF+CF=AC=2CD=2CG∴BF+1∴CG=【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19．（8分）（2023上·海南儋州·八年级统考期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD=90°，AD=3m，AB=4m，BC=13m(1)四边形ABCD的面积；(2)点D到BC的距离．【答案】(1)四边形ABCD的面积为36(2)点D到BC的距离DE为60【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．（1）连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判断得到Rt（2）过点D作DE⊥BC于点E，利用等面积法计算即可．【详解】（1）解：连结BD，在Rt△ABD中，∵AD=3，AB=4∴BD=在△BCD中，∵BD2∴B∴△BCD是直角三角形，且∠BDC∴S答：四边形ABCD的面积为36m（2）过点D作DE⊥BC于点E∵S∴DE=BD⋅CD答：点D到BC的距离DE为601320．（8分）（2023上·广东深圳·八年级统考期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段H1（4）在图4中画出一个周长为32+10【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；（2）根据勾股定理画出边长为13的正方形，即可；（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；（4）根据勾股定理画出长为2，22，10【详解】（1）∵S△ABC∴△ABC即为所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=22∴正方形DEFG的面积为13；（3）HI=32（4）∵KL=12+12=且(∴△JKL是直角三角形，且周长为32【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．（8分）（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一点，CD=1.5，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P(1)当t=2秒时，求AP的长度；(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3)过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？【答案】(1)4(2)t的值为52或25(3)t的值为52或【分析】（1）由勾股定理得，AP=C（2）当△ABP为等腰三角形时，由题意知，分当AP=BP，当AB=BP，当AB=AP，三种情况求解即可；（3）由勾股定理得，AE=AD2−DE2=2，如图2，连接PD，证明Rt△PDE≌Rt△PDCHL，则PE=PC，设PE=PC=x【详解】（1）解：当t=2秒时，BP=4，∴CP=4，由勾股定理得，AP=C∴AP的长为42（2）解：当△ABP为等腰三角形时，由题意知，分当AP=BP，当AB=BP，当AB=AP，三种情况求解；如图1，由勾股定理得，AB=A①当AP=BP=2t时，CP=8−2t，由勾股定理得，AP2−C解得，t=5②当AB=BP=45时，2t=4解得，t=25③当AB=AP时，由等腰三角形的性质可知，PC=BC=8，∴BP=PC+BC=16，∴2t=16，解得，t=8；综上所述，t的值为52或25或（3）解：∵CD=1.5，∴DE=CD=1.5，AD=2.5，由勾股定理得，AE=A如图2，连接PD，∵DE=CD，PD=PD，∴Rt△PDE≌∴PE=PC，设PE=PC=x，则AP=x+2，由勾股定理得，AP2−P解得，x=3，∴BP=2t=5，解得，t=5由轴对称的性质可知，当BP=2t=8+3时，DE=CD成立，解得，t=11综上所述，当t的值为52或112时，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，并分类讨论是解题的关键．22．（8分）（2023上·云南普洱·八年级统考期末）在等边△ABC中，动点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)如图1，当点E是AB中点时，求证：AE=BD．(2)当点E不是AB中点时，判断线段AE与BD的数量关系，并结合图2说明理由．(3)点E在直线AB上运动，当∠DEC=120°时，若BC=4，请直接写出CD的长．【答案】(1)见解析(2)当点E为AB上任意一点时，AE=DB．理由见解析(3)CD的长是6或12【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACE=12∠ACB=30°，再由等腰三角形的性质等∠D=∠BCE=30°（2）过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，再证△AEF是等边三角形，得AE=EF=AF，然后证△BDE≌△FEC(SAS)，得（3）分两种情况，①点E在AB上时，证∠D=∠DEB，∠CEB=90°，则BE=BD，BE=12BC=2②点E在AB的延长线上时，证∠BEC=∠ECF=30°，∠DEB=90°，则BE=BC=4，BD=2BE=8，得CD=BD+BC=12；即可得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∠BCE=∠ACE=1∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∵∠D+∠BED=∠ABC=60°，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如图2，过点E作EF∥BC交AC于点F，则∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∴∠AEF=∠AFE=∠A．∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵AB=BC，∴AB−AE=BC−AF，即BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∵∠D+∠BED=∠ABC=60°，∠BCE+∠ECF=∠ACB=60°，∴∠BED=∠ECF，在△BDE和△FEC中，ED=CE∠BED=∠FCE∴△BDE≌△FEC(SAS∴BD=FE，∴AE=BD；（3）解：分两种情况：①如图3，点E在AB上时，∵ED=EC，∠DEC=120°，∴∠D=∠ECF=30°，∵∠ABC=60°，∴∠DEB=∠ABC−∠D=60°−30°=30°，∴∠D=∠DEB，∠CEB=∠DEC−∠DEB=120°−30°=90°，∴BE=BD，BE=1∴BD=BE=2，∴CD=BD+BC=2+4=6；②如图4，点E在AB的延长线上时，∵ED=EC，∠DEC=120°，∴∠D=∠ECF=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BEC=∠ABC−∠ECF=60°−30°=30°，∴∠BEC=∠ECF=30°，∠DEB=∠DEC−∠DEC=120°−30°=90°，∴BE=BC=4，∴BD=2BE=8，CD=BD+BC=8+4=12；综上所述，CD的长为6或12．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形